小四数学整除含答案.docx
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小四数学整除含答案
第11讲整除
图形推理
1.整除的性质。
性质1：
如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
性质2：
如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.
性质3：
如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：
如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
2.2、3、5倍数的特征。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除；
能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除；
能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。
能被3（或9）整除的数的特征：
各个数位数字之和能被3（或9）整除。
能被4（或25）整除的数的特征：
末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：
末三位数能被8（或125）整除。
能被11整除的数的特征：
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
能被7（11或13）整除的数的特征：
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
3.因数与倍数。
如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数。
1只有1个因数。
两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。
两个数除了1以外没有其他的公因数，那么这两个数互质（互为质数）。
4.质数和合数。
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数（素数）。
2是最小的质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。
1既不是质数也不是合数。
5.奇数和偶数。
如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。
第一，整除的意义；第二，奇数、偶数、质数（素数）、合数的理解；第三，倍数和因数的认识，以及2、3、5倍数的特征；
兔妈妈和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔萝卜，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍数，兔妈妈至少拔了多少根？
【解析】这是一个典型的求最小公倍数的问题，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是它们的倍数，求兔妈妈至少拔了多少根，就是求2、3、5的最小公倍数。
此题有两种解法，一是分别列举2、3、5的倍数，找出它们的最小公倍数；二是显然2、3、5除了1以外，没有其他的公因数，因此可以直接相乘求出它们的最小公倍数。
【答案】兔妈妈至少拔了30根。
例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能够被2整除的有_____________，
能够被3整除的有____________，能够被5整除的有_____________。
考点：
2、3、5的倍数特征
分析：
此题在于考察对整除定义的理解，只需要用2、3、5分别去除这些数，看它们的商是否有余数，如果哪个数被除后，得到的商没有余数，则这个数能被相应的数整除。
解答：
能够被2整除的数：
8、14、30、62、68、70；能够被3整除的数：
3、24、27、30、51；能够被5整除的数：
30、70。
点评：
熟练掌握2、3、5的倍数特征
例2.50以内，2和3的公倍数有，2和5的公倍数有，3和5的公倍数有，2、3、5的公倍数有。
考点：
2、3、5的倍数特征和综合倍数的特征
分析：
此题考查的是公倍数，2和3的公倍数就是既是2的倍数，又是3的倍数，2和3的最小公倍数是6，因此只要是6的倍数就是2和3的公倍数；同理可求出2和5、3和5、2和3和5的公倍数。
解答：
2和3的公倍数有：
6、12、18、24、30、36、42、48；2和5的公倍数有10、20、30、40、50；3和5的公倍数有15、30、45；2、3、5的公倍数有：
30。
点评：
掌握2、3、5的倍数特征
例3.30以内的奇数有；
30以内的偶数有；
30以内的质数有；30以内的合数有。
考点：
奇数、偶数、质数、合数
分析：
此题考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握情况。
解答：
30以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,、29；30以内的偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30；30以内的质数有2、5、7、11、13、17、19、23、29；30以为的合数有4、6、8、9、10、12，14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30。
点评：
考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握
例4.既不是质数也不是合数，最小的合数是，最小的质数是，最小的奇数是，最小的偶数是
考点：
特殊数的考察
分析：
此题考查对一些较为特殊的数的掌握。
解答：
1,，4，2，1，0。
点评：
熟练记忆特殊数
例5.3和一个数的最小公倍数是18，这个数是，12和一个不大于20的数的最大公因数是4，这个数是。
考点：
最大公因数和最小公倍数
分析：
此题考查最小公倍数和最大公因数。
3和一个数的最小公倍数是18，那么这个数一定也是18的因数，18的因数有1、3、6、9、18,，而这些数只有18和3的最小公倍数是18；12和一个不大于20的数的最大公因数是4，求这个数是多少，由最大公因数的定义可知，这个数一定是4的倍数，20以内4的倍数有4、8、12、16、20，这些数中只有4，8，16，20与12的最大公因数是4.
