1213小学奥数练习卷知识点孙子定理中国剩余定理含答案解析.docx

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1213小学奥数练习卷知识点孙子定理中国剩余定理含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：

孙子定理[中国剩余定理]）

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人

得分

一．选择题（共4小题）

1．有一个整数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4，这个数可能是（　　）

A．67B．73C．158D．22

2．给出一列数：

23+m，23+2m，23+3m，…，23+2015m，这2015个数的和除以14的余数是（　　）（其中m为正整数）

A．9B．7C．5D．3

3．设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：

使得用ɑ除64的余数是4；用ɑ除155的余数是5；用ɑ除187的余数是7，则ɑ=（　　）

A．10B．15C．30D．60

4．设m是一个满足下列条件的最大正整数；用m除64的余数是4；用m除55的余数是5；用m除187的余数是7；则m=（　　）

A．10B．15C．30D．60

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人

得分

二．填空题（共43小题）

5．被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是　　．

6．如果两个不同自然数的积被5除余1，那么我们称这两个自然数互为“模5的倒数”．比如，3×7=21，被5除余1，则3和7互为“模5的倒数”．即3与7都是有“模5的倒数”的数．那么8，9，10，11，12中有“模5的倒数”的数为　　，最小的“模5的倒数”分别为　　．

7．997×999×1001×1003除以13的余数是　　．

8．一个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是　　．

9．m，n，p是三个不同的正整数，它们除以13的余数分别是3，6，11那么（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是　　．

10．在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有　　个．

11．在小于2016的正整数中，被63除后，商和余数相同的数有　　个．

12．某数加上31的和被9除的余数是2，原来这个数被9除的余数是　　．

13．一个数除以5余2，除以6余2，除以7余3，求能满足这三个条件的最小自然数是　　．

14．满足被7除余3，被9除余4，并且小于100的自然数有　　．

15．若A、B、C三种文具分别有38个，78和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有　　人．

16．有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有　　个．

17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果，114块饼干，83块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩3个苹果，10块饼干，5块巧克力．这个班最多有　　位小朋友．

18．被3除余2，被5除余4，被7除余4的最小自然数是　　．

19．所有三位数中被7除余1的所有数的和是　　．

20．一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数最小是　　．

21．一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是　　．

22．若有8分和15分的邮票可以无限制地取用，但某些邮资如：

7分、29分等不能刚好凑成，那么只用8分和15分的邮票不能凑成的最大邮资是　　．

23．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．

24．有一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，除以9余5．这个数至少是　　．

25．有一个数除以5余数是2，除以7余数是3，这个数除以35的余数是　　．

26．某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是　　．

27．一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9与5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是　　．

