最新人教版初二数学八年级上册 第十四章整式的乘法与因式分解 全单元教案.docx
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最新人教版初二数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解全单元教案
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
◇教学目标◇
【知识与技能】
在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用.
【过程与方法】
经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.
【情感、态度与价值观】
在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
同底数幂乘法运算性质的推导和应用.
【教学难点】
同底数幂的乘法的法则的应用以及逆用.
◇教学过程◇
一、情境导入
“盘古开天辟地”的故事:
公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.
问题:
盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?
你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?
光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?
二、合作探究
探究点1 同底数幂的乘法
典例1 计算a2·a3的正确结果是（ ）
A.a5B.a6C.a8D.a9
[解析] a2·a3=a2+3=a5.
[答案] A
【技巧点拨】本题是同底数幂的乘法运算,直接利用同底数幂的乘法运算法则运算即可,注意底数不变,指数相加.
变式训练 化简-b·b3·b4的正确结果是（ ）
A.-b7B.b7C.-b8D.b8
[答案] C
探究点2 法则的逆用
典例2 已知3a=1,3b=2,则3a+b的值为（ ）
A.1B.2C.3D.27
[解析] ∵3a×3b=3a+b,∴3a+b=3a×3b=1×2=2.
[答案] B
变式训练 已知（a-b）5=32,（b-a）2=4,则（a-b）7= .
[答案] 128
三、板书设计
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法
◇教学反思◇
本节课应注重同底数幂的乘法法则的推导过程,而不单单是要求记住结论,在导出的过程中,从具体到抽象,有层次地进行概括,归纳推理,学生不是被动地接受,而是在已有经验的基础上创新,从而培养学生的动手能力和创新意识.
14.1.2 幂的乘方
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;
2.通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质.
【过程与方法】
经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
幂的乘方法则.
【教学难点】
幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么太阳和木星的体积是多少?
二、合作探究
探究点1 幂的乘方
典例1 计算a6（a2）3= .
[解析] 根据幂的运算法则即可求出答案.原式=a6·a6=a12.
[答案] a12
变式训练 计算:
（-a2）2= .
[答案] a4
探究点2 幂的乘方逆用
典例2 若10m=5,10n=3,则102m+3n= .
[解析] 102m+3n=102m·103n=（10m）2·（10n）3=52·33=675.
[答案] 675
【技巧点拨】注意幂的乘方公式的逆用,amn=（am）n=（an）m.
变式训练 若am=6,an=3,则am+2n的值为 .
[答案] 54
三、板书设计
幂的乘方
幂的乘方
◇教学反思◇
本节的内容是幂的乘方,教学过程中,激发和鼓励学生的学习探究;提问不仅有序、有提示、有鼓励、有启发、问在有疑之处.本课的主要教学任务是“幂的乘方”,即幂的乘方,底数不变,指数相乘.在课堂教学时,通过幂的意义引导学生探索发现得出这一性质.
14.1.3 积的乘方
◇教学目标◇
【知识与技能】
探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.
【过程与方法】
经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
积的乘方的运算.
【教学难点】
积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们前面学过同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容,你知道它们的区别和联系吗?
请同学们思考怎样计算（2a3）4,每一步的根据是什么?
二、合作探究
探究点1 积的乘方法则
典例1 计算:
（-2xy2）3= .
[解析] （-2xy2）3=（-2）3x3（y2）3=-8x3y6.
[答案] -8x3y6
【方法总结】根据积的乘方的性质把问题转化为几个幂的乘方,然后再进行运算,用准法则是解这类问题的关键.
变式训练 计算:
= .
[答案] -a6b3
探究点2 公式的逆用
典例2 阅读下列各式:
（ab）2=a2b2,（ab）3=a3b3,（ab）4=a4b4,…
①归纳得（ab）n= ;（abc）n= ;
②计算4100×0.25100= ;×35×= ;
③应用上述结论计算:
（-0.125）2017×22018×42016.
[解析] ①（ab）n=anbn,（abc）n=anbncn.
②4100×0.25100=（4×0.25）100=1,
×35×
==1.
③（-0.125）2017×22018×42016
=-0.125×22×（-0.125×2×4）2016
=-0.5×（-1）2016
=-0.5.
变式训练 ×（-2）3.
[解析] 原式=×（-8）
=-25×
=-25.
