相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习).docx

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相似三角形

一、知识概述

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义

对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．

4.相似三角形的基本性质

①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．

②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比

④面积比等于相似比的平方

温馨提示：

　　①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

　　②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

　　③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

5.相似三角形的判定定理

①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；

②三边对应成比例的两个三角形相似；

③两角对应相等的两个三角形相似；

④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：

（1）判定三角形相似的几条思路：

①条件中若有平行，可采用判定定理1；

②条件中若有一对角相等（包括隐含的公共角或对顶角），可再找一对角相等或找夹边对应成比例；

③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．

④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

6.位似

①定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

②性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．

注意：

（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上

7.三角形的重心

①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍

二、相似三角形解题思路：

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：

（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；

（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．

2、常见的相似三角形的基本图形：

　学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：

（1）“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；

（2）“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；

（3）“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D（或∠C=∠E），则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．

温馨提示：

　　从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．

相似三角形专题分类练习讲解

题型一：

线段的比、黄金分割

1.在比例尺1：

10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）

A．200cm　B．200dmC．200m　　　D．200km

2.若则下列各式中不正确的是（）

A．　　B．C．　　D．

3.若，则=_______；已知，则=________；已知，且，则。

4.若且，则∶=_________。

5.2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。

6.已知a：

b：

c＝2：

3：

4，且2a＋3b－2c＝10，求a，b，c的值。

题型二：

相似的性质

1.如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。

2.已知△ABC∽△DEF，且AB：

DE=1：

2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为

3.如图,DE∥BC，AD∶BD=2∶3，则ΔADE的面积∶四边形DBCE的面积=_________。

4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：

（1）DE=1，

（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：

4.其中正确的有：

_____个

5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ADE与△BCE面积之比为4：

9，那么△ADE与△ABE面积之比为________

6.平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN=_________。

A

B

C

D

E

第3题第4题第5题第6题

7.如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．

下面结论：

①只有一对相似三角形；②EF：

ED=1：

2；③S1：

S2：

S3：

S4=1：

2：

4：

5．

其中正确的结论是（）

A．①③B．③C．①D．①②

8.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（）

A．S1>S2B.S1=S2C.S1

9.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（）

A.1∶2B.1∶4C.4∶9D.2∶3

10.如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，∶＝4∶9，则AE∶EC为（）

A.2∶1B.2∶3C.4∶9D.5∶4

11.已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______．

第7题第8题第9题第10题第11题

12.如图在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12cm，AH＝8cm，求矩形的各边长。

13.已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积和四边形CDFE的面积。

题型三：

相似的有关证明

1.已知：

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点

N

D

C

A

E

B

M

求证：

MD：

ME＝ND：

NE

2.如图，D在AB上，且DE∥BC，交AC于E，F在AD上，且，求证：

△AEF∽△ACD．

3.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：

△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

题型四：

函数与相似

1.如图，正方形ABCD中，AB＝1，G为DC中点，E为BC上任一点，（E点与点B、点C不重合）设BE＝，过E作GA平行线交AB于F，设AFEC面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

2.如图，ABCD是矩形，AH＝2，HD＝4，DE＝2，EC＝1，F是BC上任一点（F与点B、点C不重合），过F作EH的平行线交AB于G，设BF为，四边形HGFE面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

3.如图，有一块直角梯形铁皮ABCD，AD＝3cm，BC＝6cm，CD＝4cm，现要截出矩形EFCG，（E点在AB上，与点A、点B不重合），设BE＝，矩形EFCG周长为，

（1）写出与的函数关系式，并指出自变量取值范围；

（2）取何值，矩形EFCG面积等于直角梯形ABCD面积的。

A

B

O

P

C

x

y

4.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？

若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

5.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0）、B（1，0）、C（-2，6）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：

AE=CE;（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？

请说明理由．

题型五、圆与相似

1.（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（　　）

A.4B.5C.6D.7

2.如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F。

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长。

3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．

（1）求证：

△AOC≌△AOD；

（2）若BE=1，BD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

4.如图⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。

（1）求证:

DE是⊙O的切线；

（2）若AB=6,AE=4,求BC和BD的长

5.（2012辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。

（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；

（2）若AB＝6，AD＝5，求AF的长。

6.（2013•十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：

⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积．

题型六、因动点产生的相似问题

1．D是△ABC的AB边上一点，过A、D及三角形边上的一点E的三角形与△ABC相似，画出示意图。

D

A

C

B

C

A

B

D

D是Rt△ABC的BC边上一点，过C、D及三角形边上的一点E的三角形与△ABC相似，画出示意图。

2．已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分成两部分，问点C在什么位置时，分割得到的三角形与△OAB相似？

画出所有符合要求的线段，写出点C的坐标。

第2题第3题第4题

3．在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。

4．已知：

如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。

5.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.

（1）证明：

Rt△ABM∽Rt△MCN；

D

B

A

M

C

N

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.

6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B,C重合），EF⊥AB,EG⊥AC，垂足分别为F,G．

（1）求证：

；

（2）FD与DG是否垂直？

若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？

并说明理由．

7.矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线＝－x与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线y＝ax2－x经过点A，试确定此抛物线的表达式；

（3）设

（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

6

y

x

O

C

D

B

-3

＝－x

A

8．如图，抛物线y＝－x2＋x－2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．

（1）求证：

△AOC∽△COB；

x

y

A

C

B

O

D

P

Q

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ＝AC．

9．如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

题型三：

位似

1.如图所示，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E.已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．

2.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：

2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）

3.如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比为_________。

第1题第2题第3题

相似三角形分类题型讲解（答案）

题型一：

1.C2.C3.；；6；10；4.4:

55.、46.a=4b=6c=8

题型二：

1.2.1:

43.4:

214.3个5.2:

36.CN=77.A8.A9.C10.A11.12.DG=；DE=13.S1=；S2=

题型三：

4.

题型四：

1.2.3.

（1）

（2）4.

（1）A（-1，0）B（1，0）C（0，1）

（2）S=4（3）M1（-2，3）M2（4，15）M3（，）5.

（1）

题型五：

1.B2.BF=1033.r=4；S=54-8π4.

（2）BC=23；BD=65.

（2）AF=1456.

（2）S△BHE=185

题型六：

1.C1（3，0）C2（6，4）C3（6，）2.C1（-1，0）C2（-4，0）C3（1，0）3.BM1=3;BM2=4.

（2）；x=2时，S=10；（3）x=26.

（1）D（4，-3）

（2）（3）P1（3，0）P2（3，4）7.

（2）t=2.5或t=1.58.

（1）或或

（2）P（4，）（3）Q1（10，）Q2（-2，）Q3（4，）

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