28．有一个数除以5余数是3，除以7余数是2，这个数除以35的余数是　　．

29．五

（1）班学生人数不足50人，排队时，每排3人，结果多1人；每排4人，结果多3人；每排7人，结果多1人．五

（1）班共有　　人．

30．厨房买来一些鸡蛋，总数不到100个，3个3个地数余2个，4个4个地数余3个，5个5个地数余4个．这些鸡蛋一共有　　个．

31．有一个整数，用它去除70、110、160得到的三个余数之和是50．这个整数是　　．

32．一个数，它除以11余8，除以13余10，被3除余1，这个数最小是　　．

33．一个数在1500﹣2000之间，除以5余3，除以8余1，除以9余5，这个数是　　．

34．有一个自然数被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个自然数最小　　．

35．一个四位数被7除余2，被13除余10，被17除余6，符合要求的最大四位数是　　．

36．有一个自然数，除以3余数是1，除以5余数是2，除以7余数是3，这个数最小是　　．

37．已知自然数p除以16和19都有余数，并且p除以16所得的商与余数的和等于p除以19所得到的商与余数的和，若300≤p≤700，则满足条件的p共有　　个．

38．用一个数除200余4，除235则不足3．这个数最大是　　．

39．一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为　　．

40．五年级的学生排队做操，如果10人一行则余2人，如果12人一行则余4人，如果16人一行则余8人，那么五年级最少有　　人．

41．一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是　　．

42．某校学生不到2000人，如果每7人分一组则多2人，如果每8人分一组则少4人，如果每9人分一组则多1人，该校学生最多有　　人．

43．一个数除300余11，除500余7，除800余1，这个数是　　．

44．数119具有以下性质：

当它被2除余1；被3除余2；被4除余3；被5除余4；被6除余5；那么，具有这样性质的三位数（包括数119在内）共有　　个．

45．一堆零件有100多个，如果4个4个包装多2个；7个7个包装则多3个；9个9个包装则多5个．这堆零件准确数是　　个．

46．一个数被2，3，7除结果都余1，这个数最小是　　．

47．六位数

能被11整除，x是0到9中的数，这样的六位数是　　．

评卷人

得分

三．解答题（共3小题）

48．一个四位数，它被146除余69，被145除余84，求它被57除余数是多少？

49．一个三位数被3除余1，被5除余3，被7除余5，这个数最大是多少？

50．有一些除法算式，被除数、除数、商都是自然数，它们的和是A，且算式中的商和余数相同，已知满足条件的算式至少有五个，A可以是　　，请写出一组符合要求的算式．

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．有一个整数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4，这个数可能是（　　）

