1年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料.doc

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2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料

第三章指数函数和对数函数

第一节指数函数

A组

1．（2010年黑龙江哈尔滨模拟）若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于________．

解析：

∵a>1，b<0，∴01.又∵（ab＋a－b）2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴（ab－a－b）2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：

－2

2．已知f（x）＝ax＋b的图象如图所示，则f（3）＝________.

解析：

由图象知f（0）＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f

（2）＝a2－3＝0，∴a＝，则f（3）＝（）3－3＝3－3.

答案：

3－3

3．函数y＝（）2x－x2的值域是________．

解析：

∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，

∴（）2x－x2≥.答案：

[，＋∞）

4．（2009年高考山东卷）若函数f（x）＝ax－x－a（a>0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：

函数f（x）的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.答案：

（1，+∞）

5．（原创题）若函数f（x）＝ax－1（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

解析：

由题意知无解或⇒a＝.答案：

6．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．

解：

（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，即＝0，解得b＝1.

从而有f（x）＝.又由f

（1）＝－f（－1）知＝－，解得a＝2.

（2）法一：

由

（1）知f（x）＝＝－＋，

由上式易知f（x）在R上为减函数，又因f（x）是奇函数，从而不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0⇔f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（－2t2＋k）．

因f（x）是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

法二：

由

（1）知f（x）＝，又由题设条件得＋<0

即（22t2－k＋1＋2）（－2t2－2t＋1）＋（2t2－2t＋1＋2）（－22t2－k＋1）<0

整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

B组

1．如果函数f（x）＝ax＋b－1（a>0且a≠1）的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①00　②01且b<0④a>1且b>0

解析：

当0

②

2．（2010年保定模拟）若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝（a＋1）1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析：

f（x）＝－x2＋2ax＝－（x－a）2＋a2，所以f（x）在[a，＋∞）上为减函数，又f（x），g（x）都在[1,2]上为减函数，所以需⇒0

（0,1]

3．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f（x）＝ax·g（x）（a>0，a≠1）；②g（x）≠0；若＋＝，则a等于________．

解析：

由f（x）＝ax·g（x）得＝ax，所以＋＝⇒a＋a－1＝，解得a＝2或.答案：

2或

4．（2010年北京朝阳模拟）已知函数f（x）＝ax（a>0且a≠1），其反函数为f－1（x）．若f

（2）＝9，则f－1（）＋f

（1）的值是________．

解析：

因为f

（2）＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f（x）＝3x＝，∴x＝－1，

故f－1（）＝－1.又f

（1）＝3，所以f－1（）＋f

（1）＝2.答案：

2

5．（2010年山东青岛质检）已知f（x）＝（）x，若f（x）的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．

解析：

设y＝g（x）上任意一点P（x，y），P（x，y）关于x＝1的对称点P′（2－x，y）在f（x）＝（）x上，∴y＝（）2－x＝3x－2.答案：

y＝3x－2（x∈R）

6．（2009年高考山东卷改编）函数y＝的图象大致为________．

解析：

∵f（－x）＝＝－＝－f（x），∴f（x）为奇函数，排除④.

又∵y＝＝＝＝1＋在（－∞，0）、（0，＋∞）上都是减函数，排除②、③.答案：

①

7．（2009年高考辽宁卷改编）已知函数f（x）满足：

当x≥4时，f（x）＝（）x；当x<4时，f（x）＝f（x＋1），则f（2＋log23）＝________.

解析：

∵2<3<4＝22，∴1

＝f（3＋log23）＝f（log224）＝（）log224＝2－log224＝2log2＝.答案：

8．（2009年高考湖南卷改编）设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝取函数f（x）＝2－|x|，当K＝时，函数fK（x）的单调递增区间为________．

解析：

由f（x）＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK（x）＝

则单调增区间为（－∞，－1]．答案：

（－∞，－1]

9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是________．

解析：

函数y＝2|x|的图象如图．

当a＝－4时，0≤b≤4，

当b＝4时，－4≤a≤0，答案：

②

10．（2010年宁夏银川模拟）已知函数f（x）＝a2x＋2ax－1（a>0，且a≠1）在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．

解：

f（x）＝a2x＋2ax－1＝（ax＋1）2－2，∵x∈[－1,1]，

（1）当0

∴（＋1）2－2＝14，∴＝3，∴a＝.

