抛物线及其标准方程.docx
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抛物线及其标准方程
【基础知识导引】
1．抛物线的轨迹定义是什么？
2．如何建立抛物线的标准方程？
它有几种不同形式？
标准方程中参数P的几何意义是
什么？
3．如何求抛物线上一点到它的焦点的距离？
4．如何判断直线与抛物线的位置关系？
【重点难点解析】
1．抛物线的定义
平面上到定点F和到点直线1距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。
这里，点F不在直线1上，否则其轨迹是过点F且与1垂直的直线。
与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线。
2．抛物线的标准方程
将抛物线的顶点放在原点，焦点放在坐标轴上，可以得到抛物线的标准方程，它共有
四种不同形式，即y22px，y2px，x2py，x2py，其中p>0，它的几
何意义是焦点F到准线1的距离。
3．直线与抛物线的位置关系
判断直线与抛物线的位置关系可采用方程讨论法，特别提醒的是，与抛物线的对称轴
平行的直线与抛物线也只有一个公共点，从而“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线
与抛物线相切”的必要非充分条件。
4．弦长公式
设直线1的斜率为k，它与抛物线y22px（p0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），
则弦长|AB|1k2|x1x2|112|y1y2|，特别地，如果1过抛物线的焦点F，
k2
由抛物线的定义可知，焦点弦长
pp
|AB||AF||BF|x1px2px1x2p。
22
【难题巧解点拨】
例1已知抛物线的方程为yax2（a0），求它的焦点坐标和准线方程。
分析本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法，先将其化为标准方程，求出参
数p的值，再根据开口方向确定焦点坐标和准线方程。
解抛物线方程即x21y
a
111
当a>0时，p且开口向上，∴焦点坐标是（0，），准线方程是y；
2a4a4a
1p11
当a<0时，p且开口向下，∵，∴焦点坐标仍然是F（0，），准线方
2a24a4a
程还是y
1
4a
点评由抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程，应首先将其化成标准形式，再将一次项系数除以4，并根据开口方向写出焦点坐标和准线方程。
例2动圆P与定圆C:
（x1）2y21外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹。
分析本题考查曲线与方程、抛物线等知识，根据直线与圆，圆与圆相切的条件找到动点P满足的条件，即可求出点P的轨迹方程，再由方程说明其轨迹是何种曲线。
解设（x，y），动圆P的半径为r，圆心C（1，0），半径为1
∵两圆外切，∴|PC|=r+1
又圆P与y轴相切，∴r=|x|（x≠0）
即（x1）2y2|x|1
平方并整理得y22（|x|x）
当x>0时，得y24x；当x<0时，得y=0
∴点P的轨迹方程是y24x（x>0）或0（x<0），表示一条抛物线和x轴的负半轴（除
去原点）。
点评点P未必在y轴右侧，所以半径r=|x|而不是r=x，否则将漏掉x的负半轴，当
x=0时，圆P缩为一点，故应除去原点（0，0）。
2
例3直线1过点（0，1）且与抛物线y22x只有一个公共点，求直线1的方程。
分析本题考查直线与抛物线的位置关系，采用方程讨论法。
解设直线1的斜率为k。
当k不存在时，1：
x=0即y轴显然满足题意。
当k存在时，设l：
y=kx+1代入y22x得
k2x2（k1）x10①
1
若k=0，则方程①有惟一解x，从而1与抛物线只有一个公共点，1的方程是y=1
2
2211
若k≠0，由方程①有惟一解得4（k1）24k20，解得k，∴l:
yx1。
22
1
故所求直线1的方程是：
x=0或y=1或yx1。
2
点评从图形直观看，因为点（0，1）在抛物线外，过该点作抛物线的切线必有两条，又过该点且与x轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，故符号条件的直线必有3条，在用代数方法研究时，k不存在的情况及与对称轴平行的情况容易漏求，解题时定要细心。
例4顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=x－1所截得的弦长为8，求此抛物线的方程。
分析本题考查抛物线的标准方程，弦长公式等，根据条件设出其方程，再由弦长确定参数p的值。
解设所求抛物线方程是y22px（p0），将y=x－1代入并整理得
x22（p1）x10①
22
则由x1x22（p1），x1x21，得|x1x2|（x1x2）24x1x2p22p
∴弦长|AB|1k2|x1x2|22p22p，
令22p2p8，即p22p80得p=2或p=－4
∴抛物线的方程为y24x或y28x。
