贷款数学建模.docx
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贷款数学建模
数学建模
题目：
贷款月还款问题
组员1：
姓名李龙
学号200908639
班级自动控制091班
组员2：
姓名李
学号200908642
班级自动控制091班
组员3：
姓名康灵涛
学号200908638
班级自动控制091班
实用文档
贷款月还款问题
摘要
随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃
饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。
俗话说：
“安
居才能乐业”，摆在人们面前的问题也就浮于水面。
同时，从某种意义上来说，人类
文明的进程就是建筑和城市化的过程，人类对居所的投资，直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。
特别是国家的宏观调控激活了房地产市场和汽车消费
市场，扩大了内需。
社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房买车成为新的购房趋势,并日渐盛行。
本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的分
析，比较并分析等额本息和等额本金两种贷款方式，一是等额本息贷款,计算原则是银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；二是等额本金贷款,计算原则是每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。
推导出月均还款总额的公式，建立数学模型。
其次根据给出的银行利率，利用vc++软件和已求出的公式，计算出15年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表并借以分析贷款的期限与
月还款之间的关系。
最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。
这些天来我们对贷款买房的研究，
使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，未来发展一定有很大的帮助。
关键词：
贷款，利率，月均还款总额，等额本息，等额本金
.
实用文档
一、问题的提出
随着国家住房商品化政策的推行，于是银行提供了购房贷款项目，帮助很多人解决了购房款的问题。
人民群众住房条件改善的同时也带来了不小的问题，极少数居民有能力一次性付清房款，我国现行两种购房贷款还款方式：
等额本息和等额本金。
现通过数学模型完成以下任务：
1、分别给出等额本金还款法和等额本息还款法的月供金额的计算方法。
2、通过具体的数据计算每种贷款方法月供金额和月支付利息。
3、分别计算两种方法在贷款期限内的总还款额和总支付利息。
4、由计算数据分析两种方法的还款特点及规律，并分析适用的人群。
二、模型的假设
1、银行在贷款期利率不变
2、在这段期间内不考虑经济波动的影响
3、银行利息按复利计算
4、客户在还款期内还款能力不变
三、模型的参数及说明
1、a：
表示贷款本金；
2、i：
月还款本金；
3、r：
表示月利率；
4、n:
表示还款月数；
5、pi：
表示第i个月的还款额；
6、qi：
表示第i个月还款前所剩贷款额；
7、s：
总还款金额；
8、l：
总支付利息；
9、bi：
月支付利息；
10、R:
年利率；
四、模型的分析
银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。
在本例中，贷款总额A为200000元，月利率r为0.0067，贷款期数为180个
月
1）等额本金还款方式，就是借贷人将贷款
额平均分摊到整个还款期内，每月归还，同时付清自上一个还款日
至本次还款间的贷款余额所产生的利息。
所谓等额本金还款，又称利随本清、等本不等息还款法。
贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。
.
实用文档
每月还款额=（贷款本金/还款月数）+（本金—已归还本金累计额）×每月利率
第i个月月支付利息=第i个月后所剩余的贷款额×月利率用数学公式直观的表示如下：
第i
月还款时需还款的本金为：
a
i
n
第i
月所还利息金额为：
bi
a
i
1a
r
n
第i
月还款总额为：
pi
a
a
i
1a
n
r
n
所还总利息：
lar
n1
2
还款总额为：
saarn1
2
2）一般银行所使用的等额本息还款方式，是指借款人每月以相等的金额偿还贷款本息，但是每月利息和本金所占的比例不同。
即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月
中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。
这种方法是目前最为普遍，也是大部分银行长期推荐的方式。
每月还款额=[贷款本金×月利率×（1+月利率）^还款月数]÷[（1+月利率）^还款月数－1]
第i个月月支付利息=[贷款本金×月利率×（1+月利率）^还款月数]÷[（1+月利率）^还款月数－1]－[贷款本金×月利率×（1+月利率）^（i－1）]÷[（1+月利率）^还款月数－1]
用数学公式直观的表示如下：
1
i1
第m月还款时需还款的本金为：
ar
r
i
1r
n
1
1r
n
i
1
第i月所还利息金额为：
bi
a
1
r
r
1
n
1
r
ar
1
n
第i月还款总额为：
pi
r
1
n
1
r
（n
r
1）
1
n
1
r
所还总利息：
la
1
n
1
r
ar
1
r
n
n
还款总额为：
s
r
n
1
1
3）提前还款是指借款方在还款期未到之前即先行偿还贷款的行为。
提前还款在某些情况下对借款人有利而对贷款人不利，所以是否允许提前还款以及提前还款的条件应予明确规定。
提前还款包括提前全部还款、提前部分还款且贷款期限不变、提前部分还款的同时缩短贷款期限三种情况。
贷款银行只能受理自发放个人贷款一年后借款人提前还款的申请。
用数学公式直观的描述如下：
提前还款所付
.
