高考理科数学一轮复习抛物线.docx
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高考理科数学一轮复习抛物线
限时规范训练（限时练·夯基练·提能练）
A级 基础夯实练
1．已知点A（－2，3）在抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A．－ B．－1
C．－D．－
解析：
选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为（2，0）．又A（－2，3），所以直线AF的斜率为k＝＝－.
2．若点A，B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是（ ）
A．y2＝xB．y2＝x
C．y2＝2xD．y2＝x
解析：
选A.根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为（2，2）代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求的抛物线方程为y2＝x.故选A.
3．（2018·皖北协作区联考）已知抛物线C：
x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝8yB．x2＝4y
C．x2＝2yD．x2＝y
解析：
选C.由得或
即两交点坐标为（0，0）和（4p，8p），则＝4，得p＝1（舍去负值），故抛物线C的方程为x2＝2y.
4．（2018·湖南省五市十校联考）已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为（ ）
A.B．2
C．4D．8
解析：
选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y2＝2x中，解得a＝或a＝（舍），此时A（2，2），故点A到原点的距离为2.
5．（2018·太原模拟）已知抛物线C：
y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于（ ）
A.B．
C．3D．2
解析：
选C.因为＝4，所以||＝4||，所以＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以＝＝，所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.
6．（2018·江西协作体联考）设抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
解析：
选C.由已知得抛物线的焦点F，设点A（0，2），抛物线上点M（x0，y0），则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，即抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.
7．（2018·云南大理州模拟）在直角坐标系xOy中，有一定点M（－1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：
依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，
把焦点坐标代入可求得p＝，
所以准线方程为y＝－.
答案：
y＝－
8．（2018·河北六校模拟）抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
解析：
设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，
所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，
又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8.
所以抛物线方程为y2＝16x.
答案：
y2＝16x
9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
解析：
如图，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（－1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝＝.
答案：
10．（2018·湖北武汉调研测试）已知抛物线C：
x2＝2py（p＞0）和定点M（0，1），设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
（2）若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：
由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：
y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
（1）由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
（2）易得直线AN：
y－y1＝（x－x1），直线BN：
y－y2＝（x－x2），
联立，得结合①式，
解得即N（pk，－1）．
|AB|＝|x2－x1|＝＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
B级 能力提升练
11．（2018·河北邯郸质检）已知抛物线y2＝2px（p＞0）过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为（ ）
A.B．
C．2D．3
解析：
选C.把点A代入抛物线的方程得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B（－1，0），设M，则＝，＝（－1－，－yM），由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1（舍去），故选C.
12．（2018·河南郑州模拟）已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：
x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x＝－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为（ ）
A．5B．4
C．3D．2
解析：
选C.如图，由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），连接PF，FQ，则d＝|PF|，将圆C的方程化为（x＋1）2＋（y－4）2＝4，圆心为C（－1，4），半径为2，则|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|（当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号）．所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|＝－2＝3，故选C.
13．（2018·广东五校联考）已知过抛物线C：
y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．[2，＋∞）
C．（0，2]D．（2，＋∞）
解析：
选D.由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为（2，0），直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k（x－2）．由消去y整理得k2x2－4（k2＋2）x＋4k2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），S（x3，y3），则x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k（x0－2）＝，所以kOS＝＝，直线OS的方程为y＝x，代入抛物线方程，解得x3＝，由条件知k2＞0.所以＝＝k2＋2＞2.选D.
14．（2018·河南洛阳统一考试）已知抛物线C：
x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2＋－3＝0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．
解析：
依题意得，抛物线的焦点为F（0，1），准线方程是y＝－1，因为2（－）＋（－）＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：
y＝kx＋1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则由得x2＝4（kx＋1），即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4 ①；
又2＋＝0，因此2x1＋x2＝0 ②.
由①②解得x＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为[（y1＋1）＋（y2＋1）]＝（y1＋y2）＋1＝（x＋x）＋1＝＋1＝.
答案：
15．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝－4（其中O为坐标原点），则△ABO面积的最小值是________．
解析：
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，由·＝－4，即x1x2＋y1y2＝－4得yy＋y1y2＝－4，得y1y2＝－8.所以S△ABO＝|x1y2－x2y1|＝|y1－y2|≥4，当y1＝2，y2＝－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.
答案：
4
C级 素养加强练
16．已知抛物线C：
y2＝2px过点P（1，1）．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：
A为线段BM的中点．
解：
（1）把P（1，1）代入y2＝2px得p＝，所以抛物线C：
y2＝x，所以焦点坐标为，准线：
x＝－.
（2）证明：
设l：
y＝kx＋，M（x1，y1），N（x2，y2），
OP：
y＝x，ON：
y＝x，
由题知A（x1，x1），B，
由
消去y得k2x2＋（k－1）x＋＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝.
所以y1＋＝kx1＋＋＝2kx1＋，
由x1＋x2＝，x1x2＝，
上式＝2kx1＋＝2kx1＋（1－k）·2x1＝2x1，
所以A为线段BM的中点．
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