小升初数学衔接教材 第15讲角与角的运算 教师版.docx

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小升初数学衔接教材第15讲角与角的运算教师版

第15讲角与角的运算

【教材精讲】

教学目标：

1、掌握角的两种定义形式和四种表示方法．

2、会比较角的大小，能估计一个角的大小．

3、认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．

4、认识角的平分线；熟练掌握用尺规作一个角等于已知角．

教学重点：

角的概念与角的表示方法，角的大小比较方法，度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．用尺规作一个角等于已知角.

教学难点：

正确地表示角，度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．

教学过程

一、复习旧知

小学中我们已经认识了角，学过哪些关于角的知识？

下面我们更加详细地研究角的有关知识.

二、探求新知

（一）角的概念

1、在学生充分发表自己对角的认识的基础上，师生共同归纳得出：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

2、下面的三个图形是角吗？

不是，因为不符合角的定义，即有公共端点的两条射线组成的图形。

（二）角的表示

我们发现了生活中有许多角的形象．那么，我们如何给这些角取名呢？

有四种方法来表示：

①用角的两边和角的顶点的字母来表示,如∠AOB,其中O为角的顶点；

②用角的顶点字母表示，如∠A，其中A为角的顶点；

③用数字书写在角的内部来表示,如∠1、∠2等；

④用希腊字母来表示,类似于用数字来表示一样,如∠α、∠β等。

（三）用旋转观点定义角

1.思考：

在一艘轮船正在大海上打开探照灯寻找目标或一只挂钟的钟摆不停地摆动，在这个过程中，有以新的方式出现的角吗？

探照灯光线移动或钟摆摆动所形成的图形，也可看成是角。

在讨论的基础上，归纳：

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

演示：

当射线OA绕点O旋转时，当终止位置OB和起始位置OA成一条线时，会形成什么角？

继续旋转，当OB和OA重合时，又形成什么角？

当终止位置OB和起始位置OA成一条线时，会形成平角，也即角的度数为1800，继续旋转，当OB和OA重合时，又形成周角，也即角的度数为3600。

2.把图中的角表示成下列形式，哪些正确，哪些不正确？

（1）∠APO

（2）∠AOP（3）OPC（4）∠OCP

（5）∠O（6）∠P

正确的有：

（1）（3）（6）

错误的有：

（2）（4）（5）

3.图中以O点为顶点的角有几个？

以D点为顶点的角有几个？

以O点为顶点的角有3个：

∠AOB、∠AOC、∠BOC；

以D为顶点的角有4个。

（四）度分秒

1.在实际生活中，有时还需要更精密的角度.因此我们把1度的角60等分，每份就是1分的角，记作1′；

把1分的角60等份，每份就是1秒的角，记作1″.

即：

1°=60′，1′=60″

归纳：

以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．

想一想：

角度进位制和其他什么进位制相类似？

（时间进位制）

2、出示两个问题：

问题1：

3.32小时=3小时19分12秒；

3.32度=3度19分12秒。

问题2：

12小时9分36秒=12.16小时；

12°9′36″=12.16度

分组讨论后，请学生回答度、分、秒间的转化方法．

（1）因为计算的时候要将十进制换算成60进制,可将0.32×3600（按照秒计算）得出19.2分,那么0.2分×60得出12秒。

故答案为3小时19分12秒。

角度由十进制换算成60进制也是同样的道理。

（2）先将秒换算成分，再将分换算成小时。

6秒=36÷60分=0.6分9分+0.6分=9.6分

9.6分=9.6÷60小时=0.16小时12小时9分36秒=12.16小时

师生总结得出：

由度化分，由分化秒，只要乘以60即可；由秒化分，由分化l度，只要除以60就行．

例1：

计算：

（1）32°21'+68°48';

（2）90°-25°32';

（3）15°23'8”×4.