探究点3 幂的运算综合练习
典例3 计算:
（-2x2）3+x2·x4-（-3x3）2.
[解析] （-2x2）3+x2·x4-（-3x3）2
=-8x6+x6-9x6
=-16x6.
三、板书设计
积的乘方
积的乘方
◇教学反思◇
本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导学生明确先利用法则把运算转化为几个幂的乘方的积,然后计算,通过小组练习,讨论,纠错得到正确的解法.
14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
◇教学目标◇
【知识与技能】
会进行单项式乘单项式的运算.
【过程与方法】
经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
单项式乘法运算法则的推导与应用.
【教学难点】
单项式乘法运算法则的推导与应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
前面我们学习了幂的运算,我们知道整式有两种单项式与多项式,那么整式的乘法应有几种,哪种最简单?
二、合作探究
探究点1 单项式乘单项式法则
典例1 计算4x2y·（-x）= .
[解析] 根据单项式与单项式相乘,把它们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式,计算即可.4x2y·=-x3y.
[答案] -x3y
变式训练 计算（-2x3y2）3·4xy2= .
[答案] -32x10y8
探究点2 求代数式的值
典例2 如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7,求mn的值.
[解析] 由题意可知xny4×2xym=2xn+1y4+m=2x5y7,
∴n+1=5,4+m=7,
∴m=3,n=4,
∴mn=12.
探究点3 法则应用
典例3 计算（9×105）×（2.5×103）= .（用科学记数法表示）
[解析] （9×105）×（2.5×103）=9×2.5×105×103=22.5×108=2.25×109.
[答案] 2.25×109
探究点4 幂的运算综合练习
典例4 计算:
（-3x2y2）2·2xy+（xy）3= .
[解析] （-3x2y2）2·2xy+（xy）3=9x4y4·2xy+x3y3=18x5y5+x3y3.
[答案] 18x5y5+x3y3
三、板书设计
单项式与单项式相乘
单项式乘单项式
◇教学反思◇
本节是单项式与单项式的乘法,学生通过面积的计算,或乘方分配率可以得出运算法则;通过学生小组练习、讨论、纠错提高学生的合作能力,以及在运算中提高学生的应用意识,总结出单项式乘单项式的步骤以及易错点,以引起学生的注意.
第2课时 单项式与多项式相乘
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.
【过程与方法】
经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.
【情感、态度与价值观】
培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
单项式与多项式相乘的法则.
【教学难点】
整式乘法法则的推导与应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
有3家超市以相同价格n（单位:
元/台）销售A牌电视机,它们在一年内的销售量（单位:
台）分别是x,y,z,请你采用不同的方法计算它们在这一年内销售这种电视机的总收入.小明的答案是n（x+y+z）,小芳的答案是nx+ny+nz,各说各有理,你能给他们评判一下吗?
二、合作探究
探究点1 单项式乘多项式
典例1 计算:
（x-3y）（-6x）= .
[解析] 根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可.
[答案] -6x2+18xy
变式训练 计算:
（3x3y2-6x2y）·xy2.
[解析] 原式=x4y4-2x3y3.
探究点2 求未知系数的值
典例2 已知a（x2+x-c）+b（2x2-x-2）=7x2+4x+3,求a,b,c的值.
[解析] ∵a（x2+x-c）+b（2x2-x-2）=7x2+4x+3,
∴（a+2b）x2+（a-b）x-（ac+2b）=7x2+4x+3,
∴
解得a=5,b=1,c=-1.
【方法总结】求未知系数的值,根据两个多项式相等时,如ax2+bx=cx2+dx,则有a=c,b=d,得到方程组即可求解,关键是整式的乘法.
探究点3 求代数式的值
典例3 已知ab2=-2,则-ab（a2b5-ab3+b）=（ ）
A.4B.2
C.0D.14
[解析] -ab（a2b5-ab3+b）=-a3b6+a2b4-ab2=-（ab2）3+（ab2）2-ab2,当ab2=-2时,原式=-（-2）3+（-2）2-（-2）=8+4+2=14.
[答案] D
【技巧点拨】这类问题先根据单项式的乘法计算得到多项式,然后把多项式用已知式子表示出来,整体代入求值,这种整体思想是我们经常用到的一种方法.
