12章全三角形教案.docx

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12章全三角形教案

12.1全等三角形

一、定义及相关概念

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________叫做全等三角形。

（2）全等三角形的对应顶点：

、对应角：

、对应边：

。

（3）“全等”符号：

读作“全等于”

（4）全等三角形的性质：

（5）如下图：

这两个三角形是完全重合的，则△ABC△A1B1C1..点A与A点是对应顶点;点B与点是对应顶点;点C与点是对应顶点.对应边：

对应角：

。

二观察与思考：

1.将△ABC沿直线BC平移得△DEF，如图甲；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC，如图乙；将△ABC旋转180°

得△AED，如图丙．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

即≌△DEF，△ABC≌，△ABC≌．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形　　　，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

2.说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、自学检测

1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，则这两个三角形中相等的边。

相等的角。

图1图2图3图4

2、如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其它的对应角

对应边：

ABAEBE

3.已知如图3，△ABC≌△ADE，试找出对应边

对应角．

4.如图4，

AB与DB，AC与DE是对应边，已知：

，求

。

解：

∵∠A+∠B+∠BCA=180（）,

（）

∴∠BCA=

∵

（）

∴∠BED=∠BCA=（）

四、评价反思概括总结

找两个全等三角形的对应元素常用方法有：

1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。

2.根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．

3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

12．2三角形全等的判定

（一）

一、读一读，想一想，画一画，议一议

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

总结：

通过我们画图可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

3、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

4．“边角边”公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据．．

5.例题.如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？

三、探究学习

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

四、深化提高

1．已知：

如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：

△ABE≌△ACF．

2．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：

△ABE≌△CDF．

3、已知：

AD∥BC，AD＝CB，AE=CF（图5）．求证：

△ADF≌△CBE

§15．2三角形全等的判定

（二）

一．温故知新

1．

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

二种：

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了二种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

3.三角形中已知两角一边有几种可能？

．两角和它们的夹边．

．两角和其中一角的对边．

二、判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）

三、探究学习

1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：

AD=AE．

2.观察下图中的两个三角形，它们全等吗？

请说明理由．

3.如图：

在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。

求证：

PA=PD。

§15．2三角形全等的判定（三）

一．回顾思考：

1．

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

“ASA”定理__________________________________________________

二、新课

1.回忆前面研究过的全等三角形．

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与相等的角．

图中相等的边是：

相等的角是：

2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

归纳：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）

3.探究学习

（1）如图

（1），△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

图

（1）图

（2）

．

（2）如图

（2），已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有一个条件：

______________________，怎样才能得到这个条件？

∵__________________________

∴__________________________

∴__________________________

（3）已知,AB=AC,AD是BC边上的中线P是AD的一点,求证：

PB=PC

4.三角形的稳定性：

三、评价反思概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

“ASA”定理_________________________________________________

“SSS”定理_________________________________________________

§15．2三角形全等的判定（四）

一．三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

二、新课

1.三角形全等的判定（四）

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）

2.定理证明

已知：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，

求证：

△ABC与△DEF

三、探究学习

1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

2下图中，若AE=BC则这两个三角形全等吗？

请说明理由．

3.课本P101练习1、2．3

五．评价反思概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律AAS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

2.可以作为判别两三角形全等的常用方法有几种？

各是什么？

“SAS”公理__________________________________________________

②“ASA”定理_________________________________________________

“SSS”定理_________________________________________________

“AAS”定理_________________________________________________

六．作业

§15．2三角形全等的判定（五）

---直角三角形全等的判定

学习目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。

学习重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

Ⅰ．想一想，填一填：

1、判定两个三角形全等常用的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，

斜边是

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

Ⅱ．探究学习

（一）探索新知：

1.阅读教材P101-P102并作出三角形（动手操作）：

2、与教材中的三角形比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）

（二）自学检测：

1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则△ACE≌△BDF，根据

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

理由：

∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）

∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）

在Rt△和Rt△中

∴≌（）

∴∠=∠（）

∴（内错角相等，两直线平行）

（三）、例题:

