数学教案弦切角九年级数学教案模板.docx
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数学教案弦切角九年级数学教案模板
数学教案－弦切角_九年级数学教案_模板
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：
弦切角定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．
难点：
弦切角定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．
2、教学建议
（1）教师在教学过程（）中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；
（2）学习时应注意：
（Ⅰ）弦切角的识别由三要素构成：
①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．
教学目标：
1、理解弦切角的概念；
2、掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；
3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．
教学重点：
弦切角定理及其应用是重点．
教学难点：
弦切角定理的证明是难点．
教学活动设计：
（一）创设情境，以旧探新
1、复习：
什么样的角是圆周角?
2、弦切角的概念：
电脑显示：
圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE．
引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：
（1）顶点在圆周上；
（2）一边与圆相交； （3）一边与圆相切．
弦切角的定义：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：
判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
以下各图中的角都不是弦切角．
图
（1）中，缺少“顶点在圆上”的条件；
图
（2）中，缺少“一边和圆相交”的条件；
图（3）中，缺少“一边和圆相切”的条件；
图（4）中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．
通过以上分析，使全体学生明确：
弦切角定义中的三个条件缺一不可。
（二）观察、猜想
1、观察：
（电脑动画，使C点变动）
观察∠P与∠BAC的关系．
2、猜想：
∠P=∠BAC
（三）类比联想、论证
1、首先让学生回忆联想：
（1）圆周角定理的证明采用了什么方法?
（2）既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?
2、分类：
教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．
如图．由此发现，弦切角可分为三类：
（1）圆心在角的外部；
（2）圆心在角的一边上；
（3）圆心在角的内部．
3、迁移圆周角定理的证明方法
先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况．
组织学生讨论：
怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．
如图
（1），圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．
如图
（2），圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，
（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程）
回顾证明方法：
将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完 全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：
弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
4．深化结论．
练习1直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧．
练习2如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?
为什么?
分析：
由于和分别是两个弦切角∠OAB和∠EAC所夹的弧．而＝．连结B，C，易证∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．
由此得出：
推论：
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
（四）应用
例1如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O 切于点C，AD⊥CE，垂足为D
求证：
AC平分∠BAD．
思路一：
要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B．
证明：
（学生板书）
组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?
由学生回答，教师小结．
思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。
思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于P，连结AF．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．
练习题
1、如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝______度．
2、AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3:
1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________
3、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．
求证：
∠ATC＝∠TBC．
（此题为课本的练习题，证明方法较多，组织学生讨论，归纳证法．）
（五）归纳小结
教师组织学生归纳：
（1）这节课我们主要学习的知识；
（2）在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？
（六）作业：
教材P13l习题7．4A组l
（2），5，6，7题．
探究活动
一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？
若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．
提示：
是圆周角（它是弦切角定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：
①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.
难点：
①圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.
2、教法建议
本节内容需要4课时
第一课时：
圆的定义和点和圆的位置关系
（1）让学生自己画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆
（一））；
（2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.
第二课时：
圆的有关概念
（1）对（A）层学生放开自学，对（B）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；
（2）课堂活动要抓住：
由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.
第三、四课时：
点的轨迹
条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.
第一课时：
圆
（一）
教学目标：
1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；
2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；
3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
教学重点：
点和圆的关系
教学难点：
以点的集合定义圆所具备的两个条件
教学方法：
自主探讨式
教学过程设计（总框架）：
一、创设情境，开展学习活动
1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：
定义1：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.
2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.
从旧知识中发现新问题
观察：
共性：
这些点到O点的距离相等
想一想：
在平面内还有到O点的距离相等的点吗？
它们构成什么图形？
（1） 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；
（2） 到定点距离等于定长的点都在圆上.
定义2：
圆是到定点距离等于定长的点的集合.
3、点和圆的位置关系
问题三：
点和圆的位置关系怎样？
（学生自主完成得出结论）
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上d=r；
点在圆内d 点在圆外d>r.
“数”“形”
二、例题分析，变式练习
练习：
已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.
例1求证：
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.
