数学公式总结.docx
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数学公式总结
1.1基础数列类型
①常数数列如7，7，7，7，7，7，7，7，……
②等差数列如11，14，17，20，23，26，……
③等比数列如16，24，36，54，81，……
④周期数列如2，5，3，2，5，3，2，5，3，……
⑤对称数列如2，5，3，0，3，5，2，……
⑥质数数列如2，3，5，7，11，13，17
⑦合数数列如4，6，8，9，10，12，14
注意：
1既不是质数也不是合数
1.2200以内质数表
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199
1.3整除判定
能被2整除的数，其末尾数字是2的倍数（即偶数）
能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数
能被5整除的数，其末尾数字是5的倍数（即5、0）
能被4整除的数，其末两位数字是4的倍数
能被8整除的数，期末三位数字是8的倍数
能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数
能被25整除的数，其末两位数字是25的倍数
能被125整除的数，其末三位数字125的倍数
1.4经典分解
91=7×13111=3×37119=7×17
133=7×19117=9×13143=11×13
147=7×21153=9×17161=7×23
171=9×19187=11×17209=19×11
1.5常用平方数
数字
平方
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
10
100
11
121
12
144
13
169
14
196
15
225
16
256
17
289
18
324
19
361
20
400
21
441
22
484
23
529
24
576
25
625
26
676
27
729
28
784
29
841
30
900
1.6常用立方数
数字
立方
1
1
2
8
3
27
4
64
5
125
6
216
7
343
8
512
9
729
10
1000
1.7典型幂次数
底数
指数
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
4
9
16
25
36
3
8
27
64
125
216
4
16
81
256
625
1296
5
32
243
1024
6
64
729
7
128
8
256
9
512
10
1024
1.8常用阶乘数
数字
阶乘
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5040
8
40320
9
362880
10
36288000
2.1浓度问题
1.混合后溶液的浓度，应介于混合前的两种溶液浓度之间。
2.浓度=溶质÷溶液
2.2代入排除法
1奇数+奇数=偶数
奇数-奇数=偶数
偶数+偶数=偶数
偶数-偶数=偶数
奇数+偶数=奇数
奇数-偶数=奇数
2.
①任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
②任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差事偶数，则两数奇偶相同。
3.余数特性
①一个数被2除得的余数，就是其末一位数字被2除得的余数
②一个数被5除得的余数，就是其末一位数字被5除得的余数
③一个数被4除得的余数，就是其末两位数字被4除得的余数
④一个数被8除得的余数，就是其末三位数字被8除得的余数
⑤一个数被25除得的余数，就是其末两位数字被25除得的余数
⑥一个数被125除得的余数，就是其末三位数字被125除得的余数
⑦一个数被3除得的余数，就是其各位数字相加后被3除得的余数
⑧一个数被9除得的余数，就是其个位数字相加后被9除得的余数
2.3计算问题
1.平方差
2.完全平方和
3.完全平方差
4.立方和
5.立方差
6.完全立方和
7.完全立方差
8.等比数列求和
（q≠1）
9.循环数
198198198=198×1001001
2134213421342134=2134×1000100010001
检查：
规律：
有多少个循环数，就有多少个1，1之间0的个数是循环数位数-1
例如2134213421342134，中有“2134”四个，所以应该有4个1，同时2134为四位数，所以两个1之间应该有三个0，所以为100100010001
10.乘方尾数口诀
底数留个位，指数除以4留余数（余数为0，则看做4）
例如19991998的末尾数字为：
底数留个位，所以底数为9；指数除以4留余数，1998除以4的余数为2，所以最后为92=81，因此末尾数字为1
11.韦达定理
其中x1和x2是这个方程的两个根，则：
x1+x2=
x1×x2=
逆推理：
如果a+b=ma×b=n
则a、b是
的两个根。
5.4行程问题
1.路程=速度×时间
2.相向运动：
速度取和；同向运动：
速读取差
3促进运动：
速读取和；阻碍运动，速度取差
5.5工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
5.6几何问题
1.常用周长公式：
正方形周长
长方形周长
圆形周长
2.常用面积公式
正方形面积
长方形面积
圆形面积
三角形面积
平行四边形面积
梯形面积
扇形面积
3.常用表面积公式
正方体表面积
长方体表面积
球表面积
圆柱体表面积
4.常用体积公式
正方体体积
长方体体积
球的体积
圆柱体体积
圆锥体体积
5.几何图形放缩性质
若将一个图形扩大至原来的N倍，则：
对应角度仍为原来的1倍；对应长度变为原来的N倍；面积变为原来的N2倍；体积变为原来的N3倍。
6.几何最值理论
1．平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。
2．平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。
3．立体图形中，若表面积一定，越接近于球体，体积越大。
4．立体图形中，若体积一定，越接近于球体，表面积越小。
7.三角形三边关系
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
题目中例8非常重要。
5.7容斥原理
1．两集合标准型核心公式
满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
2．三集合标准核心公式
3．三集合整体重复型核心公式
假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的总量为W。
其中：
满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的数量为y，满足三个条件的数量为z，从而有下面两个等式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
5.8排列组合问题
1.排列公式：
2.组合公式：
3.“捆绑插空法”核心提示
相邻问题——捆绑法：
先将相邻元素全排列，然后视其为一个整体与剩余元素全排列；
不邻问题——插空法：
现将剩余元素全排列，然后将不邻元素有序插入所成间隙中。
4.对抗赛比赛场次基本公式
淘汰赛——①仅需决出冠亚军比赛场次=N-1
②需决出1、2、3、4比赛场次=N
循环赛——①单循环（任意两个队打一场比赛）比赛场次=
②双循环赛（任意两个队打两场比赛）比赛场次=
5.9概率问题
1.单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数
2.某条件成立概率=1-该条件不成立的概率
3.总体概率=满足条件的各种情况概率之和
4.分布概率=满足条件的每个步骤概率之积
5.条件概率：
“A成立”时“B成立的概率”=A、B同时成立的概率÷A成立的概率
5.10边端问题
1.段数公式：
段数=总长÷株距
2.线性植树：
单边植树：
棵树=段数+1
双边植树：
棵树=（段数+1）×2
3.楼间植树：
单边植树棵树=段数-1
双边植树棵树=（段数-1）×2
4.环形植树：
单边植树棵树=段数
双边植树棵树=段数×2
5.方阵问题核心法则：
人数公式：
N层实心方阵的人数=N2
外周公式：
N层方阵最外层人数=（N-1）*4
对于三角阵、五边阵的情况可以此类推
6.过河问题核心法则：
①M个人过河，船上能载N个人，由于需要一个人划船，共需往返
次（需要×2）
②“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程