阅读教材例题:

P102例7

（四）小组合作学习：

判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

Ⅲ．评价反思概括总结

六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）3．HL（仅用在直角三角形中）

Ⅳ．作业

12.3角平分线的性质

（1）

一、学习目标

1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；

2、会用尺规作已知角的平分线．

二、温故知新

如图1，在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：

（1）Rt△MOC≌Rt△NOC

（2）∠MOC=∠NOC．

三、自主探究合作展示

探究

（一）

1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？

2、思考:

把上面的方法改为“在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，使MC=NC，连接OC，则OC即为∠AOB的平分线。

”结论是否仍然成立呢？

3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：

其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

探究

（二）

思考：

如何作出一个角的平分线呢？

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

请同学们依据以上作法画出图形。

议一议：

1、在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

探究（三）

如图3，OA是∠BAC的平分线，点O是射线AM上的任意一点.

操作测量：

取点O的三个不同的位置，分别过点O作OE⊥AB，OD⊥AC,点D、E为垂足，测量OD、OE的长.将三次数据填入下表：

观察测量结果，猜想线段OD与OE的大小关系，写出结论：

OD

OE

第一次

第二次

第三次

图4

下面用我们学过的知识证明发现：

已知：

如图4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：

OE=OD。

四、双基检测

1、如图5所示，在△ABC中，∠C=

，BC=40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC：

DB=3：

5，则点D到AB的距离是___________。

2、如图6所示，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N，则下列结论中错误的是（）

A．CM=CNB.OM=ONC.∠MCO=∠NCOD.ON=CM

3、如图7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：

⑴图中相等的线段有哪些？

相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

12.3角平分线的性质

（2）

一、学习目标

1、掌握角的平分线的性质；

2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．

二、温故知新

1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.

1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.

三、自主探究合作展示

（一）思考：

命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？

若是真命题，请给出证明过程。

已知：

如图1，

求证：

证明：

结论：

（二）思考：

如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

（三）应用举例

例：

如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：

点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

例题反思：

四、双基检测

1.如图4，在

中，

，

平分

，

，那么

点到直线

的距离是　　　　　　cm．

2.如图5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D.

（1）若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系，说明理由;

（2）若AP平分∠BAC，交BD于P,求∠BPA的度数.

3、如图6，所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点O。

求证：

AO⊥BC。

五、学习反思

请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

第12章全等三角形复习

一、复习目标

1、掌握全等三角形的概念及其性质；

2、会灵活运用全等三角形的判定方法解决问题；

3、掌握角平分线的性质并能灵活运用。

二、知识再现

1、全等三角形的概念及其性质

1）全等三角形的定义：

2）全等三角形性质：

（1）

（2）（3）周长相等（4）面积相等

例1．如图1,

≌

，BC的延长线交DA于F，交DE于G,

求

、

的度数.

例题反思：

2、全等三角形的判定方法：

例2.如图2,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：

例题反思：

例3.如图3，在

中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。

且

AD=DE

求证：

≌

.

例题反思：

3、角平分线

例4.如图4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：

EB=FC

例题反思：

三、双基检测

1、下列命题中正确的（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等

C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等

2、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）

　A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边

C．已知两边和其中一边的对角　D．已知三边

3、完成下列证明过程．

如图5，

中，∠B＝∠C，D，E，F分别在

，

，

上，且

，

求证：

．

证明：

∵∠DEC＝∠B＋∠BDE（），

又∵∠DEF＝∠B（已知），

∴∠______＝∠______（等式性质）．

在△EBD与△FCE中，

∠______＝∠______（已证），

______＝______（已知），

∠B＝∠C（已知），

∴

（　　）．

∴ED＝EF（　　）．

四、拓展提高

如图6⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？

请说明理由。

若过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关

系还成立吗？

请说明理由。

五、学习反思

请你对照复习目标，谈一下这节课的收获及困惑。