【答案】

（1）101°9’

（2）64°28’（3）61°32'32”

【解析】

（1）32°21'+68°48'=100°69’=101°9’

（2）90°-25°32'=89°60’-25°32'=64°28’

（3）15°23'8”×4=60°92'32”=61°32'32”

练习：

计算：

（1）13°29'+78°37'，

（2）62°5'-21°39'，

（3）107°43'÷5

【答案】

（1）92°6′

（2）40°26′（3）21°32′36″

【解析】

（1）13°29′+78°37′=91°66′=92°6′

（2）62°5′-21°39′=61°65′-21°39′=40°26′

（3）107°43′÷5=21.4°8.6′=21°32.6′=21°32′36″

3、平角、周角的度数：

例2：

把一个周角8等分，每一份是多少度的角？

每一份角的度数：

360°÷8=45°

（五）角的大小比较

如图已知∠ABC和∠DEF。

请大家讨论一下，用什么方法可以比较这两个角的大小？

分组讨论角的比较方法．在学生讨论过程中，教师深入学生中间巡视，观察并听取他们解决问题的方法和建议．可适当组织交流或分组汇报．师生共同归纳角的比较方法：

（1）度量方法：

用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。

（2）叠合方法：

把两个角叠合在一起比较大小。

2、观察下列图形，图中共有几个角？

它们之间有什关系？

3个，∠COB、∠COA、∠BOA；∠COA=∠COB+∠BOA

（六）角的平分线问题

问题1：

用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？

30°、45°、60°、90°；15°、75°、105°、120°、135°、150°。

问题2：

在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合．想想看，折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？

相等。

折痕与角两边重合，相当于把角平均分成两份，所以两角相等。

由问题2的探讨，引出角的平分线定义及其几何表达式．类似的还有角的三等分线、四等分线等等．想一想，还有什么方法可画出一个角的平分线呢？

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

可用量角器平分、尺规作图等方法。

（七）尺规作图

1、画一个角等于已知角，除用量角器外，你还有别的办法吗？

尺规作图法。

2、教师不用量角器和三角尺，而用直尺和圆规来画一个角等于已知∠AOB.

分组讨论：

角的顶点和角的一边如何确定？

角的另一边怎样画出？

画图的关键是什么？

角的顶点和角的一边直接作出即可；角的另一边需要用尺规作图法确定；画图的关键是确定角的另一边上的一个点。

3、教师按课本的步骤边讲边画，学生跟着老师的步骤画．

①以O点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于OA，OB于点C，D；

②做一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；

③以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前弧于点D′；

④过点O′，D′做射线O′B′；

∠A′O′B′就是所求作的角。

4、已知∠1和∠2如下图所示，用尺规作图画出∠AOB=∠1+∠2，保留作图痕迹

（八）角的计算

例3：

已知在平面内，∠AOB=70°，∠BOC=40°，求∠AOC的度数．

【答案】30°或110°

【解析】

试题分析：

∠BOC可能在∠AOB里边，也可能在∠AOB外边，分情况计算即可。

解：

∠BOC在∠AOB里边时，∠AOC=∠AOB－∠BOC=70°－40°=30°

∠BOC在∠AOB外边时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+40°=110°

故答案为30°或110°。

例4：

如图，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．

【答案】27.5°

【解析】

∠BOD=∠AOD－∠AOB

∠AOD=

∠AOC=

（∠AOB+∠BOC）

∴∠BOD=∠AOD－∠AOB=

（∠BOC－∠AOB）=

（90°－35°）=27.5°

三、课堂小结：

这节课你学习了哪些知识？

【达标训练】

一、选择题（每题3分）

1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）

A．

B．C．D．

【答案】D

【解析】

试题分析：

同一个角的表示方法有4种，其共同点是有共同的顶点和两条边，对比四个选项，只有D选项满足。

故选D。

考点：

角的概念，角的表示。

2．下列说法中正确的是（）

A．两点之间的所有连线中，线段最短

B．射线就是直线

C．两条射线组成的图形叫做角

D．小于平角的角可分为锐角和钝角两类

【答案】A

【解析】

试题分析：

选项A是线段公理，正确；射线有端点、直线无端点，选项B错误；有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项C错误；小于平角的角还有直角，D选项错误。