③载人过河的时候，最后一次不再需要返回。
5.12初等数学问题
1.同余问题
余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期
例如：
①一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1
②一个数除以4余3，除以5与2，除以6余1，则取7，表示为60n+7
③一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，则取3，表示为60n+3
2.等差数列核心公式
求和公式：
项数公式：
级差公式：
通项公式：
5.13年龄问题
1.基本知识点
①每过N年，每个人都长N岁
②两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的
③两个人的年龄之间的倍数随着时间的推移而变小。
2.平均分段法
例如：
甲对乙说：
当我岁数是你现在岁数时，你才4岁。
乙对甲说：
当我的岁数是你现在岁数的时候，你是67岁，则现在甲乙各多少岁？
画出如下图：
67-------------------甲-------乙----------------------4
67-4=63，即相差了63
67-甲-乙-4，共有三段，所以每段为63÷3=21
所以乙=4+21=25岁
所以甲=25+21=46岁
5.14统筹问题
1.“非闭合”货物集中问题
判断每条“路”的两侧的货物总重量，在在这条路上一定是从轻的一侧流向重的一侧。
特别提示：
①本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中
②本法则的应用，与各条路径的长短没有关系
③我们应该从中间开始分析，这样可以更快。
2.货物装卸为题
如果有M辆车和（N>M）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M各工厂所需的装卸工之和。
（若M>=N，则需要把各个点上的人加起来即答案）
排列数公式：
P
＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）
组合数公式：
C
＝P
÷P
＝（规定
＝1）。
“装错信封”问题：
D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，
年龄问题：
关键是年龄差不变；
几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
日期问题：
闰年是366天，平年是365天，其中：
1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。
植树问题
（1）线形植树：
棵数＝总长
间隔＋1
（2）环形植树：
棵数＝总长
间隔
（3）楼间植树：
棵数＝总长
间隔－1
（4）剪绳问题：
对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段
鸡兔同笼问题：
鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
（一般将“每”量视为“脚数”）
得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：
不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
例：
“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？
”
解：
（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）
盈亏问题：
（1）一次盈，一次亏：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（2）两次都有盈：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
（3）两次都是亏：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（4）一次亏，一次刚好：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数
（5）一次盈，一次刚好：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：
“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：
有多少个小朋友和多少个桃子？
”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
钟表问题：
钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的
，分针每小时可追及
时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。
公务员常用数学公式汇总
常用数学公式汇总
一、基础代数公式
1.平方差公式：
（a＋b）×（a－b）＝a2－b2
2.完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab＋b2
完全立方公式：
（a±b）3=（a±b）（a2ab+b2）
3.同底数幂相乘:
am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）
同底数幂相除：
am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）
a0＝1（a≠0）
a-p＝（a≠0，p为正整数）
4.等差数列：
（1）sn＝＝na1+n（n-1）d；
（2）an＝a1＋（n－1）d；
（3）n＝＋1；
（4）若a,A,b成等差数列，则：
2A＝a+b；
（5）若m+n=k+i，则：
am+an=ak+ai；
（其中：
n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）
5.等比数列：
（1）an＝a1q－1；
（2）sn＝（q1）
（3）若a,G,b成等比数列，则：
G2＝ab；
（4）若m+n=k+i，则：
am·an=ak·ai；
（5）am-an=（m-n）d
（6）＝q（m-n）
（其中：
n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）
6.一元二次方程求根公式：
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）
其中：
x1=；x2=（b2-4ac0）
根与系数的关系：
x1+x2=-，x1·x2=
二、基础几何公式
1.三角形：
不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两
边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；
（1）角平分线：
三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：
连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：
三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：
连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
（5）内心：
角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。
重心：
中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。
垂线：
高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。
外心：
三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
外心到三角形的三个顶点的距离相等。
直角三角形：
有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；
（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：
a、b为两直角边长，c为斜边长）；
（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；