实用文档
总额=本金+还款之前产生的利息s
aar
（a
2
a）r
...aj1
a
r
n
n
简化得sa
ar
ar
j
j1
j
2n
等额本息贷款法：
假设贷款人在第j
个月将所剩金额一次还清，则第j个月应还款金额为：
n
j
ar
1
r
a
pj
n
1
i
1
r
i1
则全部还完后总的还款金额为：
n
ar1r
n
1r
j
ar1r
j
a
j
1
pj
1r
n
1r
1
n
1
r
1
r
五、模型的建立及解
我们建立了一个关于等额本金与等额本息的贷款问题模型如下：
模型一：
在满足模型假设的情况下，贷款总额a为200000元，年利率R为0.08，月利率
r为0.0067，贷款期数n为180个月。
1、等额本金贷款法
所谓等额本金还款，又称利随本清、等本不等息还款法。
贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。
贷款人每月需支付的贷款本金为贷款本金除以总还款月份，即：
i
a
n
第i个月还款前所剩贷款额qia（i1）a/n
每月需支付利息为上月还款后剩余本金乘以月利率：
biqir则月还款额计算公式：
pia/nqir
月支付利息计算公式：
biqir
一般银行所使用的等额本金还款方式，就是借贷人将贷款额平均分摊到整个还款期内，每月归还，同时付清自上一个还款日至本次还款间的贷款余额所产生的利息。
第i
月还款时需还款的本金为：
a
i
n
第i
月所还利息金额为：
bi
a
i
1a
r
n
第i
月还款总额为：
pi
a
a
i
1a
n
r
n
所还总利息：
larn1
2
还款总额为：
saar
计算所得各项还款金额为：
n1
2
.
实用文档
i
b
p
1
1111.11
1340
2451.11
2
1111.11
1332.56
2443.67
3
1111.11
1325.11
2436.22
4
1111.11
1317.67
2428.78
5
1111.11
1310.22
2421.33
179
1111.11
14.89
1126.00
180
1111.11
7.44
1118.56
所还总利息l为121270元
所还总金额s为321270元
选择以年利率8%计算得到每年的还款本息总额、总利息与年份的关系通过柱状图表示如下：
30000
25000
20000
15000
本息总额
10000
总利息
5000
0
2
3
4
5
6
7
8
9
101112131415
1
各年的还款本息总额与总利息统计图
由上述统计数据表及统计图可得到等额本金贷款法有以下特点：
使用等额本金还款，开始时每月负担比等额本息要重。
尤其是在贷款总额比较大的情况下，相差可能达千元。
由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月递减，因此，等额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减。
2、等额本息贷款法：
所谓等额本息贷款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的。
月还款额计算公式：
pi
a
r
1
rn
1
rn-1
月支付了利息计算公式：
bi
a
r
1
rn
1
rn-1ar1ri1
1rn1
一般银行所使用的等额本息还款方式，是指借款人每月以相等的金额偿还贷款本
.
实用文档
息，但是每月利息和本金所占的比例不同。
1r
i1
第i月还款时需还款的本金为：
a
i
r
r
n
1
1
1
n
1
i
1
第i月所还利息金额为：
bi
a
r
r
r
1
n
1
r
ar
1
r
n
第i月还款总额为：
pi
1
n
1
r
（n
r
1）
1
r
n
1
所还总利息：
la
1
n
1
r
ar
1
r
n
n
还款总额为：
s
r
n
1
1
计算所得各项还款金额为：
i
b
p
1
575.93
1340
1915.93
2
579.78
1336.14
1915.93
3
583.67
1332.26
1915.93
4
587.58
1328.35
1915.93
5
591.52
1324.41
1915.93
179
1890.52
25.42
1915.93
180
1903.19
12.75
1915.93
所还总利息l为144866.5762元
所还总金额s为344866.5762元
选择以年利率8%计算得到每年的还款本息总额、总利息与年份的关系通过柱状图表示如下：
25000
20000
15000
本息总和
10000
总利息
5000
0
2
3
4
5
6
7
8
9
101112131415
1
各年的还款本息总额与总利息统计图
.
