自动控制习题答案.docx
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自动控制习题答案
第一章
例1-1一个水池水位自动控制系统如图1-1所示。
试简述系统工作原理，指出主要变量
和各环节的构成，画出系统的方框图。
进水阀门
进水
图1-1水池水位控制系统原理图
解在这个水位控制系统中，水池的进水量Q来自由电机控制开度的进水阀门，出水量Q2
随意变化的情况下，保持水箱水位在希望的高度上不变。
希望水位高度由电位器触头A设定，浮子测出实际水位高度。
由浮子带动的电位计触
头B的位置反映实际水位高度。
A、B两点的电位差Uab反映希望水位的偏差。
当实际低
于希望水位时，Uab0。
通过放大器驱动电动机转动，开大进水阀门，使进水量Q增加,
从而使水位上升。
当实际水位上升到希望位置时，AB两个触头在同一位置，Uab0，
电动机停止转动，进水阀门开度不变，这时进水量Q1和出水量Q2达到平衡位置。
若实际
水位高于希望水位，Uab0，则电动机使进水阀门关小，使进水量减少，实际水位下降。
这个系统是个典型的镇定系统，在该系统中：
控制量希望水位的设定值
被控制量实际水位
扰动量出水量Q2
被控对象水池
测量元件浮子
比较元件电位器
放大元件放大器
执行元件电动机、减速器、进水阀门
系统的方框图如图1-2所示。
控制系统中各元件的分类和方框图的绘制不是唯一的,只要能正确反映其功能和运动规律即可。
希望水位设定位
图1-2水池水位控制系统方框图
例1-2图1-3所示为发电机电压调节系统，试分析系统的工作原理，画出方框图并指出
系统的结构特点。
解发电机在电枢转速和激磁电压恒定不变时，负载变化将引起输出电压和电枢回路电流
的改变。
当负载增大时，将引起电枢电压下降和电枢电流增大，因此，电枢回路的电流在电阻R上的电压增大，ub也增大，由于Ub与Ui的极性一致，因而发电机的激磁电压上升，使输出电压增大。
这种由扰动产生附加控制作用的系统是扰动控制系统（本系统是将负载变化作为扰动输入的。
图1-3所示的电压调节方式只能克服负载变化对发电机输
出电压的影响）。
系统方框图如图1-4所示。
图1-3发电机电压调节系统
图1-4系统方框图
第二章
【例2-1】求图2-1所示矩形脉冲的象函数
【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为
A0tT
f（t）
0Tt
f（t）
A
所以，f（t）可以看作两个函数的叠加
f（t）A1（t）A1（tT）
图2-1
例2-1图
即可求得其象函数
L[f（t）]L[f1（t）]L[f2（t）]
sT
或直接运用拉氏变换定义式求取
Lf（t）0f（t）estdt
:
Aestdt
ste
A（1s
【例2-2】求f（s）
s4
2s23s
1的拉氏反变换。
【解】F（s）的部分分式为
s
F（s）
4
3s1
（2s1）（s
1）
k1
2s
k2
s1
求系数k1、k2
k1
（2s1）（s1）（2s
1）
k2
s4（s
（2s1）（s1）
1）
f（t）L1F（s）L1
2s1
3.5e05t
3et
【例2-3】求下面象函数的原函数
F（s）
s
s（ss1）
【解】F（s）的部分分式为
s
F（s）站
k2sk3
1
由等式相等，所以可知
1）
解得
ki
k2
k1（s2s1）（k2sk3）s
s（ss1）
（k2s
k3）s
k3
F（s）的部分分式可求得
_…1s
s
F（s）；
s0.5
22
（s0.5）0.866
0.5780.866
22
（s0.5）0.866
注：
0.50.5780.866
则F（s）的拉氏反变换为
f（t）
1
F（s）
0.5t
cos0.866t0.578e
0.5t
sin0.866t
【例2-4】求下列象函数的拉氏反变换。
F（s）
s（s
1
3
2）（s3）
【解】运用部分分式展开法，有
F（s）（s
kn
k12
（s2）2
k1
（s
3
2）
k2
k3
s3
求得待定系数
kn
F（s）（s2）3
1
s（s3）
k12
—F（s）（sds
2）
ds
k13
丄厶F（s）（s
2!
