高中数学培优作业同步计划必修5第一章 解三角形10份含答案解析改好67页.docx

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高中数学培优作业同步计划必修5第一章解三角形10份含答案解析改好67页

高中数学同步培优作业

第一章　解三角形

§1.1　正弦定理和余弦定理

1．1.1　正弦定理

（一）

课时目标

1．熟记正弦定理的内容；

2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．

1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.

2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.

3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

4．正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则

a∶b∶c等于（　　）

A．1∶2∶3B．2∶3∶4

C．3∶4∶5D．1∶∶2

答案　D

2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为（　　）

A.＋1B．2＋1

C．2D．2＋2

答案　C

解析　由正弦定理＝，

得＝，∴b＝2.

3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为（　　）

A．直角三角形B．等腰直角三角形

C．等边三角形D．等腰三角形

答案　A

解析　sin2A＝sin2B＋sin2C⇔（2R）2sin2A＝（2R）2sin2B＋（2R）2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．

4．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为（　　）

A．A>BB．A

C．A≥BD．A，B的大小关系不能确定

答案　A

解析　由sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.

5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于（　　）

A．45°或135°B．60°

C．45°D．135°

答案　C

解析　由＝得sinB＝

＝＝.

∵a>b，∴A>B，B<60°

∴B＝45°.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于（　　）

A．120°B．105°C．90°D．75°

答案　A

解析　∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin（180°－30°－C）

＝sin（30°＋C）＝，

即sinC＝－cosC.

∴tanC＝－.

又C∈（0°，180°），∴C＝120°.

二、填空题

7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.

答案　75°

解析　由正弦定理得＝，∴sinA＝.

∵BC＝2

∴C＝75°.

8．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.

答案　

解析　∵tanA＝，A∈（0°，180°），∴sinA＝.

由正弦定理知＝，

∴AB＝＝＝.

9．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.

答案　1

解析　由正弦定理，得

＝，

∴sinB＝.∵C为钝角，

∴B必为锐角，∴B＝，

∴A＝.

∴a＝b＝1.

10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.

答案　30°

解析　∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，

∴sin（A＋60°）＝2sinA

即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，

化简得：

sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.

三、解答题

11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．

解　∵＝＝，

∴b＝＝＝＝4.

∵C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋45°）＝105°，

∴c＝＝＝＝2＋2.

12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．

解　a＝2，b＝6，a

又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，

所以本题有两解，由正弦定理得：

sinB＝＝＝，故B＝60°或120°.

当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；

当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.

所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.

能力提升

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．

答案　

解析　∵sinB＋cosB＝sin（＋B）＝.

∴sin（＋B）＝1.

又0

由正弦定理，得sinA＝＝＝.

又a

14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．

解　在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，

即∴30°

由正弦定理知：

＝＝＝2cosB∈（，），

故的取值范围是（，）．

1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角．

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．

2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：

已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.

A为锐角

a

a＝bsinA

bsinA

a≥b

无解

一解（直角）

两解（一锐角，

一钝角）

一解（锐角）

A为直角

或钝角

a≤b

a>b

无解

一解（锐角）

1.1.1　正弦定理

（二）

课时目标

1．熟记正弦定理的有关变形公式；

2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．

1．正弦定理：

＝＝＝2R的常见变形：

（1）sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；

（2）＝＝＝＝2R；

（3）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

（4）sinA＝，sinB＝，sinC＝.

2．三角形面积公式：

S＝absinC＝bcsinA＝casinB.

一、选择题

1．在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

答案　D

2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．等边三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

答案　B

解析　由正弦定理知：

＝＝，

∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.

3．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是（　　）

A.B．（10，＋∞）

C．（0,10）D.

答案　D

解析　∵＝＝，∴c＝sinC.

∴0

4．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

答案　A

解析　由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，

∴sin（B＋C）＝2sinBcosC，

∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，

∴sin（B－C）＝0，∴B＝C.

5．在△ABC中，已知（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（　　）

A．6∶5∶4B．7∶5∶3

C．3∶5∶7D．4∶5∶6

答案　B

解析　∵（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，

∴＝＝.

令＝＝＝k（k>0），

则，解得.

∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.

6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为（　　）

A．1B．2

C.D．4

答案　A

解析　设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，

得R＝1，由S△＝absinC＝＝＝，∴abc＝1.