已知（略）
求证（略）
分析：
四边形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BD
OA=OC=OB=OD
要证A、B、C、D4个点在以O为圆心的圆上
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC，OB=OD；AC=BD
∴OA=OC=OB=OD
∴A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.
符号“”的应用（要求学生了解）
证明：
四边形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.
小结：
要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.
问题拓展研究：
我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）
练习1求证：
菱形各边的中点在同一个圆上.
（目的：
培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）
练习2设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.
（1）和点A的距离等于2cm的点的集合；
（2）和点B的距离等于2cm的点的集合；
（3）和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；
（4）和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）
三、课堂小结
问：
这节课学习的主要内容是什么？
在学习时应注意哪些问题？
在学生回答的基础上，强调：
（1）主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；
（2）在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；
（3）注重对数学能力的培养
四、作业82页2、3、4.
第二课时：
圆
（二）
教学目标
1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。
2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学
生观察、比较、分析、概括知识的能力。
3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识。
教学重点、难点和疑点
1、重点：
理解圆的有关概念．
2、难点：
对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．
3、疑点：
学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。
让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。
教学过程设计：
（一）阅读、理解
重点概念：
1、弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦．
2、直径：
经过圆心的弦是直径．
3、圆弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．
半圆弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；
优弧：
大于半圆的弧叫优弧；
劣弧：
小于半圆的弧叫做劣弧．
4、弓形：
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
5、同心圆：
即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
6、等圆：
能够重合的两个圆叫做等圆．
7、等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
（二）小组交流、师生对话
问题：
1、一个圆有多少条弦？
最长的弦是什么？
2、弧分为哪几种？
怎样表示？
3、弓形与弦有什么区别？
在一个圆中一条弦能得到几个弓形？
4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？
（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难）
（三）概念辨析：
判断题目：
（1）直径是弦（）
（2）弦是直径（）
（3）半圆是弧（） （4）弧是半圆（）
（5）长度相等的两段弧是等弧（） （6）等弧的长度相等（）
（7）两个劣弧之和等于半圆（） （8）半径相等的两个半圆是等弧（）
（主要理解以下概念：
（1）弦与直径；
（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．）
（四）应用、练习
例1、已知：
如图，AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧．
解：
一共有6条弧．、、、、、．
（目的：
让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）
例2、已知：
如图，在⊙O中，AB、CD为直径．求证：
AD∥BC．
（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．）
巩固练习：
教材P66练习中2题（学生自己完成）．
（五）小结
教师引导学生自己做出总结：
1、本节所学似的知识点；
2、概念理解：
①弦与直径；②弧与半圆；③同心圆、等圆指两个图形；④等圆和等弧．
3、弧的表示方法．
（六）作业
教材P66练习中3题，P82习题l（3）、（4）．
第三、四课时 圆（三）——点的轨迹
教学目标
1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；
2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；
3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。
重点、难点
1、重点：
对圆点的轨迹的认识。
2、难点：
对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。
教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标）
（一）创设学习情境
1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念
（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）
观察：
圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）
理解：
圆上的点具有两个性质：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；
（2）到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）
引出轨迹的概念：
我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：
（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；
（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）
上面左图符合
（1）但不符合
（2）；中图不符合
（1）但符合
（2）；只有右图
（1）
（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆．
轨迹1：
“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。
（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）
（二）类比、研究1
（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）
轨迹2：
和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；
轨迹3：
到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；
（三）巩固概念
练习：
画图说明满足下列条件的点的轨迹：
（1）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；
（2）到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；
（3）经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹．
（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?
归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）
（四）类比、研究2
（这是第二次“类比”，目的：
使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）
轨迹4：
到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
轨迹5：
到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线．
（五）巩固训练
练习题1：
画图说明满足下面条件的点的轨迹：
1．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；
2．已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹．
（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）
练习题2：
判断题
1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线．（ ）
2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆．（ ）
3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线．（ ）
4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线．（ ）
（这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性．题目由学生自主完成、交流、反思）
（教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求）
（六）理解、小结
（1）轨迹的定义两层意思；
（2）常见的五种轨迹。
（七）作业
教材P82习题2、6．
探究活动
爱尔特希问题
在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?