故选A。

考点：

线段公理，角的概念。

3．已知，如图，C、D是OA上两点，E、F是OB上两点，下列各式中，表示∠AOB错误的是（）

A．∠COEB．∠AOFC．∠DOBD．∠EOF

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，逐一验证选项。

选项A、B、C中角的两条边都分别落在了射线OA和射线OB上，均表示的是∠AOB。

D选项∠EOF的两条边均落在了射线OB上，是另一个角，不能表示∠AOB。

故选D。

考点：

角的表示。

4．8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（）

A．70°B．75°C．80°D．60°

【答案】B

【解析】

试题分析：

8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．

∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°

∴8点30分时针与分针的夹角是2.5×30°=75°

故答选B。

考点：

角度的计算。

5．已知，∠AOC=90°，且∠AOB：

∠AOC=2：

3，则∠BOC的度数为（）

A．30°B．150°C．30°或150°D．90°

【答案】C

【解析】

试题分析：

∠BOC可能落在∠AOC里边，也可能落在∠AOC外边，两种情况就需要分情况计算。

∵∠AOB：

∠AOC=2：

3

∴∠AOB=60°

∠BOC落在∠AOC里边时，∠BOC=∠AOC－∠AOB=30°

∠BOC落在∠AOC外边时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°

故选C。

考点；角度的计算。

6．已知∠MON=30°，∠NOP=15°，则∠MOP=（）

A．45°B．15°C．45°或15°D．无法确定

【答案】C

【解析】

试题分析：

∠NOP可能落在∠MON里边，也可能落在∠MON外边，两种情况就需要分情况计算。

∠NOP落在∠MON里边时，∠MOP=30°-15°=15°

∠NOP落在∠MON外边时，∠MOP=30°+15°=45°

故选C。

考点：

角度的计算。

7．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹MN是（）

A．以点B为圆心，OD为半径的圆B．以点B为圆心，DC为半径的圆

C．以点E为圆心，OD为半径的圆D．以点E为圆心，DC为半径的圆

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据尺规作图法步骤，可直接推出作图痕迹MN的由来。

完整作图步骤如下：

①以O点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于OA，OB于点C，D；

②以点B为圆心，OC长为半径作弧，交OB于点E；

③以点E为圆心，DC长为半径作弧，交前弧于点F；

④过点B，F做射线OF；

∠OBF就是所求作的角。

可知作图痕迹MN是第③步“以点E为圆心，DC长为半径作弧”得来的。

故选D。

考点：

尺规作图。

8．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）

（A）20°（B）25°（C）30°（D）70°

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据相关角度的数量关系，以及角平分线的作用，确定∠2的等量关系式。

∵∠2=180°-∠1-∠COD

又OD平分∠BOC

得∠COD=∠2

∴∠2=180°-∠1-∠2

∠2=

（180°-∠1）=70°

故选D

考点：

角平分线，角度的计算。

二、填空题（每题3分）

9．计算：

15°37′+42°51′=____________．

【答案】58°28′

【解析】

试题分析：

角度的运算为60进制，度加度、分加分，然后进位得到最终答案。

15°37′+42°51′=57°88′=58°28′

考点：

度分秒的计算。

10．如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=27°32′，则∠AOB=____________．

【答案】55°4′

【解析】

试题分析：

根据角平分线的关系，得出∠AOB的等量关系式，按照度分秒的计算规则计算即可。

∠AOB=2∠AOC=2×27°32′=54°64′=55°4′

考点：

角平分线，度分秒的计算。

11．如果∠AOB=34°，∠BOC=18°，则∠AOC的度数为____________．

【答案】16°或52°

【解析】

试题分析：

∠BOC可能落在∠AOB里边，也可能落在∠AOB外边，两种情况就需要分情况计算。

∠BOC落在∠AOB里边时，∠AOC=∠AOB－∠BOC=34°－18°=16°

∠BOC落在∠AOB外边时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=34°+18°=52°

故答案为16°或52°。

考点：

角度的计算。

12．直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=26°，则∠AOE的度数为____________．

