1考研数一真题及解析.doc
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2013
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)已知极限,其中为常数,且,则()
(A)(B)
C)(D)
(2)曲面在点处的切平面方程为()
(A)(B)
(C)(D)
(3)设,,令,则()
(A)(B)(C)(D)
(4)设为四条逆时针的平面曲线,记,则=()
(A)(B)(C)(D)
(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
(D)矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
(6)矩阵与相似的充分必要条件为
(A)(B)
(C)(D)
(7)设是随机变量,且,
则()
(A)(B)
(C)(D)
(8)设随机变量给定常数c满足,则()
(A)(B)(C)(D)
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设函数由方程确定,则.
(10)已知,,是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,该方程的通解为.
(11)设(为参数),则.
(12).
(13)设是三阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若
(14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布,为常数且大于零,则________。
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
计算其中
(16)(本题满分10分)
设数列满足条件:
是幂级数的和函数,
(I)证明:
(II)求的表达式.
(17)(本题满分10分)
求函数的极值.
(18)(本题满分10分)
设奇函数上具有2阶导数,且证明:
(I)存在
(II)存在,使得
(19)(本题满分10分)
设直线L过两点,将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为,
(I)求曲面的方程
(II)求的形心坐标.
(20)(本题满分11分)
设,当为何值时,存在矩阵使得,并求所有矩阵。
(21)(本题满分11分)
设二次型,记。
(I)证明二次型对应的矩阵为;
(II)若正交且均为单位向量,证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
(22)(本题满分11分)
设随机变量的概率密度为,令随机变量,
(I)求Y的分布函数
(II)求概率
(23)(本题满分11分)
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零,为来自总体的简单随机样本.
(1)求的矩估计量;
(2)求的最大似然估计量.
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【答案】D
【解析】
(2)【答案】A
【解析】设,
则;
;
,
所以该曲面在点处的切平面方程为,
化简得,选A
(3)【答案】C
【解析】根据题意,将函数在上奇延拓,它的傅里叶级数为它是以2为周期的,则当且在处连续时,,因此
(4)【答案】D
【解析】
利用二重积分的几何意义,比较积分区域以及函数的正负,在区域上函数为正值,则区域大,积分大,所以,在之外函数值为负,因此,故选D。
(5【答案】(B)
【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示,又B可逆,故有,从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示,故根据向量组等价的定义可知正确选项为(B)。
(6)【答案】(B)
【解析】由于为实对称矩阵,故一定可以相似对角化,从而与相似的充分必要条件为的特征值为。
又,从而。
(7)【答案】(A)
【解析】由知,
,
,故.
由根据及概率密度的对称性知,,故选(A)
(8)【答案】(C)
【解析】由得,,故
9.【答案】1
【解析】
由,当时,
方程两边取对数
两边同时对求导,得
将,代入上式,得
(10)【答案】
【解析】因,是非齐次线性线性微分方程的解,则是它所对应的齐次线性微分方程的解,可知对应的齐次线性微分方程的通解为,因此该方程的通解可写为
(11)【答案】
【解析】,,
,所以,所以
(12)【答案】
【解析】
(13)【答案】
【解析】
(14)【答案】
【解析】由及随机变量函数的期望公式知
.
(15)【解析】
(16)【解析】(I)设,,,
因为,因此;
(II)方程的特征方程为,
解得,所以,
又,,
解得,所以。
17
【解析】
解得,
对于点,
为极小值点,极小值为
对于,,不是极值.
(18)【解析】
(1)令
则使得
(2)令则
又由于为奇函数,故为偶函数,可知,
则使
即,即
(19)
【解析】
(1)过两点,所以其直线方程为:
所以其绕着轴旋转一周的曲面方程为:
(2)由形心坐标计算公式可得,所以形心坐标为
(20)
【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵,故可设,则由可得线性方程组:
(1)
由于方程组
(1)有解,故有,即从而有
,故有
从而有
(21)
【解析】
(1)
(2),则1,2均为A的特征值,又由于,故0为A的特征值,则三阶矩阵A的特征值为2,1,0,故f在正交变换下的标准形为
(22)
【解析】
(1)
由的概率分布知,当时,;
当时,;
当时,
=
(2)
(23)
【解析】
(1),令,故矩估计量为.
(2)
当时,
令,
得,所以得极大似然估计量=.
9