A．67B．73C．158D．22

【分析】先求出3、5、7两两的最小公倍数，即15、21、35，再分别除以7、5、3，根据余数调整成符合要求的数，再求和即可．

【解答】解：

[3，5]=15，[3，7]=21，[5，7]=35

15÷7=2…1

因为除以7余数是4，所以余数要扩大4倍，才满足条件，

所以，15×4=60

同理，21÷5=4…1

21×3=63

35÷3=11…2

[3，5，7]=105

所以这个数可能是：

60+63+35=158，或158﹣105=53．

故选：

C．

【点评】本题考查了中国剩余定理，关键是求出模3、5、7两两的最小公倍数的余数．

2．给出一列数：

23+m，23+2m，23+3m，…，23+2015m，这2015个数的和除以14的余数是（　　）（其中m为正整数）

A．9B．7C．5D．3

【分析】先求和，再分析除以14的余数，即可得出结论．

【解答】解：

由题意，23+m+23+2m+23+3m+…+23+2015m

=23×2015+

m，

=23×2015+1008×2015m，

23除以14的余数是9，2015除以14的余数是13，9×13=117除以14的余数是5，

1008×2015m除以14的余数是0，

所以23×2015+1008×2015m除以14的余数是5，

故选：

C．

【点评】本题考查孙子定理，考查余数问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

3．设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：

使得用ɑ除64的余数是4；用ɑ除155的余数是5；用ɑ除187的余数是7，则ɑ=（　　）

A．10B．15C．30D．60

【分析】根据题意可知，a一定能整除（64﹣4）、（155﹣5）、（187﹣7），即a一定是60、150、180的最大公因数，只要用短除法即可求出最大公因数．

【解答】解：

64﹣4=60

155﹣5=150

187﹣7=180

所以60、150、180的最大公因数是：

5×3×2=30

因此，a=30．

故选：

C．

【点评】本题考查了孙子定理，由于本题是求的最大的“模”，所以可以简单地用求最大公因数的方法解答．

4．设m是一个满足下列条件的最大正整数；用m除64的余数是4；用m除55的余数是5；用m除187的余数是7；则m=（　　）

A．10B．15C．30D．60

【分析】先确定出m是50，60，180的约数，即可确定出m可能的值，即可．

【解答】解：

由于64﹣4=60，55﹣5=50，187﹣7=180，

所以，m是50，60，180的约数，

所以m=1或m=2，或m=5或m=10，

由于m是最大的正整数，

所以，m=10，

故选：

A．

【点评】此题是孙子定理，主要考查了数的除法，数的约数，解本题的关键是确定出m的可能值是解本题的关键．

二．填空题（共43小题）

5．被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是　57　．

【分析】本题从表面上看是带余数的除法，实际上可以归为最小公倍数一类．因为被4除余1，被5除余2，被6除余3，也就是：

该数是6的倍数，5的倍数，4的倍数，都少了一个3，所以符合要求的是4，5，6的最小公倍数少3．

【解答】解：

4=2×2

6=2×3

所以4、5、6的最小公倍数是2×2×3×5=60

60﹣3=57

故答案为：

57．

【点评】本题从表面上看是带余数的除法，实际上可以归为最小公倍数一类．

6．如果两个不同自然数的积被5除余1，那么我们称这两个自然数互为“模5的倒数”．比如，3×7=21，被5除余1，则3和7互为“模5的倒数”．即3与7都是有“模5的倒数”的数．那么8，9，10，11，12中有“模5的倒数”的数为　8和12　，最小的“模5的倒数”分别为　2和3或1和6　．

【分析】因为5的倍数的末尾是0或5，所以被5除余1的数的末尾是1或6，据此解答即可．

【解答】解：

因为5的倍数的末尾是0或5，所以被5除余1的数的末尾是1或6

在8，9，10，11，12这四个数中，只有8×12=96符合要求．

因为1×6=6，2×3=6，所以最小的“模5的倒数”分别是2和3或1和6．

【点评】本题关键要理解因为5的倍数的末尾是0或5，所以被5除余1的数的末尾是1或6，据此解答即可．

7．997×999×1001×1003除以13的余数是　0　．

【分析】1001÷13=77，余数为0，根据积的余数等于余数的积，可得997×999×1001×1003除以13的余数．

【解答】解：

1001÷13=77，余数为0，根据积的余数等于余数的积，可得997×999×1001×1003除以13的余数是0．

故答案为0

【点评】本题考查中国剩余定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

8．一个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是　104或119　．

【分析】根据“这个自然数被3除余2，被5除余4”，即被3除差1，被5除差1，可知这个自然数最小是比3和5的最小公倍数少1的数，进而先求出3和5的最小公倍数，然后再找到大于100且小于125种的公倍数，然后再减去1即可．

【解答】解：

3和5互质，

所以3和5的最小公倍数是：

3×5=15，

100÷15≈7，125÷15≈8，

15×7=105，15×8=120，

105﹣1=104，120﹣1=119，

所以这个数是：

104或119．

故答案为：

104或119．

【点评】本题考查了孙子定理，解决此题关键是理解把这个自然数增加1，所得数就正好被3和5整除；从而得出该自然数是比3和5的公倍数少1的数．

9．m，n，p是三个不同的正整数，它们除以13的余数分别是3，6，11那么（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是　4　．

【分析】根据“具有同一模的两个同余式，两边分别相加减，仍得同一模的另一同余式”；以及“具有同一模的两个同余式，两边分别相乘，仍得同一模的另一同余式”解答即可．

【解答】解：

（m+n﹣p）（2m﹣n+p）

=（3+6﹣11）×（2×3﹣6+11）

=﹣22

﹣22（mod）=﹣2×13+4（mod13）=4（mod13）

所以，（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是4．

故答案为：

4．

【点评】本题考查了孙子定理，关键是明确孙子定理的两个性质定理．

10．在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有　6　个．

【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1；5÷2=2…1，5÷3=1…2，然后再去掉被5除余数为1和2的，据此找出满足此条件的数即可．

【解答】解：

一个数除以2，如果有余数，余数只能是1．

而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．

满足以上两个条件的数为2×3=6的倍数少1．

有：

5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．

又因为5÷3=1…2，

再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．

符合条件的数只有：

23、29、53、59、83、89，共6个数．

答：

余数彼此不等的数有6个．

故答案为：

6．

【点评】本题考查了余数问题，难点是确定余数是什么样的数才能被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等．