二、填空题

7．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.

答案　2

解析　∵cosC＝，∴sinC＝，

∴absinC＝4，∴b＝2.

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.

答案　2

解析　由正弦定理＝，得＝，

∴sinB＝，故B＝30°或150°.由a>b，

得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，

由勾股定理得c＝2.

9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.

答案　7

解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，

∴＝＝＝2R＝2，

∴＋＋＝2＋1＋4＝7.

10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.

答案　12　6

解析　＝＝＝12.

∵S△ABC＝absinC＝×6×12sinC＝18，

∴sinC＝，∴＝＝12，∴c＝6.

三、解答题

11．在△ABC中，求证：

＝.

证明　因为在△ABC中，＝＝＝2R，

所以左边＝

＝＝＝＝右边．

所以等式成立，即＝.

12．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．

解　设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA

⇔＝

⇔＝

⇔sinAcosA＝sinBcosB

⇔sin2A＝sin2B

⇔2A＝2B或2A＋2B＝π

⇔A＝B或A＋B＝.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

能力提升

13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为（＋1）∶2，则最大角为（　　）

A．45°B．60°C．75°D．90°

答案　C

解析　设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，

∴＝

＝

＝＋＝＝＋，

∴tanA＝1，A＝45°，C＝75°.

14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，

cos＝，求△ABC的面积S.

解　cosB＝2cos2－1＝，

故B为锐角，sinB＝.

所以sinA＝sin（π－B－C）＝sin＝.

由正弦定理得c＝＝，

所以S△ABC＝acsinB＝×2××＝.

1．在△ABC中，有以下结论：

（1）A＋B＋C＝π；

（2）sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC；

（3）＋＝；

（4）sin＝cos，cos＝sin，tan＝.

2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．

1．1.2　余弦定理

（一）

课时目标

1．熟记余弦定理及其推论；

2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．

1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.

2．余弦定理的推论

cosA＝；cosB＝；cosC＝.

3．在△ABC中：

（1）若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°；

（2）若c2＝a2＋b2－ab，则C＝60°；

（3）若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝135°.

一、选择题

1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于（　　）

A.B．3

C.D．5

答案　A

2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　∵a>b>c，∴C为最小角，

由余弦定理cosC＝

＝＝.∴C＝.

3．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于（　　）

A．1B.C．2D．4

答案　C

解析　bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.

4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，

∴cosB＝＝＝.

5．在△ABC中，sin2＝（a，b，c分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（　　）

A．正三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形

答案　B

解析　∵sin2＝＝，

∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．

故△ABC为直角三角形．

6．在△ABC中，已知面积S＝（a2＋b2－c2），则角C的度数为（　　）

A．135°B．45°C．60°D．120°

答案　B

解析　∵S＝（a2＋b2－c2）＝absinC，

∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.

由余弦定理得：

c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴sinC＝cosC，

∴C＝45°.

二、填空题

7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.

答案　120°

8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.

答案　30°

解析　c2＝a2＋b2－2abcosC

＝22＋42－2×2×4×cos60°

＝12

∴c＝2.

由正弦定理：

＝得sinA＝.

∵a

9．三角形三边长为a，b，（a>0，b>0），则最大角为________．

答案　120°

解析　易知：

>a，>b，设最大角为θ，

则cosθ＝＝－，

∴θ＝120°.

10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tanC＝________.

答案　－2

解析　S△ABC＝acsinB＝，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝13，

∴cosC＝＝－，sinC＝，

∴tanC＝－＝－2.

三、解答题

11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

解　由条件知：

cosA＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：

x2＝2＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49

⇒x＝7.

所以，所求中线长为7.

12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos（A＋B）＝1.

（1）求角C的度数；

（2）求AB的长；

（3）求△ABC的面积．

解　

（1）cosC＝cos[π－（A＋B）]

＝－cos（A＋B）＝－，

又∵C∈（0°，180°），∴C＝120°.

（2）∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，

∴

∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝（a＋b）2－ab＝10，

∴AB＝.

（3）S△ABC＝absinC＝.

能力提升

13．（2010·潍坊一模）在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

答案　

解析　∵cosC＝＝，

∴sinC＝.

∴AD＝AC·sinC＝.

14．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．

解　由余弦定理知

cosA＝，cosB＝，

cosC＝，

代入已知条件得

a·＋b·＋c·＝0，

通分得a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＋c2（c2－a2－b2）＝0，

展开整理得（a2－b2）2＝c4.

∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形．

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

（1）已知两边和夹角，解三角形．

（2）已知三边求三角形的任意一角．

2．余弦定理与勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

1．1.2　余弦定理

（二）

课时目标

1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；

2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．

1．正弦定理及其变形

（1）＝＝＝2R.

（2）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.

（3）sinA＝，sinB＝，sinC＝.

（4）sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.

2．余弦定理及其推论

（1）a2＝b2＋c2－2bccos_A.

（2）cosA＝.

（3）在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：

（1）A＋B＋C＝π，＝－.

（2）sin（A＋B）＝sin_C，cos（A＋B）＝－cos_C，tan（A＋B）＝－tan_C.

（3）sin＝cos，cos＝sin.

一、选择题

1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则∠C的大小为（　　）

A．60°B．90°

C．120°D．150°

答案　C

解析　∵（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，

∴a2＋b2－c2＝－ab，

即＝－，

∴cosC＝－，∴∠C＝120°.

2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

答案　C

解析　∵2cosBsinA＝sinC＝sin（A＋B），

∴sinAcosB－cosAsinB＝0，

即sin（A－B）＝0，∴A＝B.

3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为（　　）

A．30°B．60°

C．90°D．120°

答案　B

解析　∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，

不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，

则cosC＝＝－.

∴C＝120°.

∴最小外角为60°.

4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

答案　D

解析　∵2b＝a＋c，∴4b2＝（a＋c）2，即（a－c）2＝0.

∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，

c＝a，则（　　）

A．a>bB．a

C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定

答案　A

解析　在△ABC中，由余弦定理得，

c2＝a2＋b2－2abcos120°

＝a2＋b2＋ab.

∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.

∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.

6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．由增加的长度确定

答案　A

解析　设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，

则（a＋x）2＋（b＋x）2－（c＋x）2

＝a2＋b2＋2x2＋2（a＋b）x－c2－2cx－x2＝2（a＋b－c）x＋x2>0，

∴c＋x所对的最大角变为锐角．

二、填空题

7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.

答案　

解析　由题意：

a＋b＝5，ab＝2.

由余弦定理得：

c2＝a2＋b2－2abcosC

＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，

∴c＝.

8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．

答案　2

解析　∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.

∵三角形为钝角三角形，∴a2＋（2a－1）2<（2a＋1）2，

化简得：

02a＋1，

∴a>2，∴2

9．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．

答案　12

解析　S△ABC＝AB·AC·sinA

＝AB·AC·sin60°＝2，

∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA

＝AB2＋AC2－AB·AC＝（AB＋AC）2－3AB·AC，

∴（AB＋AC）2＝BC2＋3AB·AC＝49，

∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.

10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．

答案　

解析　S△ABC＝bcsinA＝c＝，

∴c＝4，

由余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA

＝12＋42－2×1×4cos60°＝13，

∴a＝.

∴2R＝＝＝，

∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.

三、解答题

11．在△ABC中，求证：

＝.

证明　右边＝＝·cosB－·cosA

＝·－·＝－＝＝左边．

所以＝.

12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB=

，

且

·

＝－21.

（1）求△ABC的面积；

（2）若a＝7，求角C.

解

（1）∵

·

＝－21，∴

·

=21.

∴

·

=|

|·|

|·cosB=accosB=21.

∴ac=35，∵cosB=

，∴sinB=

.

∴S△ABC=

acsinB=

×35×

=14.

（2）ac＝35，a＝7，∴c＝5.

由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝32，

∴b＝4.由正弦定理：

＝.

∴sinC＝sinB＝×＝.

∵c

∴C＝45°.

能力提升

13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是（　　）

A．0

C.

答案　A

解析　方法一　（应用正弦定理）

∵＝，∴＝

∴sinC＝sinA，∵0

∴0

∵AB

∴0

方法二　（应用数形结合）

如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，

则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：

BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，

∴0

14．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝.

（1）求＋的值；

（2）设

·

=

，求a+c的值.

解　

（1）由cosB＝，得sinB＝＝.

由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.

于是＋＝＋

＝＝

＝＝＝.

（2）由

·

=

得ca·cosB=

由cosB＝，可得ca＝2，即b2＝2.

由余弦定理：

b