实用文档
由上述统计数据表及统计图可得到等额本息贷款法有以下特点：
每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。
通过对等额本金贷款法和等额本息贷款发的比较得出以下结论：
等额本金还款法相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和
利息较多，还款负担逐月递减。
这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来
收入会减少的人群。
实际上，很多中年以上的人群，经过一断时间事业打拼，有一定
的经济基础，考虑到年纪渐长，收入可能随着退休等其他因素减少，就可以选择这种
方式进行还款。
等额本息贷款法相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。
但该方法每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。
该方法比较适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力。
模型二：
由于模型一是建立在一个没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面的理想情况，所以由模型一得出的结果可能会与实际情况有一定出入。
由此我们在考虑还款人在还款期间能够将所剩金额一次还清其他假设均不变的情况下建立了模型二如下：
1、等额本金贷款法
假设贷款人在第
j个月将所剩金额一次还清，则第
j个月应还款金额为：
pj
a/n
qi
r（n
i）a/n
则全部还完后总的还款金额为：
saa
r
（a
2
a）r
...
a
j1
a
r
n
n
简化得s
a
a
r
a
r
j
j1
j
2n
2、等额本息贷款法：
假设贷款人在第j
个月将所剩金额一次还清，则第
j个月应还款金额为：
n
j
ar
1
r
a
pj
n
i
1
r
1
i
1
则全部还完后总的还款金额为：
ar1r
n
n
j
j
a
j
ar1r1r1
pj
1r
n
1
1r
1
n
1
r
r
.
实用文档
提前还款一次性付清的等额本金和等额本息对比曲线
六、模型的合理性讨论
建模时我们人为忽略还贷人可能出现的导致还贷不能进行的特殊情况，例如市场经济的变动，个人收入水平的波动，全球范围的金融危机，利率调整及经济波动等干扰事件都有可能导致还款人对自己的还款计划作出调整。
在出现这些情况时，模型可能不再适用。
但是在还款人收入稳定，全球经济形势没有大的波动，或者国家银行的货币政策没有改革的前提下，本模型明确的建立了还贷时间与还贷金额之间的关系，
能够较准确反映每种还贷方式的特点，在忽略特殊情况的时候，模型可以用于解释，说明各还贷方式在实际情况中的运作过程。
同时本模型直观的反映出了等额本息和等额本金两种还款方式的利弊，可以供不同收入人群参考，在我国大的经济市场背景和国家的宏观调控下，我国的贷款政策或银行利率近期不会变化，因此此种模型符合我国的贷款政策。
七、模型的改进方向
虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的
负担相对的会很重。
而等额本息还款法是每月还银行相等的金额,客户的负担没那么
大,所以,银行一般都推荐等额本金还款法等额本金还款，适合目前收入较高的人群。
借款人在开始还贷时，等额本金还款每月负担比等额本息要重。
随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。
这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。
等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。
还款初期利息占
.
实用文档
每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。
等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。
固定利率贷款就是在贷款合同签订时即设定好固定的利率，在贷款合同期内，不论市场利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，不需要“随行就市”。
等额递增（减）还款方式，是指投资者在人住房商业贷款业务时，与银行商定还款递增或递减的间隔期和额度。
在初始时期，按固定额度还款，此后每月根据间隔期和相应递增或递减额度进行还款的操作办法。
其中，间隔期最少为1个月。
它把还款年限进行了细化分割，每个分割单位中，还款方式等同于等额本息，灵活性强。
区别
在于，每个时间分割单位的还款数额可能是等额增加或者等额递减。
还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。
模型的优点：
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）本文建立离的模型有相应的软件支持，推光容易。
（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。
（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。
（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。
（6）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。
模型缺点：
（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。
（2）利率的精确度不同可能造成一定误差（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来
模型的改进
（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素
（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响（3）对利率有更准确的计算方法（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平
八、模型的应用
本模型适于银行在贷款期利率不变，在这段期间内不考虑经济波动的影响，银行利息按复利计算，客户在还款期内还款能力不变的情况下等额本息和等额本金的贷款以及提前一次性还清的贷款问题。
参考文献
【1】何钦铭，颜晖，C语言程序设计，高等教育出版社。
【2】方道元，韦明俊，数学建模：
方法导引与案例分析，浙江大学出版社。
【3】周凯，宋军全，邬学军，数学建模竞赛入门与提高，浙江大学出版社。
【4】党林立，孙晓群，数学建模简明教程，西安电子科技大学出版社。
【5】杨志明，计算方法及其MATLAB实现，西安电子科技大学出版社。
.
实用文档
附件
1、等额本金贷款法程序
#include
voidmain（）
{
doublea,r,p,s=0,b,l;
inti,n;
printf（"本金：
"）;
scanf（"%lf",&a）;
printf（"利率：
"）;
scanf（"%lf",&r）;
printf（"月份：
"）;
scanf（"%d",&n）;
doubleq=a;
for（i=1;i<=n;i++）
{
p=a/n+q*r;
b=q*r;
printf（"第%d个月的月还款额为：
%6.4f月支付利息为：
%6.4f\n",i,p,b）;q=q-a/n;
s=s+p;
}
l=s-a;
printf（"总还款额为：
%6.4f总支付利息为：
%6.4f\n",s,l）;
}
等额本金程序运行结果：
.
实用文档
2、等额本息贷款法程序
#include
#include
voidmain（）
{
doublea,r,p,s=0,b,l;
inti,n;
printf（"本金：
"）;
scanf（"%lf",&a）;
printf（"利率：
"）;
scanf（"%lf",&r）;
prin
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