11．在小于2016的正整数中，被63除后，商和余数相同的数有　31　个．

【分析】商和余数相同，先求出2016除以63的商，即2016÷63=32，所以相同的商和余数一定小于32，据此解答即可．

【解答】解：

2016÷63=32，

商最大是31，最小为1，

所以商和余数可能是1～31的数，

所以商和余数相同的数有31个．

答：

商和余数相同的数有31个．

故答案为：

31．

【点评】本题考查了余数问题，关键是明确余数与商、除数的关系．

12．某数加上31的和被9除的余数是2，原来这个数被9除的余数是　7　．

【分析】因为某数加上31的和被9除的余数是2，所以某数加上29的和能被9整除，因为29=9×3+2，所以可得原来这个数被9除的余数．

【解答】解：

因为某数加上31的和被9除的余数是2，

所以某数加上29的和能被9整除，

因为29=9×3+2，

所以原来这个数被9除的余数是7，

故答案为7．

【点评】本题考查余数问题，考查学生分析解决问题的能力，转化为某数加上29的和能被9整除是关键．

13．一个数除以5余2，除以6余2，除以7余3，求能满足这三个条件的最小自然数是　122　．

【分析】因为一个数除以5余2，除以6余2，所以一个数减去2能被5，6整除，所以这个数可表示为30n+2，根据这个数除以7余3，可得能满足这三个条件的最小自然数．

【解答】解：

因为一个数除以5余2，除以6余2，

所以一个数减去2能被5，6整除，

所以这个数可表示为30n+2，

因为这个数除以7余3，所以这个数最小为122，

故答案为122．

【点评】本题考查孙子定理，考查余数问题，确定一个数减去2能被5，6整除是关键．

14．满足被7除余3，被9除余4，并且小于100的自然数有　31、94　．

【分析】先写出100以内满足被9除余4，然后再找出同时被7除余3的数即可．

【解答】解：

100以内满足被9除余4的数有：

4、13、22、31、40、49、58、67、76、85、94，

其中满足被7除余3的数有：

31、94；

答：

满足被7除余3，被9除余4，并且小于100的自然数有31、94．

故答案为：

31、94．

【点评】本题考查了剩余定理，可以先用列举法先写出满足一个条件的数，再从中找到满足第二个条件的数．

15．若A、B、C三种文具分别有38个，78和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有　36　人．

【分析】分别用三种文具的个数减去剩下的个数，求出这三种文具分给学生的个数，求出这三个数的最大公约数，就是学生最多的人数．

【解答】解：

38﹣2=36（个）

78﹣6=72（个）

128﹣20=108（个）

36、48和108的最大公约数是36，所以学生最多有36人．

故答案为：

36．

【点评】本题的关键是让学生理解，分成出个数都是学生数的公倍数，要使学生最多，就是求分出数的最大公约数．

16．有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有　62　个．

【分析】因为11÷3，10÷4，12÷5余数都是2，因此这筐苹果的个数就是3、4、5的最小公倍数加上2即可．

【解答】解：

11÷3=3…2，

10÷4=2…2，

12÷5=2…2，

3×4×5+2=60+2=62（个）；

答：

这筐苹果至少有62个．

故答案为：

62．

【点评】此题解答的关键是运用求最小公倍数的方法，使问题变得简单化．

17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果，114块饼干，83块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩3个苹果，10块饼干，5块巧克力．这个班最多有　26　位小朋友．

【分析】根据题意，已知55个苹果，114块饼干，83块巧克力，平均分发完毕后，还剩3个苹果，10块饼干，5块巧克力，那么总共发了苹果52个，饼干104块，巧克力78块，然后求这三个数的最大公约数，即可得出答案．

【解答】解：

55﹣3=52，114﹣10=104，83﹣5=78，

52=2×2×13，

104=2×2×2×13，

78=2×3×13，

所以52、104、78的最大公约数是2×13=26．

答：

这个班最多有26位小朋友．

故答案为：

26．

【点评】此题属于中国剩余定理，运用了求最大公约数的方法进行解答．

18．被3除余2，被5除余4，被7除余4的最小自然数是　74　．

【分析】由于这个数被3除余2，被5除余4，所以把这个数加1，则它同时被3和5整除，也就是被15整除，所以这个数是15k﹣1的形式，即14，29，44，59，74，89，…，然后再根据被被7除余4这个条件验证这些数，这列数中最小的就是所求．