点评涉及弦长问题注意韦达定理的应用，在本例中，虽然抛物线的开口方向有向左或向右两种情况，但其标准方程可统一为y22px（p0），而不必分情况讨论。
【拓展延伸探究】
例1已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且过点A（3，26），求抛物线的方程。
分析本题考查待定系数法求抛物线方程，根据点A的位置，设出其标准方程，再将点A的坐标代入即可求得
解因为点A在第二象限，所以抛物线的开口方向向左或向上。
若开口向左，可设方程为y22px，令x=－3，y26得2p=8
若开口向上，可设方程为x22px，令x=－3，y26得2p36
4∴抛物线方程是y8xx36y
4
点评
（1）在抛物线的标准方程中，只含有一个参数p，只要给定一个已知条件，即
可将方程求出；
（2）过某象限内一定点的抛物线必有两条；（3）思考下列变题；
A（－3，m）（m>0）
变题1已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且其上一点
到焦点F的距离是5，求抛物线的方程。
分析可根据点A在抛物线上及|AF|=5两个条件联系解得m和p的值。
p4
m26
m26p
解若设抛物线方程为
y22px，则由p
35
2
92mpp1p9
若设抛物线方程为
x2py，则由p9或1m5mm
222
∴所求抛物线方程是y28x或x22y或x218y
点评
（1）条件|AF|=5应根据定义将其转化为点A到准线的距离。
2）若不限定m>0，则当m<0时，还有两条抛物线适合条件，它们是x22y及
x218y
例2已知抛物线y26x。
（1）求以点M（4，1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）求过焦点F的弦的中点轨迹方程；（3）求抛物线被直线y=x－m截得的弦的中点的轨迹。
分析本题考查直线与抛物线的位置关系、中点弦问题，可设出直线的方程与抛物线方程联立消元求解，也可利用“设而不求”法。
解法一
（1）设直线1：
y―1=k（x―4）（显然k存在且不为零）
y122
即x4代入y26x整理得ky26y6（14k）0，
k
又设弦AB的端点为A（x1，x2），B（x2，y2）则y1y26，∵M为AB中点，k
y1y23
121即1，∴k=3，直线方程为y―1=3（x―4）即3x－y－11=0。
2k
2）焦点F3，0，设l:
yl
2
ky26y9k0，设AB中点为P（x0，
x2（k0）即xk2代入y6x得
y1y23
①又y0kx0
y0），则y0
2k
3
由①，k代入②得
y0
3）由
yxmy26x
y26y6m0，设弦AB的中点为Q（x0，y0），
233y023x03，即所求轨迹方程是y23（x）0022
y0y1y2323
则02由6246m0得m，
2
x0y0mm3
3
2，
3
∴x0m323，即中点Q的轨迹方程是y3x
表示除去端点3,3的一条射线。
2
解法二设直线1交抛物线于A（x1,x2），B（x2，y2）两点，AB中点为M（x0，y0），
y126x1
2（y1y2）（y1y2）6（x1x2），
y226x2
∴kl
y1y26
x1x2y1y2
3
y0
1）由已知y01，∴k13直线方程为y―1=3（x―4）即3x―y―11=0
（2）∵klkMF，∴3y03即y023x03
lMFy0x3002
x0
2
23
∴中点M的轨迹方程是y23x3
2
3
（3）由已知kl1，∴y03
y0
由
y3y26x
x3得x2即直线
y3
y=3与抛物线的交点是
3，3∵直线1与抛物线相交，
2
∴中点M在抛物线内，可知
x03，即中点M的轨迹为射线
02
点评
（1）在本题中，联立消元时都是消去x得到关于y的二次方程，在运算上要比
消去y来得简单些；
（2）直线与抛物线相交，必须考虑“△>0”这一前提条件，在解第
（2）
小题时，由于F在抛物线内，过抛物线内一点的任何直线（除与对称轴平行外）与抛物线
都有两个不同交点，即“△>0”一定成立，但在解（3）小题时，若不考虑“△>0”这一条
件，将得出轨迹是一条直线y=3这一错误结果。
例3过点P（0，4）作圆x2y24的切线1；若1与抛物线y2
于两点A、B，且OA⊥OB，求抛物线方程。
分析本题是直线，圆与抛物线的综合问题，由直线与圆相切的条件求出直线程，将其与抛物线方程联立消元后，利用韦达定理及直线方程可求出x1x2，y1y2的值，而
从而求出参数p的值。
∵1与圆相切，
OA⊥OB，等价于x1x2y1y20，解设直线1：
y=kx+4，
解得k3，由图可知，
应取k3，
∴l:
y3x4
2px（p0）交
1的方
代入y22px得3x2832px160，设A（x1，x2），B（y1，y2）由OA⊥OB
得x1x2y1y20，即x1x23x143x240，
即x1x23（x1x2）40，
832p
3
163832p
33
又x1x2
，x1x2136代入上式得，
3
43
40，解得2p43
3
∴所求抛物线方程是y243x
3
点评
（1）求圆的切线方程时，应根据圆心到切线的距离等于半径来求斜率，而不必
利用方程讨论法；
（2）条件“OA⊥OB”应等价地转化为“x1x2y1y20”来处理，从而为韦达定理的利用提供了可能。