解答：
18，4、8、16、20。
点评：
会求最大公因数和最小公倍数
A
1．10以内的合数有（），20以内的质数有（）。
考点：
质数和合数的概念
分析：
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。
解答：
4、6、8、9、10；2、3、5、7、11、13、17、19
点评：
熟练记忆质数和合数的概念
2．把36分解质因数是（），把63分解质因数是（）。
考点：
分解质因数
分析：
把一个合数分解成几个质数相乘的形式
解答：
36=2×2×3×3;63=3×3×7
点评：
掌握分解质因数的方法
3．（ 1 ）既不是质数也不是合数。
考点：
质数和合数
分析：
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。
1既不是质数，也不是合数。
解答：
1
点评：
熟练记忆质数和合数的知识点
4．自然数中，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。
考点：
质数、合数、奇数、偶数
分析：
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。
如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。
解答：
2，4，1，2
点评：
熟练掌握概念
5．如果A=2×3×3，B=3×3×5，则A、B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
考点：
分解质因数求最大的公因数和最小公倍数
分析：
两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。
解答：
9；90
点评：
最大公因数和最小公倍数的求法
6．18的所有因数分别是（），12的所有因数分别是（）。
考点：
求一个数的因数
分析：
18=1×1812=1×12
18=2×912=2×6
18=3×612=3×4
解答：
1、2、3、6、18；1、2、3、4、6、12
点评：
掌握求一个数因数的方法
7．三个质数相乘的积是12，这三个质数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
考点：
分解质因数
分析：
12=2×2×3
解答：
2,2,3
点评：
把一个合数分解成几个质数相乘的形式
8．如果A÷B=C，那么A与B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
考点：
最大公因数和最小公倍数
分析：
两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数
解答：
B，A
点评：
最大公因数和最小公倍数的求法
9．一个奇数如果（），结果一定是偶数。
考点：
奇数，偶数的考察
分析：
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数
解答：
乘以一个偶数
点评：
奇数、偶数的概念
10．一个三位数6□3能被3整除，□中最小填（ ）。
考点：
3的倍数特征
分析：
能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。
6+3+0=9
解答：
0
点评：
熟练掌握3的倍数特征
11.在自然数1～20中，最大的质数是（ ），两位数中最小的质数是（ ）。
考点：
质数
分析：
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。
解答：
17，11
点评：
考察100以内质数的记忆
12.有一个数，它是2的倍数，又含有因数3，能被5整除。
这个数可能是（ ）。
考点：
2,3,5倍数的特征
分析：
求2,3,5的公倍数
解答：
30、60……
点评：
熟练求2,3，5的公倍数
B
1．求下列每组数的最大公因数。
30 和 42 18 和 27 15 和 45
考点：
求最大公因数
分析：
用短除法求最大公因数
解答：
最大公因数6；最大公因数9；最大公因数5
点评：
会用短除法求最大公因数
2.求下面每组数的最小公倍数。
75和45 26和39 12、18和24 5、4和10
考点：
求最小公倍数
分析：
用短除法分解质因数求最小公倍数
解答：
最小公倍数225；最小公倍数78；最小公倍数72；最小公倍数20
点评：
掌握求最小公倍数的方法
3.求下面每组数的最大公因数（3个的除外）和最小公倍数。
36和54 15和18 14、3和21 6、15和30
考点：
最大公因数和最小公倍数
分析：
36=2×2×3×3,54=2×3×3×3；15=3×5,18=2×3×3；14=2×7；21=3×7；6=2×3,
15=3×5；30=2×3×5
解答：
最大公因数18，最小公倍数108；最大公因数3，最小公倍数90；最小公倍数42；最小公倍数60
点评：
掌握求两三个数的最大公因数和最小公倍数
4.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。
考点：
分解质因数
分析：
55440=2×2×2×2×3×3×5×11
解答：
7、8、9、10、11
点评：
遇见这种题型要去分解质因数
5.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？
乙数是多少？
考点：
分解质因数
分析：
甲数是乙数的三分之一，所以甲、乙的最小公倍数是乙数，所以乙数是54，甲数是18
解答：
甲数是18，乙数是54
点评：
准确分析题意，抓住关键信息“甲数和乙数的最小公倍数是54”
C
1.有一批零件,设计了三种不同的方法装箱,第一种每箱装18个,第二种每箱24个,第三种每箱装42个,结果都没有多余。
这批零件至少有多少个?
考点：
最小公倍数
分析：
求这批零件至少有多少个，就是求18、24、42的最小公倍数。
解答：
18、24、42的最小公倍数是168。
点评：
抓住题中关键信息，“至少”提示最小公倍数的信息。
2.把一块长48米,宽32米的长方形土地划成若干相同的正方形而没有剩余,至少能划几块?
考点：
最大公因数
分析：
把长48米，宽32米的长方形土地划成相同的正方形，就是求48和32的最大公因数，它们的最大公因数是16，长和宽分别包含正方形边长的个数的乘积，就是能划成正方形的块数。
解答：
48、32的最大公因数是16，48÷16=3，32÷16=2，3×2=6（块）。
点评：
关键信息“划成若干相同的正方形而没有剩余”
3.三根铁丝分别长24厘米、30厘米和42厘米,现把它们截成同样长的小段,不能有剩余,每段铁丝最长是多少厘米？
一共可截成几段?