分析与解：
开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.
其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点（见图中第3个图）.
最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?
实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可（见图中的第4个图）．
综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：
①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心（即外心）；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．
上述问题是大数学家爱尔特希（P．Erdos）提出的：
“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形．
当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，时，问题无解．
活动目标：
1、利用几何画板的形象性，通过量的变化，验证并进一步研究函数图象的性质。
2、利用几何画板的动态性，从变化的几何图形中，寻找不变的几何规律。
3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步了解。
4、通过本节课的教学，把几何画板作为学生认知的工具，从而激发学生学习和探索数学的兴趣。
活动的重点难点及设施
活动重点：
图形的性质和规律的探索
活动难点：
几何画板的操作（作函数的图象）
活动设施：
微机室（有液晶投影仪和大屏幕）；
windows操作平台
几何画板
office2000等
教师准备好的五个画板文件：
hstx1.gsp
hstx2.gsp
hstx3.gsp
ymdl1.gsp
ymdl2.gsp。
操作一
按下列步骤进行操作，并回答相应的问题。
1、单击右上角“请看动画”，再打开d:
\jhhb\hstx1.gsp画板文件；
2、拖动点E和点F沿坐标轴运动（或双击按钮“动画1”），同时观看解析式中的k和b的变化。
①当k>0时，图象经过哪几个象限？
②当k
3、双击显示按钮后，在k>0和k
4、先在坐标系内作出直线（或直接打开文件：
c:
\sketch\hstx2.gsp）
操作二
1、同操作一，打开d:
\jhhb\hstx2.gsp
2、保持a不变，分别上下移动b、c改变b、c的大小时，抛物线的形状是否变化？
上下移动a改变a的大小，注意观看抛物线的开口方向与什么有关？
张口程度与什么有关？
3、上下移动c改变c的大小，看抛物线怎样变化？
4、分别改变a、b的大小，看抛物线的对称轴是否发生变化？
由3和4可知，抛物线的对称轴与什么有关？
与什么无关？
5、c保持不变，改变a、b时，抛抛线总是经过哪一点？
6、抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的符号有什么关系？
7、双击显示按钮，再双击动画按钮,观察y随x怎样变化？
8、当a=0时，函数的图象是什么？
操作三
打开文件：
d:
\jhhb\ymdl1.gsp
圆的两弦AB、CD相交于圆内一点P，我们得到 ，如果把点P拖到圆外，上述结论是否成立？
如果点在圆上呢？
操作四
作函数y=x2-2的图象
作图步骤：
1、击“文件”菜单中“新绘图”命令，建立新的绘图板；
2、点击“图表”菜单中的“建立坐标轴”；
3、在横坐标轴上任找一点，用“文本工具”，加上标签“C”，选中C点，单击“度量”菜单中的“坐标”命令，得度量值，C：
（-2.80,0.00）,再用“选择工具”选择它。
（度量值变黑）
4、点击“度量”菜单中的“计算”命令，出现计算器；
5、点击“数值”下拉式菜单中的“点C”的“x”值，按“确定”按纽，得Xc=-2.80再用“选择工具”选择它。
（度量值变黑）
6、点击“度量”菜单中的“计算”命令，出现计算器，再点击“数值”下拉式菜单中的“x[c]”，分别按计算器上的“∧”、“2”、“-”、“2”、“确定”按纽。
得到代数式的值：
xc2-2=14.45.
7、用“选择工具”，分别选中Xc=-2.80 xc2-2=14.45. （选取第二个对象要按键盘上的“shift”键的同时再选）；
8、点击“图表”菜单中的“绘出（x，y）”，得到点“E”。
（如果看不到点E，说明它不在当前的视窗内，此时可调整C点，使该点出现在窗口内）；
9、分别选中点E和点C，点击“作图”菜单中的“轨迹”，得二次函数的图象。
活动目标：
1、利用几何画板的形象性，通过量的变化，验证并进一步研究函数图象的性质。
2、利用几何画板的动态性，从变化的几何图形中，寻找不变的几何规律。
3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步了解。
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