（2）当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f（x）取得最大值．

∴（a＋1）2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3.

11．已知函数f（x）＝.

（1）求证：

f（x）的图象关于点M（a，－1）对称；

（2）若f（x）≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

解：

（1）证明：

设f（x）的图象C上任一点为P（x，y），则y＝－，

P（x，y）关于点M（a，－1）的对称点为P′（2a－x，－2－y）．

∴－2－y＝－2＋＝＝＝，

说明点P′（2a－x，－2－y）也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f（x）的图象关于点M（a，－1）对称．

（2）由f（x）≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有（2x）2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g（t）＝t2＋2a·t－2·2a，则有g（t）≥0在t≥2a上恒成立．∵g（t）的对称轴在t＝0的左侧，∴g（t）在t≥2a上为增函数．

∴g（2a）≥0.∴（2a）2＋（2a）2－2·2a≥0，∴2a（2a－1）≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.

12．（2008年高考江苏）若f1（x）＝3|x－p1|，f2（x）＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且

f（x）＝

（1）求f（x）＝f1（x）对所有实数x成立的充要条件（用p1、p2表示）；

（2）设a，b是两个实数，满足a

函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n－m）．

解：

（1）f（x）＝f1（x）恒成立⇔f1（x）≤f2（x）⇔3|x－p1|≤2·3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x－p2|≤2

⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32.（*）若p1＝p2，则（*）⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g（x）＝|x－p1|－|x－p2|，当p1>p2时，g（x）＝

所以g（x）max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32.

当p1

综上所述，f（x）＝f1（x）对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32.

（2）证明：

分两种情形讨论．

①当|p1－p2|≤log32时，由

（1）知f（x）＝f1（x）（对所有实数x∈[a，b]），则由f（a）＝f（b）及a

②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1（x）＝3p1－x<3p2－x

当x≥p2时，f1（x）＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2（x），从而f（x）＝f2（x）．

当p1

显然p1

由①易知f（x）＝

综上可知，在区间[a，b]上，f（x）＝

故由函数f1（x）与f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0－p1）＋（b－p2），由于f（a）＝f（b），即3p1－a＝2·3b－p2，得

p1＋p2＝a＋b＋log32.②

故由①②得（x0－p1）＋（b－p2）＝b－（p1＋p2－log32）＝.

综合①、②可知，f（x）在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为.

第二节对数函数

A组

1．（2009年高考广东卷改编）若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）＝________.

解析：

由题意f（x）＝logax，∴a＝logaa＝，∴f（x）＝logx.答案：

logx

2．（2009年高考全国卷Ⅱ）设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是________．

解析：

a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈（，1），c＝log3＝log32∈（0，），故有a>b>c.答案：

a>b>c

3．若函数f（x）＝，则f（log43）＝________.

解析：

0

3

4．如图所示，若函数f（x）＝ax－1的图象经过点（4,2），则函数g（x）＝loga的图象是________．

解析：

由已知将点（4,2）代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1.

又是单调递减的，故g（x）递减且过（0,0）点，∴④正确．答案：

④

5．（原创题）已知函数f（x）＝alog2x＋blog3x＋2，且f（）＝4，则f（2010）的值为_．

解析：

设F（x）＝f（x）－2，即F（x）＝alog2x＋blog3x，则F（）＝alog2＋blog3＝－（alog2x＋blog3x）＝－F（x），∴F（2010）＝－F（）＝－[f（）－2]＝－2，

即f（2010）－2＝－2，故f（2010）＝0.答案：

0

6．若f（x）＝x2－x＋b，且f（log2a）＝b，log2f（a）＝2（a>0且a≠1）．

（1）求f（log2x）的最小值及相应x的值；

（2）若f（log2x）>f

（1）且log2f（x）

（1），求x的取值范围．

解：

（1）∵f（x）＝x2－x＋b，∴f（log2a）＝（log2a）2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f（a）＝2，∴f（a）＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f（x）＝x2－x＋2.

∴f（log2x）＝（log2x）2－log2x＋2＝（log2x－）2＋.

∴当log2x＝，即x＝时，f（log2x）有最小值.