直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°；
（2）边上的中线等于这条边长的一半；
（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
2.面积公式：
正方形＝边长×边长；
长方形＝长×宽；
三角形＝×底×高；
梯形＝；
圆形＝R2
平行四边形＝底×高
扇形＝R2
正方体＝6×边长×边长
长方体＝2×（长×宽＋宽×高＋长×高）；
圆柱体＝2πr2＋2πrh；
球的表面积＝4R2
3.体积公式
正方体＝边长×边长×边长；
长方体＝长×宽×高；
圆柱体＝底面积×高＝Sh＝πr2h
圆锥＝πr2h
球 ＝
4.与圆有关的公式
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
（1）d﹤r：
点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；
（2）d＝r：
点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；
（3）d﹥r：
点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；
线与圆的位置关系的性质和判定：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：
（1）直线与⊙O相交：
d﹤r；
（2）直线与⊙O相切：
d＝r；
（3）直线与⊙O相离：
d﹥r；
圆与圆的位置关系的性质和判定：
设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：
（1）两圆外离：
；
（2）两圆外切：
；
（3）两圆相交：
（）；
（4）两圆内切：
（）；
（5）两圆内含：
（）．
圆周长公式：
C＝2πR＝πd（其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926≈）；
的圆心角所对的弧长的计算公式：
＝；
扇形的面积：
（1）S扇＝πR2；
（2）S扇＝R；
若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：
S侧＝πr；
圆锥的体积：
V＝Sh＝πr2h。
三、其他常用知识
1．2X、3X、7X、8X的尾数都是以4为周期进行变化的；4X、9X的尾数都是以2为周期进行变化的；
另外5X和6X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。
2．对任意两数a、b，如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＜0，则a＜b；如果a－b＝0，则a＝b。
当a、b为任意两正数时，如果a/b＞1，则a＞b；如果a/b＜1，则a＜b；如果a/b＝1，则a＝b。
当a、b为任意两负数时，如果a/b＞1，则a＜b；如果a/b＜1，则a＞b；如果a/b＝1，则a＝b。
对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果
a＞C，且C＞b，则我们说a＞b。
3．工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；
注：
在解决实际问题时，常设总工作量为1。
4．方阵问题：
（1）实心方阵：
方阵总人数＝（最外层每边人数）2
最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4
（2）空心方阵：
中空方阵的人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2
＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。
例：
有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解：
（10－3）×3×4＝84（人）
5．利润问题：
（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；
利润率＝＝＝－1；
销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝。
（2）单利问题
利息＝本金×利率×时期；
本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）；
本金＝本利和÷（1+利率×时期）。
年利率÷12=月利率；
月利率×12=年利率。
例：
某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？
”
解：
用月利率求。
3年=12月×3=36个月
2400×（1+10．2％×36）=2400×1．3672=3281．28（元）
6．排列数公式：
P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）
组合数公式：
C＝P÷P＝（规定＝1）。
“装错信封”问题：
D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，
7.年龄问题：
关键是年龄差不变；
几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
8.日期问题：
闰年是366天，平年是365天，其中：
1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。
9.植树问题
（1）线形植树：
棵数＝总长间隔＋1
（2）环形植树：
棵数＝总长间隔
（3）楼间植树：
棵数＝总长间隔－1
（4）剪绳问题：
对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段
10.鸡兔同笼问题：
鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
（一般将“每”量视为“脚数”）
得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：
不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
例：
“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？
”
解：
（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）
11．盈亏问题：
（1）一次盈，一次亏：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（2）两次都有盈：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
（3）两次都是亏：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（4）一次亏，一次刚好：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数
（5）一次盈，一次刚好：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：
“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：
有多少个小朋友和多少个桃子？
”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
12.行程问题：
（1）平均速度：
平均速度＝
（2）相遇追及：
相遇（背离）：
路程÷速度和＝时间
追及：
路程÷速度差＝时间
（3）流水行船：
顺水速度＝船速＋水速；
逆水速度＝船速－水速。
两船相向航行时，甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
两船同向航行时，后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。
（4）火车过桥：
列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度
（5）多次相遇：
相向而行，第一次相遇距离甲地a千米，第二次相遇距离乙地b千米，则甲乙两地相距
S＝3
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