ds2
2）3
s（s3）
1d2
二.2'
（2s3）s2（s
3）2
2dss（s3）
k2
F（s）s
k3
F（s）的部分分式为
s0
（s
3
2）（s3）
24
F（s）（s3）
s（s
1
_2）3
1/2F（s）
（s2）
分别查表可求得F（s）的拉氏反变换为
1/4
2
（s2）
3/81/24
（s2）s
1/3
f（t）
L1
F（s）
lt2e2t
4
t2
1
12）e
2t
3t
12t
te
4
1
24
32t113t
ee
8243
【例2-5】解方程y（t）
5y（t）
6y（t）
其中，y（0）2,y（0）
【解】将方程两边取拉氏变换，得
2
sY（s）sy（0）
y（0）
5sY（s）
y（0）
6Y（s）
将y（0）2,y（0）2代入，并整理，得
…、2s2
Y（s）
12s6
所以
【例2-6】将非线性方程yx
s（s2）（s
y（t）1
1
x2x
2
【解】根据式（2-3）,线性化后的方程应为
故线性化后的方程为
3）
5e2t4e3t
x2在原点附近线性化。
（2
2x
分析：
本题方程中只有X2是非线性项,
化的结果是
x2
2x）x
只要将X2在原点线性化就可以了。
x2在原点线性
xx（2x）x00
所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。
【例2-7】求图2-2所示系统输入为Ui，输出为Uo时的传递函数
Ui（s）
C
（a）（b）
图2-2无源电网络
【解】根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为
（a）Uz（S）
Ui（s）
（b）U^（s）
Ui（s）
R2
RiR2
R2
1
CS
Ri
Ri
1
Cs
R2CS1
（R1R2）Cs1
RiR2CSR2
RiR2CSR1R2
Cs
Cs
u（t）0°
【提示】基尔霍夫定律的时域表示式为：
对任一结点，i（t）0;对任一回路,电阻R的运算阻抗就是电阻R本身，电感L的运算阻抗是Ls，电容C的运算阻抗是1Cs,
其中s为拉氏变换的复参量。
把普通电路中的电阻R、电感L、电容C全换成相应的运算
阻抗，把电流i（t）和电压u（t）全换成相应的拉氏变换式I（s）和U（s）,因此可得到根据拉氏
变换的线性性质而得出基尔霍夫定律的运算形式为：
I（s）0;对任一回路，U（s）0°
于是我们可以采用普通的电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律和电压定律，经过简单的代数运算，就可求解I（s）、U（s）及相应的传递函数。
采用运算阻抗的方法又称为运算
法，相应的电路图称为运算电路。
【例2-8】求图2-3所示有源电网络的传递函数，图中“⑴、U2（t）分别是输入和输出电
（a）
（b）
图2-3有源电网络
【解】（a）由图
（1）求得，根据理想运算放大器反相输入时的特性，有
U2（S）
Ri
R2
Ri
1
CiS
Ri
Ci
6
R1C2s
R2Gs
1
C1s
这也是PID控制器。
（b）设电压匕⑴如图所示。
Ua（s）
1
C1S
Ua（s）
1
C2S
U3（s）U2（s）
R3
U2（s）
R3C1S
R2Gs1
R3C2S1U3（s）
U1（s）
R1
U3（S）
1
C1S
由此可得
U1（s）
R1C1s
R2C1s
1U3（s）
最后联立上述方程，解得
R2C1R3C2R3C1
R1C1
R2R3C21
s
R1R1C1s
U2（S）
U1（s）
这是PID控制器。
提示：
上述传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的,对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。
【例2-9】如图2-4所示电枢控制式直流电动机，试以ei（t）为输入量，。
⑴为输出量
的建立微分方程。
其中：
ei（t）是电动机电枢输入电压,
o（t）是电动机输出转角，Ra是电枢绕组的电阻，L