考点：
最大公因数
分析：
把三根不同长度的铁丝截成同样长度的小段没有剩余，就是求它们的最大公因数。
把每根包含的段数相加，就是可以截成的段数。
解答:
24、30、42的最大公因数是6，24÷6=4（段），30÷6=5（段），42÷6=7（段），4+5+7=16（段）。
点评：
关键信息”截成同样长的小段,不能有剩余”
4.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。
考点：
分解质因数
分析：
先分解质因数5766，
解答：
设这两个自然数为A和B。
[A，B]=5766÷31=186
∵186=2×3×31，
∴这两个自然数为31和186或62和93。
点评：
根据题意分解质因数分情况解决问题
5.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？
考点：
最小公倍数
分析：
找到2,6，8的最小公倍数，十月一日再加24天是十月二十五日
解答：
10月25日。
点评：
根据题意可知是求最小公倍数
1.一个数比100以内最大的质数多1，它和另一个数的最大公因数是7，求这个数是多少？
考点：
质数和最大的公因数
分析：
100以内最大的质数是97，加上1就是98，因为98和另一个数的最大公因数是7，可见另一个数是7的倍数，因此只要找出100以内7的倍数且符合条件的即可。
解答：
100以内最大的质数是97,97+1=98,100以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98，在这些数中符合条件的有7、21、35、63、77、91。
点评：
熟练记忆100以内的质数，并会求一个数的倍数。
2.一筐苹果500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多1个，这筐苹果
共有多少个？
考点：
最小公倍数
分析：
一筐苹果500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多1个，说明这筐苹果的个数比3、4、5公倍数多1，因此只要求出500到600之间的3、4、5的公倍数再加1即可。
解答：
3、4、5的最小公倍数是60,500到600之间60的倍数有540，因此这筐苹果共有540+1=541（个）。
点评：
抓住关键信息“恰好”，每次、每次、每次……
3.一个400米的环形跑道，原来每隔5米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拨掉的彩旗有几面？
考点：
最小公倍数
分析：
求不需要拔掉的彩旗面数，就是求400以内，既是5的倍数又是8的倍数的数有多少个（因为起点插一面，故不包括400）。
解答：
5和8的最小公倍数是40，400以内它们的公倍数有40、80、120、160、200、240、280、320、360共9个，加上起点那一面共10面。
点评：
将植树问题和求最小公倍数问题结合
4、1+2+3+…+1993的和是奇数？
还是偶数？
考点：
奇数和偶数
分析：
此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。
解答：
解法1：
∵1+2+3+…+1993
又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数， ∴原式的和是奇数。
解法2：
∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。
∵996个偶数之和一定是偶数， 又∵奇数个奇数之和是奇数，
∴997个奇数之和是奇数。
因为，偶数+奇数=奇数， 所以原式之和一定是奇数。
点评：
抓住出题核心：
奇数+偶数=奇数；奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数
5、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
考点：
奇数和偶数
分析：
相邻两个奇数相差2，可以方程解决，也可以根据数之间的关系解决
解答：
解法1：
∵相邻两个奇数相差2，
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2：
设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有
（2a+1）x-（2a-1）x=150，
2ax+x-2ax+x=150，
2x=150，
x=75。
∴这个要求的数是75。
点评：
找到数之间的关系，列方程解决是很容易理解的。
1.四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是（ ），（ ），（ ），（ ）。
考点：
分解质因数
分析：
此题可先分解质因数，然后确定7是其中一个学生的年龄，即可算出。
解答：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7 ；7，8，9，10
点评：
根据题意可知需要分解质因数即可解决问题
2.把长，宽，高分别是150厘米，90厘米，60厘米的长方体木料，锯成大小一样的正方体木块没有剩余，最少可以锯成（ ）块。
考点：
最大公因数
分析：
锯成大小一样的正方体木块没有剩，要求正方体的棱长是长方体的长、宽、高的最大公因数
解答：
（150，90,60）=30,150÷30=5,90÷30=3,60÷30=2,5×3×2=30
点评：
“锯成大小一样的正方体木块没有剩余”提示求最大公因数
3.在30和40之间找出两个自然数，使它们的积与21×60相等，那么这两个自然数是（ ）和（ ）。
考点：
分解质因数
分析：
把21和60分别分解质因数，观察即可发现。
解答：
21=3×7,60=2×2×3×5，在30-40之间，所以这是35和36
点评：
分解质因数，寻找两个数之间的关系
4.两个数的乘积是432，最小公倍数是144，这两个数是（）和（）或（）和（）。
考点：
最小公倍数和分解质因数
分析：
因为乘积为432，最小公倍数是144，可求出它们的最大公因数432÷144=3，144中包含一个它们的最大公因数，144÷3=48，因此只要求出哪两个互质的数是48，并用它们分别乘以3，即可求出这两个数。
解答：
432÷144=3，144÷3=48，所以可以是3和144，也可以是9和54
点评：
找到两数的乘积和最小公倍数之间的关系
5.一个数分别被2，4，5除都余1，这个数在100到130之间，这个数是（）或（）。
考点：
最小公倍数
分析：
这个数分别被2、4、5除都余1，可知这个数是2、4、5的倍数再加1,100到130之间20的倍数有100和120，分别加1即可得出结果。
解答：
4×5=20,20×6=120,120+1=121或者20×5=100,100+1=101
点评：
被2，4，5除说明是2/4/5的最小公倍数
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