三、板书设计
单项式与多项式相乘
单项式乘多项式
◇教学反思◇
本节的内容是单项式乘多项式,法则的得到比较简单,教学中,应紧扣法则,单项式乘多项式转化为单项式乘单项式的问题计算,同学小组练习讨论理解多项式的每一项,包括它前面的符号.在实施“情境——探究”教学过程中,注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化,培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神.
第3课时 多项式与多项式相乘
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.
【过程与方法】
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会数学的转化思想.
【情感、态度与价值观】
通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.
【教学难点】
多项式与多项式的乘法法则的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
试着用不同方式计算下图的面积,探讨你能得到什么结论.
二、合作探究
探究点1 多项式乘多项式
典例1 计算（2m-3）（m+2）.
[解析] （2m-3）（m+2）
=2m×m+2m×2+（-3）×m+（-3）×2
=2m2+4m-3m-6
=2m2+m-6.
整式的乘法就是根据运算法则转化为单项式乘单项式计算,最后把所得结果相加,注意有同类项的要合并同类项,需提醒是的多项式的项包括它前面的符号.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.
探究点2 求未知系数的值
典例2 若（x+m）（x-8）中不含x的一次项,则m的值为（ ）
A.8B.-8
C.0D.8或-8
[解析] ∵（x+m）（x-8）=x2-8x+mx-8m=x2+（m-8）x-8m,又结果中不含x的一次项,∴m-8=0,∴m=8.
[答案] A
变式训练 若（y+3）（y-2）=y2+my+n,则m,n的值分别为（ ）
A.m=5,n=6B.m=1,n=-6
C.m=1,n=6D.m=5,n=-6
[答案] B
探究点3 求代数式的值
典例3 若代数式（x+1）2+m（x+1）+n可以化简为x2+2x-3,则m+n= .
[解析] ∵（x+1）2+m（x+1）+n=x2+2x+1+mx+m+n=x2+（2+m）x+m+n+1,由题意得解得,故m+n=-4.
[答案] -4
探究点4 积中不含某项
典例4 （x2-mx+6）（3x-2）的积中不含x的二次项,则m的值是（ ）
A.0B.
C.-D.-
[解析] （x2-mx+6）（3x-2）=3x3-（2+3m）x2+（2m+18）x-12,∵（x2-mx+6）（3x-2）的积中不含x的二次项,∴2+3m=0,解得m=-.
[答案] C
三、板书设计
多项式与多项式相乘
多项式乘多项式
◇教学反思◇
本节的内容是多项式的乘法,针对本节课学生的易错点,如“漏项”、忘变号的情况,在例题后进行强调,并总结规律,让学生以后在练习计算时避免“漏项”、变号的发生.
第4课时 整式的除法
◇教学目标◇
【知识与技能】
会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.
【过程与方法】
经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.
【情感、态度与价值观】
感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.
◇教学重难点◇
【教学重点】
整式除法的法则并应用其法则计算.
【教学难点】
理解整式除法的法则及其原理.
◇教学过程◇
一、情境导入
一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?
二、合作探究
探究点1 同底数幂的除法
典例1 32x=2,3y=5,则34x-2y= .
[解析] 原式=,当32x=2,3y=5时,原式=.
[答案]
变式训练 若5=3x,7=9y,则3x-2y的值为 .
[答案]
探究点2 单项式除以单项式
典例2 计算:
10ab3÷（-5ab）= .
[解析] 根据单项式除法法则,系数和系数,相同的字母分别相除,作为商的一个因式,只在被除式的字母连同它的指数作为商的一个因式,即可求出答案.原式=-a1-1b3-1=-2b2.
[答案] -2b2
变式训练 4x2y3÷= .
[答案] 16y
探究点3 多项式除以单项式
典例3 小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y-2xy2,商式必须是2xy,则小亮报一个除式是 .
[解析] （x3y-2xy2）÷2xy=x2-y.
[答案] x2-y
变式训练 长方形面积是3a2-6ab+3a,一边长为3a,则它的周长是 .
[解析] （3a2-6ab+3a）÷3a=a-2b+1.则周长为2（a-2b+1+3a）=2a-4b+2+6a=8a-4b+2.
[答案] 8a-4b+2
三、板书设计
整式的除法
整式的除法
◇教学反思◇
本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
◇教学目标◇
【知识与技能】
会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.
【过程与方法】
经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.
【情感、态度与价值观】
通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.
【教学难点】
准确把握运用平方差公式的特征,应用平方差公式解题.