是电枢绕组的电感，ia（t）是流过电枢绕组的电流，em（t）是电动机感应电势，T（t）是电动
是电动机及负载折合到电
机转矩，J是电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量，动机轴上的粘性摩擦系数。
e（t）
Raia（t）
普em（t）
【解】根据基尔霍夫定律，有
根据磁场对载流线圈的作用定律，有
T（t）
2a（t）
其中，Kt是电动机转矩常数。
根据电磁感应定律，有
em（t）
d。
⑴
e
dt
其中，Ke是反电势常数。
根据牛顿第二定律，有
-J
T（t）f-dt
0（t）
3
Lj—
LaJdt3
电枢电感La通常较小，若忽略不计，系统微分方程可简化为
2RaJ—（Raf心心）4^
dtdt
（LafRaJ）
2
d。
⑴
dt2
-J
（RafKtK。
）—
Kt©（t）
当电枢电感La，电阻Ra均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为
Ke
d。
⑴
dt
&（t）
【例2-10】试求图2-5所示机械平动系统输入为
x，输出为y时的传递函数Y（S）
X（s）
（a）（b）
图2-5机械平动系统
【解】（a）根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程
fd（xy）
dt
ki（xy）k2y
2
dy
m—2
dt
dym2
dt
k2y
fd（xy）dt
k1（xy）0
进行拉氏变换并整理
（ms2
fsk1
k2）Y（s）
（fsk1）X（s）
得
Y（s）
fs
k1
X（s）
msfs
k2
即
（b）设B点位移为Xb，根据B、C点力平衡关系列写方程
对于B点
ki（XXb）
d（XBy）
dt
对于C点
fd（XB
dt
y）
k2y
上面两个方程两边同时进行拉氏变换（初始条件为0），有
k1X（s）Xb（s）sfXb（s）Y（s）
sfXb（s）Y（s）k2Y（s）
解上述方程组，得
Y（s）fski
X（s）kik2fs（kik2）
【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。
牛顿第二定律：
一物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向。
达朗伯原理：
作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系。
达朗伯原理用公式可表示为：
mxFi0,其中，Fi是作用在物体上的合外力；x是物体的加速度;
m是物体的质量；mx是物体的惯性力。
对于机械系统的建模，取质量、弹簧、阻尼之间相关的连接点进行受力分析，并根
据牛顿第二定律建立该点处的力平衡方程；当有些连接点处的运动未知时，可认为是中
间参考点，联立方程后即可消去。
【例2-11】齿轮传动的动力学分析。
设有如图2-6a所示的齿轮传动链，由电动机
M输入的扭矩为
Tm，L为输出端负载,
Tl为负载扭矩。
图中所示的
z为各齿轮齿数,
J1、J2、J3及1、
2、
3分别为各轴及相
应齿轮的转动惯量和转角。
乙
等效轮系
（a）原始轮系
（b）
—TLeq
图2-6
齿轮传动链
【解】假设各轴均为绝对刚性，即
Kj
Tm
J1
，可得如下动力学方程
1f11T1
T2
T4
J3
式中
1、f2、
f3传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数;
T1――齿轮Z1对Tm的反转矩；
T2——Z2对T1的反转矩；
T3Z3对T2的反转矩；
T4――Z4对T3的反转矩；
Tl输出端负载对T4的反转矩，即负载转矩。
由齿轮传动的基本关系可知
T2
三％2
Z1
Z1
—1
Z2
Z4T
Z3
Z1Z3
T4
—T3，3
—2
1
Z3
Z4
Z2Z4
于是可得
Tm
J11
f11
z1z3
J22f22
Z2Z4
J33
f32Tl
2
22
2
乙
乙
Z3
乙X
乙
Z3£
乙Z3
J1
J2
J31f1f2
f31
Z2
Z2
Z4
Z2
Z2
Z4