【答案】77°

【解析】

试题分析：

根据角平分线以及相关角度的关系，得出∠AOE的等量关系式。

∠AOE=

∠AOD=

（180－∠AOC）=

（180°－26°）=77°

故答案为77°。

考点：

角平分线，角度的计算。

13．57.32°=_______°______′______″．

【答案】571912

【解析】

试题分析：

角度从十进制转化为60进制时，将度的小数部分乘以60转化为分，然后再将分的小数部分乘以60转化为秒。

0.32°=0.32×60′=19.2′

0.2′=0.2×60″=12″

故答案为571912

考点：

度分秒的转化。

三、解答题（每题10分）

14．计算：

（1）22°18′×5；

（2）90°﹣57°23′27″．

【答案】

（1）111°30′

（2）32°36′33″

【解析】

试题分析：

度分秒的乘法计算，分别乘以度分秒，然后再进位，得到最终答案；度分秒的减法计算，被减数首先化为与减数一致的度分秒，然后度减度、分减分、秒减秒，最后再进位得到最终结果。

解：

（1）22°18′×5=110°90′=111°30′

（2）90°﹣57°23′27″=89°59′60″﹣57°23′27″=32°36′33″

考点：

度分秒的计算。

15.如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．

【答案】75°

【解析】

试题分析：

根据角平分线和相关角度的数量关系，确定∠COE的等量关系式，直接计算即可得出答案。

解：

∵∠COE=∠COB+∠BOE

而∠BOE=∠BOD－∠DOE=

∠BOD

又∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB

得∠COB=∠BOD=

∠COD=45°

∴∠COE=∠COB+∠BOE=∠COB+

∠BOD=75°

故答案为75°。

考点：

角平分线，角度的计算。

【闯关测验】

一、选择题（每题3分）

1．如图，下列表示角的方法中，不正确的是（）

A．∠AB．∠EC．∠αD．∠1

【答案】B

【解析】

试题分析：

角的表示方法有4种。

①用角的两边和角的顶点的字母来表示,如∠AOB,其中O为角的顶点；

②用角的顶点字母表示，如∠A，其中A为角的顶点；

③用数字书写在角的内部来表示,如∠1、∠2等；

④用希腊字母来表示,类似于用数字来表示一样,如∠α、∠β等。

不难发现选项A、C、D均为正确的角的表示方法；而∠E不确定表示的是∠BEC还是∠AEC，B选项不正确。

故选B。

考点：

角的表示方法。

2．如图，AB是直线，O是直线上一点，OC、OD是两条射线，则图中小于平角的角有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】C