【解答】解：

由题意可知，把这个数加1，则它同时被3和5整除，也就是被15整除，

所以这个数是15k﹣1的形式，即14，29，44，59，74，89，…，

因为这个数被7除余4，

经验证，这个数是74；

故答案为：

74．

【点评】先根据“被3除余2，被5除余4”这个条件得出这个数是15k﹣1的形式是完成本题的关键．

19．所有三位数中被7除余1的所有数的和是　70464　．

【分析】先找出符合条件的最小数，然后找出最大数，所有符合条件的数就组成了一个等差数列，接下去采用等差数列求和公式求和．

【解答】解：

100÷7=14…2，因此符合条件的数最小是7×15+1=106

1000÷7=142…6，因此符合条件的数最大是1000﹣6+1=995

符合条件的数一共有（995﹣106）÷7+1=128个

（106+995）×128÷2=70464

故填70464

【点评】此题的解题思路是求出首项、末项和项数，然后采用（首项+末项）×项数÷2求和．

20．一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数最小是　104　．

【分析】一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数就是比3、5、7的最小公倍数少1的数．据此解答．

【解答】解：

3、5和7的最小公倍数=3×5×7=105

105﹣1=104

答：

这个自然数最小是104．

故答案为：

104．

【点评】本题的重点是观察余下的数再添上1都能被3、5、7整除，所以这个数是比3、5、7的最小公倍数少1．

21．一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是　14　．

【分析】用一个两位数除58余2，除73余3，除85余1，那么58﹣2=56，73﹣3=70，85﹣1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数．

由可可见，56、70、84的两位数公约数是2×7=14，可见这个两位数是14．

【解答】解：

58﹣2=56，73﹣3=70，85﹣1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数．

由可可见，56、70、84的两位数公约数是2×7=14，可见这个两位数是14．

故答案为14．

【点评】此题考查了学生对公约数、短除法的掌握情况．

22．若有8分和15分的邮票可以无限制地取用，但某些邮资如：

7分、29分等不能刚好凑成，那么只用8分和15分的邮票不能凑成的最大邮资是　97分　．

【分析】设15分的邮票a张，8分的邮票b张，则能拼成的邮资可以表示为n=15a+8b，根据这个对每种情况进行分析．

【解答】解：

设15分的邮票a张，8分的邮票b张，则能拼成的邮资可以表示为n=15a+8b

（1）当a=0时，n可取所有8的倍数．

（2）当a=1时，n可取除以8余数7的数，但15﹣8=7无法取到；

（3）当a=2时，n可取除以8余数6的数，但15×2﹣8=22无法取到；

（4）当a=3时，n可取除以8余数5的数，但15×3﹣8=37无法取到；

（5）当a=4时，n可取除以8余数4的数，但15×4﹣8=52无法取到；

（6）当a=5时，n可取除以8余数3的数，但15×5﹣8=67无法取到；

（7）当a=6时，n可取除以8余数2的数，但15×6﹣8=82无法取到；

（8）当a=2时，n可取除以8余数1的数，但15×7﹣8=97无法取到；

所以不能凑成的最大邮资是97分．

【点评】以上这个讨论过程比较复杂，但通过这个讨论，可以有以下结论：

n=xa+yb，n无法取到的最大整数是xy﹣x﹣y．

23．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．

【分析】先依据题目条件求出这个数除以9的余数的取值范围，从而能确定出这个数除以8的商的取值范围，在这两个值的取值范围内，逐一选用，就能得到符合要求的自然数，问题得解．

【解答】解：

设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13﹣8=5，又显然q≤13．

q=5时，r=8，n=5×