（2）由题意知∴

∴∴0

B组

1．（2009年高考北京卷改编）为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点________．

解析：

∵y＝lg＝lg（x＋3）－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg（x＋3）的图象，再将y＝lg（x＋3）的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg（x＋3）－1的图象．

答案：

向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2．（2010年安徽黄山质检）对于函数f（x）＝lgx定义域中任意x1，x2（x1≠x2）有如下结论：

①f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）；②f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）；③>0；④f（）<.上述结论中正确结论的序号是________．

解析：

由运算律f（x1）＋f（x2）＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f（x1x2），所以②对；因为f（x）是定义域内的增函数，所以③正确；f（）＝lg，＝＝lg，∵≥，且x1≠x2，∴lg>lg，所以④错误．

答案：

②③

3．（2010年枣庄第一次质检）对任意实数a、b，定义运算“*”如下：

a*b＝，则函数f（x）＝log（3x－2）*log2x的值域为________．

解析：

在同一直角坐标系中画出y＝log（3x－2）和y＝log2x两个函数的图象，

由图象可得

f（x）＝，值域为（－∞，0]．答案：

（－∞，0]

4．已知函数y＝f（x）与y＝ex互为反函数，函数y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）＝1，则实数a的值为________．

解析：

由y＝f（x）与y＝ex互为反函数，得f（x）＝lnx，因为y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于x轴对称，故有g（x）＝－lnx，g（a）＝1⇒lna＝－1，所以a＝.

答案：

5．已知函数f（x）满足f（）＝log2，则f（x）的解析式是________．

解析：

由log2有意义可得x>0，所以，f（）＝f（），log2＝log2x，即有f（）＝log2x，故f（x）＝log2＝－log2x.答案：

f（x）＝－log2x，（x>0）

6．（2009年高考辽宁卷改编）若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2（x－1）＝5，则x1＋x2＝________.

解析：

由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2（x2－1）＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2（5－2x1），即2x1＝2log2（5－2x1）．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2（2t－2）＝2＋2log2（t－1），∴5－2t＝2log2（t－1）与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：

7．当x∈[n，n＋1），（n∈N）时，f（x）＝n－2，则方程f（x）＝log2x根的个数是________．

解析：

当n＝0时，x∈[0,1），f（x）＝－2；

当n＝1时，x∈[1,2），f（x）＝－1；

当n＝2时，x∈[2,3），f（x）＝0；

当n＝3时，x∈[3,4），f（x）＝1；

当n＝4时，x∈[4,5），f（x）＝2；

当n＝5时，x∈[5,6），f（x）＝3.答案：

2

8．（2010年福建厦门模拟）已知lga＋lgb＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是________．

解析：

由题知，a＝，则f（x）＝（）x＝b－x，g（x）＝－logbx，当01时，f（x）单调递减，g（x）单调递减．

答案：

②

9．已知曲线C：

x2＋y2＝9（x≥0，y≥0）与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则x12＋x22的值为________．

解析：

∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：

9

10．已知函数f（x）＝lg（k∈R且k>0）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若函数f（x）在[10，＋∞）上是单调增函数，求k的取值范围．

解：

（1）由>0及k>0得>0，即（x－）（x－1）>0.

①当0；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上可得当0

当k≥1时，函数的定义域为（－∞，）∪（1，＋∞）．

（2）∵f（x）在[10，＋∞）上是增函数，∴>0，∴k>.

又f（x）＝lg＝lg（k＋），故对任意的x1，x2，当10≤x1，∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈（，1）．

11．（2010年天津和平质检）已知f（x）＝loga（a>0，a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；（3）求使f（x）>0的x的取值范围．

解：

（1）由>0，解得x∈（－1,1）．

（2）f（－x）＝loga＝－f（x），且x∈（－1,1），∴函数y＝f（x）是奇函数．

（3）若a>1，f（x）>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－1

12．已知函数f（x）满足f（logax）＝（x－x－1），其中a>0且a≠1.