【解析】

试题分析：

平角为180°，数出图中小于180°的角即可。

从左往右依次有，∠AOC、∠AOD；∠COD、∠COB；∠DOB；共5个。

故选C。

考点：

角的概念。

3．用一副三角板可以画出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板画出的是（）

A．15°B．75°C．85°D．105°

【答案】C

【解析】

试题分析：

一副三角板包括一个等边三角形、一个等腰直角三角形和一个含30度角的直角三角形。

能用一副三角板画出的角一定是这些三角板中包含的度数以及这些度数的加减。

一副三角板可直接画出的度数有：

30°、45°、60°、90°；

一副三角板通过拼接可画出的度数有：

15°、75°、105°、120°、135°、150°。

故选C。

考点：

角的概念，角度的计算。

4．把15°48′36″化成以度为单位是（）

A．15.8°B．15.4836°C．15.81°D．15.36°

【答案】C

【解析】

试题分析：

先将秒化为分，再将分化为度即可。

∵36″=0.6′

又48.6′=48.6÷60=0.81°

∴15°48′36″=15.81°

故选C。

考点：

度分秒的转化。

5．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（）

A．52°B．38°C．64°D．26°

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据相关角度的数量关系，确定∠AOD的等量关系式。

∠AOD=∠AOC+∠COD

=∠AOC+

∠BOC

=∠AOC+

（90°－∠AOC）

=45°－

·38°

=26°

故选D。

考点：

角度的计算。

6．将21.54°用度、分、秒表示为（）

A．21°54′B．21°50′24″C．21°32′40″D．21°32′24″

【答案】D

【解析】

试题分析：

角度从10进制转化为60进制。

将度的小数部分乘以60得到分，将分的小数部分乘以60得到秒。

∵0.54°=0.54×60′=32.4′

0.4′=0.4×60″=24″

∴21.54°=21°32′24″

故选D。

考点：

度分秒的计算。

7．计算15°23′×4的结果是（）

A．60°92′B．60.92°C．60°32′D．61°32′

【答案】D

【解析】

试题分析：

度分秒的乘法计算，度分秒分别乘以乘数，然后再对分秒进位得到最终结果。

15°23′×4=60°92′=61°32′

故选D。

考点：

度分秒的计算。

8．如图，从点O出发的五条射线，可以组成（）个角．

A．4B．6C．8D．10

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据角的概念，从上往下依次列举出所有的角，做到不重不漏。

AOB、AOC、AOD、AOE；

BOC、BOD、BOE；

COD、COE；

DOE。

共10个角。

故选D。

考点：

角的概念。

9．下面等式成立的是（）

A．83.5°=83°50′

B．37°12′36″=37.48°

C．24°24′24″=24.44°

D．41.25°=41°15′

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据10进制转60进制的规则、60进制转10进制的规则，逐一验证选项。

A选项错误，0.5°转化为分是30′；12′36″转化为度是0.21°，B选项错误；24′24″转化为度小于0.41°，C选项错误；0.25°转化为分是15′，D选项正确。

故选D。

考点：

度分秒的转化。

10．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．30°或50°

【答案】D

【解析】

试题分析：

∠BOC可能在∠AOB里边，也可能在外边，分情况计算。

∠BOC可能在∠AOB里边时，∠MON=∠MOB-∠BON=

∠AOB-

∠BOC=30°

∠BOC可能在∠AOB外边时，∠MON=∠MOB+∠BON=

∠AOB+

∠BOC=50°

∠MON的度数为30°或50°。

故选D。

考点：

角平分线，角度的计算。

二、填空题（每题3分）

11．计算：

42°48′+36°25′=°′.

【答案】7913

【解析】

试题分析：

度分秒的加法计算，度分秒分别相加，然后进位得到最终结果。

42°48′+36°25′=78°73′=79°13′

故答案为79,13。

考点：

度分秒的计算。

12．计算5400″=°．

【答案】1.5

【解析】

试题分析：

秒除以3600，即可化为度。

5400″=5400÷3600=1.5°

故答案为1.5。

考点：

度分秒的转化。

13．角度换算：

45.18度=度分秒．

【答案】451048

【解析】

试题分析：

角度从10进制转化为60进制。

将度的小数部分乘以60得到分，将分的小数部分乘以60得到秒。

∵0.18°×60=10.8′

0.8′×60=48″

∴45.18°=45°10′48″

故答案为45，10，48。

考点：

度分秒的转化。

14．如图所示，∠AOB=90°，OE，OC分别是∠AOD，∠DOB的平分线，则∠EOC=°．

【答案】45°

【解析】

试题分析：

根据相关角度的数量关系，确定∠EOC的等量关系。

∠EOC=∠EOD+∠COD

=

∠AOD+

∠BOD

=

∠AOB

=45°

故答案为45°。

考点：

角平分线、角度的计算。

15．钟表时间是2时15分时，时针与分针的夹角是．

【答案】22.5°

【解析】

试题分析：

钟表盘面有12个大格，每个大格有5个小格，一大格30°，一小格6°。

∵时钟指示2时15分时，分针指到3，时针指到2与3之间，

时针从2到这个位置经过了15分钟，时针每分钟转0.5°，因而转过7.5°，

∴时针和分针所成的锐角是30°-7.5°=22.5°．

故答案为：

22.5°。

考点：

角度的计算。

16．已知在平面内，∠AOB=60°，OD是∠AOB的角平分线，∠BOC=20°，则∠COD的度数是。

【答案】10°或50°