例4如图24，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线
段C上的任一点到l2距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|17，
|AN|=3，|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
分析本题主要考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系及综合运用知识能力，
根据题意可知，曲线段C是抛物线的一段，通过建立适当的坐标系，设出其方程，然后由
题中所给条件求出参数p的值即可。
解由题意，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，以直线l1为x
轴，线段MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，则抛物线的方程可设为y22px（p0），
其中p=|MN|，
∴M（p,0），设A（x1，x2），B（y1，y2），
2
由抛物线的定义，
|AN|x1
3，
又|AM|17即x1
p2y1217
2
②，以及y122px1
由①、②、③联立，消去x1，y1得p26p80，
p4,p2,
∴或
x11,x12,
在△AMN中，|AM|17为最大边，当p=4时，∵|MN|2|AN|244322517，
∴△AMN是锐角三角形。
而当p=2时，|MN|2|AN|222321317，∴△AMN为钝角三角形。
2
∴p=4，x11，抛物线方程是y28x。
又|BN|x2p2x226，∴x24，且曲线段C在x轴上方，
∴方程为y28x（1x4，y0）。
点评
（1）求曲线方程首先应建立恰当的坐标系，由于N是抛物线的焦点，l2是其准
线，故如此建立坐标系使所得方程为标准方程，从而使问题简单化；
（2）在解题中，注意
利用抛物线的焦半径公式，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离来处理；（3）求得两
组解后应根据△AMN为锐角三角形进行取舍；（4）因所求为抛物线的一段，故应在方程中注明其取值范围。
同步达纲练习】
1．抛物线y2x2的焦点坐标是（
A．
12，0
2
B．
18，0
8
C．
1
0，8
D．
0，14
4
2．动点P到直线
x+4=0的距离与它到点
（
M（2，0）
）
的距离之差为
2，
则点P的轨迹是
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．圆心在
2
y2
2x上，且与x轴及抛物线准线均相切的圆的方程是（
12
A．x21（y2）21
B．
2
（y1）2
C．（x1）2（y2）24
4．过点（2，－3）的抛物线的标准方程是
D．（x1）2（y2）24。
5．抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标
是
6．点A（－2，0）关于P的对称点为B，当P在抛物线y2x2上移动时，B点的轨
迹方程是。
2
7．抛物线y22px（p0）有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程
是y=2x，斜边长为53，求此抛物线方程。
8．△ABC的顶点在以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上，已知A（2，8），且△
ABC的重心是抛物线的焦点，求直线BC的方程。
参考答案
同步达纲练习】
1．C（点评：
即x2
1
12y，
∴焦点为0，1）
8
∴圆心是12，1，
而半径为1，∴方程为
x1（y1）21）
2
4．y29x或
2
4
y（点评：
∵点（2，－3）在第四象限，∴可设抛物线方程是
3y22px或x22py，将点代入即可求得）
x2
5．2（点评：
设A（x1，x2），B（y1，y2），则由x1
2p
x225，得：
2．D（点评：
由已知，点P到M（2，
0）和到直线x+2=0的距离相等，故其轨迹为抛物线）
3．B（点评：
由抛物线定义可知，圆与x轴的切点是抛物线的焦点，
x1x24，∴AB中点的横坐标为
x0
6．（点评：
设B
x，y）P（x0，y0），由中点公式可得
y0
x2
2代入y2x2得y
2
y（x2）2即为所求点B的轨迹方程）
7．y2439x
13
点评：
由
2
y2
2px
2x
A2p
y2
，p，由
y
2px
1B（8p，4p）
x
2
再由|AB|53，
解得p
239，∴方程为y
13
439
x
13
x=2，y=8得2p=32，
8．4x+y－40=0。
（点评：
由题意可设抛物线方程为y22px，
2
则D分AF向量所
∴抛物线即y232x，焦点F（8，0），又设BC中点为D（x0，y0），
成的比λ=－3，由定比分点公式可得D（11，－4），于是即求抛物线y232x以点D为中
点的弦所在直线的方程，利用“设而不求”可得，
kAB4，∴直线BC的方程是4x+y－
40=0）
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