Z2Z4
2
2
JeqJ1
Z1
J2
乙
Z3
J3
称为等效转动惯量；
Z2
Z2
Z4
2
2
feqf1
Z1
f2
Z1
Z3
f3
称为等效阻尼系数；
Z2
Z2
Z4
TLeq三三Tl称为等效输出转矩。
Z2Z4
将上式改为
TmJeq1Beq1TLeq
则图2-6a所示的传动装置可简化为图2-6b所示的等效齿轮传动。
【例2-12】画出下列RC电路的方框图。
【解】
R
图2-7一阶RC网络
利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得
UiUo
1，u
idt
c
对其进行拉氏变换得
l（s）
Ui（s）Uo（s）
R
Uo（s）
l（s）
sC
因此图2-7即可转换为图2-8运算电路形式。
R
+
由此分别得到图2-9a和2-9b，将图2-9a和2-9b组合起来即得到图2-9c，图2-9c为该
一阶RC网络的方框图。
（c）
1
i（si（1（b）
【例2-13】画出下列
图2-9一阶RC网络的方框图
RC网络的方框图，并求传递函数。
RiR2
01I——[Ir
Ur
Uc
图2-10两级RC滤波器电路
【解】
（1）首先根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接将上图转化
成运算电路图的形式，如下图
R1Ud（s）R2
l1（s）1丄
Ur（S）莎一T
J（S）1
sC2
十Uc（s）
图2-11两级RC滤波器电路
（2）根据列出的4个式子作出对应的框图。
Ur（s）Uq（S）
Ii（s）
Uq（S）
l2（S）
R1
l1（S）l2（s）
sC1
UC1（S）Uc（s）
Uc（S）
R2l2（S）sC2
（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。
根据上述公式，画出方框图
I1
隔离放大器
仁1
J
U
U
图2-11带隔离放大器的两级RC网络
R（s）+
【例2-14】试化简如图2-12所示系统的方框图，并求系统传递函数。
所以传递函数为
1
2
Uc（s）R1R2SC1C21
2
Ur（S）,1111R1R2C1C2S（R1C1R1C2R2C2）S1
12
SR1C1SR2C1SR2C2R1R2SC1C2
由图清楚地看到，后一级R,C2网络作为前级R1C1网络的负载，对前级R-C1网络的
输出电压Uq产生影响，这就是负载效应。
如果在这两极RC网络之间接入一个输入阻抗很
大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-11所示。
R1R2
则图2-11电路的方框图为
【解】
R（s）+E（s）用方框图等效变换法求解,
图2-12例2-14g6/G4
++
A点后移，得G3G4
C（s）
G5
G7
G6/G4
R（s）+
E（s）
G1
+
G2
G3G4
C（s）
—
1+G3G4G5
G7
R（s）+
E（s）
G1
G2G3G4
1+G3G4G5+G2G3G6
C（s）
G7
R（s）
G1G2G3G4
C（s）
1+G3G4G5+G2G3G6+G1G2G3G4G7
所以，传递函数为
C（s）G1G2G3G4
R（s）1G2G3G5G3G4G6G1G2G3G4G7
【提示】：
等效变换时，应将分支点（相加点）向另外的分支点（相加点）移动，宜向另外的相加点（分支点）移动。
般不
【例2-15】化简下面方框图，求系统传递函数C©。
【解】
方法一：
设变量E（s），G（s）,C2（s）如上图所示。
由此可列写出下列方程组
E（s）
R（s）
C（s）
C（s）
C1（s）
C2（s）
G（s）
E（s）
C2（s）G1（s）
C2（s）
E（s）
C1（s）G2（s）
上述方程组中，一共有4个方程，5个未知量
E（s）,R（s）,C（s）,C1（s）,C2（s），消去中间变量
E（s）,G（s）,C2（s）即可得出C（s）与R（s）之间的关系
C（s）G（s）G2（s）
丽1Gi（s）G2（s）Gi（s）G2（s）
方法二：
采样梅逊公式，有4条前向通道和5个回环。