（1）对于函数f（x），当x∈（－1,1）时，f（1－m）＋f（1－m2）<0，求实数m的集合；

（2）x∈（－∞，2）时，f（x）－4的值恒为负数，求a的取值范围．

解：

令logax＝t（t∈R），则x＝at，∴f（t）＝（at－a－t），

∴f（x）＝（ax－a－x）．∵f（－x）＝（a－x－ax）＝－f（x），

∴f（x）是R上的奇函数．

当a>1时，>0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f（x）是R上的增函数；

当0

综上所述，a>0且a≠1时，f（x）是R上的增函数．

（1）由f（1－m）＋f（1－m2）<0有f（1－m）<－f（1－m2）＝f（m2－1），

∴解得m∈（1，）．

（2）∵f（x）是R上的增函数，∴f（x）－4也是R上的增函数，由x<2，得f（x）

（2），

∴f（x）－4

（2）－4，要使f（x）－4的值恒为负数，只需f

（2）－4≤0，

即（a2－a－2）－4≤0，解得2－≤a≤2＋，

∴a的取值范围是2－≤a≤2＋且a≠1.

第三节幂函数与二次函数的性质

A组

1．若a>1且01的解集为________．

解析：

∵a>1,01⇔logb（x－3）>0⇔logb（x－3）>logb1⇔0

{x|3

2．（2010年广东广州质检）下列图象中，表示y＝x的是________．

解析：

y＝x＝是偶函数，∴排除②、③，当x>1时，＝x>1，∴x>x，∴排除①.答案：

④

3．（2010年江苏海门质检）若x∈（0,1），则下列结论正确的是__________．

①2x>x>lgx　　　②2x>lgx>x③x>2x>lgx④lgx>x>2x

解析：

∵x∈（0,1），∴2>2x>1,0

①

4．（2010年东北三省模拟）函数f（x）＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.

解析：

先画出f（x）＝4x－x2的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4.答案：

4

5．（原创题）方程x＝logsin1x的实根个数是__________．

解析：

在同一坐标系中分别作出函数y1＝x和y2＝logsin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：

1

6．（2009年高考江苏卷）设a为实数，函数f（x）＝2x2＋（x－a）·|x－a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；

（2）求f（x）的最小值；

（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，＋∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集．

解：

（1）因为f（0）＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a2≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为（－∞，－1]．

（2）记f（x）的最小值为g（a）．则有f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|

＝

（ⅰ）当a≥0时，f（－a）＝－2a2，由①②知f（x）≥－2a2，此时g（a）＝－2a2.

（ⅱ）当a<0时，f（）＝a2.若x>a，则由①知f（x）≥a2；

若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f（x）≥2a2>a2.此时g（a）＝a2.

综上，得g（a）＝

（3）（ⅰ）当a∈（－∞，－]∪[，＋∞）时，解集为（a，＋∞）；

（ⅱ）当a∈[－，）时，解集为[，＋∞）；

（ⅲ）当a∈（－，－）时，解集为（a，]∪[，＋∞）．

B组

1．（2010年江苏无锡模拟）幂函数y＝f（x）的图象经过点（－2，－），则满足f（x）＝27的x的值是__________．

解析：

设幂函数为y＝xα，图象经过点（－2，－），则－＝（－2）α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝.答案：

2．（2010年安徽蚌埠质检）已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如下表：

x

1

f（x）

1

则不等式f（|x|）≤2的解集是__________．

解析：

由表知＝（）α，∴α＝，∴f（x）＝x.∴（|x|）≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案：

{x|－4≤x≤4}

3．（2010年广东江门质检）设k∈R，函数f（x）＝F（x）＝f（x）＋kx，x∈R.当k＝1时，F（x）的值域为__________．

解析：

当x>0时，F（x）＝＋x≥2；当x≤0时，F（x）＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的单调性，F（x）是单调递增函数，F（x）≤F（0）＝1，所以k＝1时，F（x）的值域为（－∞，1]∪[2，＋∞）．答案：

（－∞，1]∪[2，＋∞）

4．设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为__________．

解析：

由f（－4）＝f（0），得b＝4.又f（－2）＝0，可得c＝4，∴或可得－3≤x≤－1或x>0.答案：

{x|－3≤x≤－1或x>0}

5．（2009年高考天津卷改编）已知函数f（x）＝若f（2－a2）>f（a），则实数a的取值范围是__________．

解析：

函数f（x）＝的图象如图．

知f（x）在R上为增函数．

∵f（2－a2）>f（a），即2－a2>a.

解得－2

答案：

－2

6．（2009年高考江西卷改编）设函数f（x）＝（a<0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））

（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为__________．

解析：

由题意定义域D为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集．∵ax2＋