◇教学过程◇
一、情境导入
从前有一个狡猾的地主,他把一块长为x米的正方形土地租给张老汉种植,有一天,他对张老汉说:
“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?
”张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了.你能告诉张老汉他吃亏了吗?
二、合作探究
探究点1 平方差公式的特征
典例1 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A.（-a+b）（a-b）B.（x+2）（2+x）
C.D.（x-2）（x+1）
[解析] A项,原式=-（a-b）（a-b）=-（a-b）2,故A不能用平方差公式;B项,原式=（x+2）2,故B不能用平方差公式;D项,原式=x2-x+1,故D不能用平方差公式.
[答案] C
平方差公式的特征:
一是左边是两个多项式相乘,这两个多项式中有一项相同,另一项互为相反数;二是右边是相同项与相反项的平方差;三是公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数）,也可以表示单项式或多项式等代数式.
变式训练 计算（2x3-3a）（-2x3-3a）的结果是（ ）
A.-4x6-9a2
B.-4x6+9a2
C.-4x6-12ax3+9a2
D.-4x6-12ax3+9a2
[答案] B
【技巧点拨】用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方,如（□+△）（□-△）=□2-△2.
探究点2 平方差公式求值整体思想应用
典例2 如果（a-b-3）（a-b+3）=40,那么a-b的值为（ ）
A.49B.7
C.-7D.7或-7
[解析] （a-b-3）（a-b+3）=（a-b）2-9=40,即（a-b）2=49,则a-b=7或-7.
[答案] D
探究点3 平方差公式的计算
典例3 计算:
69×71= .
[解析] 原式=（70-1）（70+1）=702-1=4900-1=4899.
[答案] 4899
变式训练 计算:
20172-2016×2018= .
[答案] 1
探究点4 平方差公式的几何意义
典例4 如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分剪开,拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A.（a-b）2=a2-2ab+b2
B.a（a-b）=a2-ab
C.（a-b）2=a2-b2
D.a2-b2=（a+b）（a-b）
[解析] 第一个图形阴影部分的面积是a2-b2,第二个图形的面积是（a+b）（a-b）.则a2-b2=（a+b）（a-b）.
[答案] D
三、板书设计
平方差公式
平方差公式
◇教学反思◇
本节的内容是平方差公式,主要观察是否符合公式特点,只有符合公式特点才能用公式直接求解,利用公式计算.
在实施情境探究教学过程中,应注意让学生感知问题的生成、发展与变化,培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识.
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
◇教学目标◇
【知识与技能】
会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.
【过程与方法】
经历利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式的过程.
【情感、态度与价值观】
通过练习培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
完全平方公式的推导和应用.
【教学难点】
完全平方公式的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
二、合作探究
探究点1 完全平方公式
典例1 计算（3a-2b）2的结果为（ ）
A.9a2+4b2B.9a2+6ab+4b2
C.9a2-12ab+4b2D.9a2-4b2
[解析] 原式=（3a）2-2×3a×2b+（2b）2=9a2-12ab+4b2.
[答案] C
【技巧点拨】解本题的关键是熟练运用完全平方公式,记忆完全平方公式可用口诀“首平方,尾平方,首位两倍在中间,中间符号随前面”.很多同学遗漏掉中间积的2倍这一项,应引起注意.
探究点2 简化运算
典例2 下列关于962的计算方法正确的是（ ）
A.962=（100-4）2=1002-42=9984
B.962=（95+1）（95-1）=952-1=9024
C.962=（90+6）2=902+62=8136
D.962=（100-4）2=1002-2×4×100+42=9216
[解析] 962=（100-4）2=1002-2×100×4+42=9216,A项错误;962=（95+1）（95+1）=952+2×95×1+1=9216,B项错误;962=（90+6）2=902+2×90×6+62=9216,C项错误;962=（100-4）2=1002-2×100×4+42=9216,D项正确.
[答案] D
应用完全平方公式时,要注意:
①公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式;②对形如两数和（或差）的平方的计算,都可以用这个公式;③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式.
探究点3 完全平方式
典例3 若4a2-kab+9b2是完全平方式,则常数k的值为（ ）
A.6B.12C.±12D.±6
[解析] ∵4a2-kab+9b2是完全平方式,∴-kab=±2×2a×3b=±12ab,∴k=±12.
[答案] C
变式训练 已知x2-8x+a可以写成一个完全平方式,则a
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