4条前向通道
RG1（S），P2Gi（s）G2（S），P3G2（S），P4G1（S）G2（S）
对应的余因子
12341
5个回环
LiGi（s）G2（s）Gi（s）G2（s）Gi（s）G2（s）Gi（s）G2（s）
特征式
1Li1Gi（s）G2（s）Gi（s）G2（s）
由此可得系统的传递函数为
C（s）G（s）G2（s）
R（s）1G1（s）G2（s）G1（s）G2（s）
可见，结果与方法一相同。
方法三：
用方框图等效变换方法化简如下:
R（s）
GG2
C（s）
1g,G2G1G2
可得系统的传递函数为
C（s）G（s）G2（s）
R（s）1Gi（s）G2（s）Gi（s）G2（s）
结果与方法一、二均相同。
梅逊公式的作用，可以校验方框图化简的结果是否正确。
【解】用梅逊公式求解。
本题有6条前向通路，其中第6条前向通路很容易被漏掉，需特别注意。
有3个回环，回环间均有接触。
求解过程如下：
11K1s11K111丄KK（s1）
ssssssss2s3
故Gb（s）
C（s）
R（s）
s
s
s
K
1
1
K
p
s
s
s
2
1
s
11
s
s
s
s
2
1
1
1
s
——
―
s
s
s1
1
s
s
s
1
1
s
—
—
s
s
R
P2
P3
P4
F5
P6
kH
s1
s
s1
s
1
s
K（s1）
3
s
K（s1）Kss2（s1）s3s2（s1）s2
s3s2KsKsK
C（s）
图2-15例2-17控制系统信号流图
【解】此系统有7个单独回环，即af,bg,ch,bi,dif,ehi和dgehif因此
L1afbgchbidifehidgehif
两个互不接触的回环有3种组合，即afbg，afch及bgch，所以
L2afbgafchbgch
三个互不接触的回环只有1种组合，即afbgch
L3afbgch
由此可求特征式
1L1L2L3
1afbgchbidifehidgehifafbgafchbgchafbgch
从源节点到汇节点有5条前向通道，由于5条前向通道与所有的回环均有接触，因此
Rabc11
P2dc21
P3ae31
P4dge41
P5die51
将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数
C（s）1abcdcaedgedie
耳k
R（s）1afbgchbidifehidgehifafbgafchbgchafbgch
【例2-18】用梅逊公式求图2-16所示系统信号流图的传递函数D及B。
AA
【解】现用梅逊公式求取对应于同一个源节点
和不同阱节点的两路传递函数。
值得指出，对于给
定的系统信号流图，梅逊公式中的特征式
是确定
不变的，只是对于不同的源节点和阱节点，
其前向
通路和余因子式是不同的。
例2-18系统信号流图
此系统有3个单独回环,
L1
即
fbgdeg
图2-16
两个互不接触的回环有
1种组合，即
L2fbg
由此可求特征式
L1
L2
1fbg
degfbg
从源节点到汇节点B有
1条前向通道,
P
因此
a
将以上结果代入公式，可得系统的传递函数
a（1f）
degfbg
bg
B1
R1
A1
从源节点到汇节点D有2条前向通道，因此
Rabc
P，adec
将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数
abc（1f）adec
fbgdegfbg
【例2-19】
已知卜列方程组：
Xds）
aXo（s）
bX1（s）
cX2（s）
dXa（s）
X2（s）
eXo（s）
Ms）
gX2（s）
hX3（s）
Xa（s）
iX0（s）
jXds）
kX2（s）
lXa（s）
试求传递函数G（s）
Xa（s）
0
P22
D1
——P1
A
【解】可先根据方程组画出信号流图如图
f
图2-17信号流图
2-17所示，然后由梅逊公式就可求解。
此系统有8个单独回环，即
两个互不接触的回环有
6种组合，即
L2
bg
bl
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