小学数学奥数精讲-第一讲-速算与巧算.doc

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小学奥数寒假练习（三年级）导专家

第1讲速算与巧算

在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。

加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。

这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。

一、先讲加法的巧算，加法具有以下两个运算律：

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

即：

a+b=b+a

其中，a,b各表示任意数字。

例如，5+6=6+5

一般地，多个数相加，任意改变相加的顺序，其和不变。

例如，

a+b+c+d=d+b+c+a=…

其中，a,b,c,d各表示任意一数。

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。

即：

a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）

其中，a,b,c,各表示任意一数。

例如：

4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）

一般地，多个数相加，可先对其中几个数相加，再与其他数相加。

把加法交换律和加法结合律综合起来运用，就得到加法的一些巧算方法。

1、凑整法。

先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其他的数相加。

例1：

计算

（1）23+54+18+47+82

（2）1350+49+68+51+32+1650

2、借数凑整法

有些题目直观上凑数不明显，这时可“借数”凑整。

例如，计算976+85，可在85中借出24，即把85拆分成24+61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。

例2：

计算

（1）57+64+238+46

（2）4993+3996+5997+848

二、减法和加减法混合运算的巧算。

加、减法有如下一些重要性质：

1、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。

例如：

a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b

2、在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变，如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。

例如：

a+（b-c）=a+b-c

a-（b+c）=a-b-c

a-（b-c）=a-b+c

3、在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数原来的运算符号不变，如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”，“-”变为“+”。

例如：

a+b-c=a+（b-c）

a-b+c=a-（b+c）

a-b-c=a-（b+c）

灵活运用这些性质，可得减法或加、减混合运算的一些简便方法。

三、分组凑整法

例3计算

（1）875-364-236

（2）1847-1928+628-136-64

（3）1348-234-76+2234-48-24

例4计算

（1）512-382

（2）6854-876-97

（3）397-146+288-339

四、加法中的巧算

1.什么叫“补数”？

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

　　如：

1+9=10，3+7=10，　　2+8=10，4+6=10，　　5+5=10。

　　又如：

11+89=100，33＋67=100，　　22+78=100，44+56=100，　　55+45=100，

　　在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

　　如：

87655→12345，46802→53198，　　87362→12638，…

　　下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

2.互补数先加。

例1巧算下面各题：

①36+87+64

②99+136＋101

　　③1361＋972＋639＋28

　　解：

①式=（36＋64）＋87

　　=100＋87=187

　　②式=（99＋101）＋136

　　=200+136=336

　　③式=（1361＋639）＋（972＋28）

　　=2000+1000=3000

　　3.拆出补数来先加。

例2①188＋873

②548＋996

③9898＋203

　　解：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）

　　＝200+861=1061

　　②式=（548-4）＋（996＋4）

　　=544+1000=1544

　　③式=（9898＋102）＋（203-102）

　　=10000+101=10101

　　4.竖式运算中互补数先加。

　　如：

五、减法中的巧算

　　1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

　　例3①300-73-27

　　②1000-90-80-20-10

　　解：

①式=300-（73＋27）

　　=300-100=200

　　②式=1000-（90＋80＋20＋10）

　　=1000-200=800

　　2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

　　例4①4723-（723＋189）

　　②2356-159-256

　　解：

①式=4723-723-189

　　=4000-189=3811

　　②式=2356-256-159

　　=2100-159

　　=1941

　　3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

　　例5①506-397

　　②323-189

　　③467＋997

　　④987-178-222-390

　　解：

①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）

　　=109

　　②式=323-200+11（把多减的11再加上）

　　=123+11＝134

　　③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）

　　＝1464

　　④式=987-（178＋222）-390

　　＝987-400-400+10=197

六、加减混合式的巧算

　　1.去括号和添括号的法则

在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：

　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d

　　a-（b-c）＝a-b+c

例6①100＋（10＋20＋30）

　　②100-（10＋20+3O）

　　③100-（30-10）

　　解：

①式=100＋10＋20＋30

　　=160

　　②式=100-10-20-30

　　=40

　　③式=100-30＋10

　　＝80

例7计算下面各题：

　　①100＋10＋20＋30

　　②100-10-20-30

　　③100-30＋10

　　解：

①式=100＋（10+20+30）

　　=100＋60=160

　　②式=100-（10＋20+30）

　　＝100-60=40

　　③式=100-（30-10）

　　=100-20=80

　　2.带符号“搬家”

例8计算325＋46-125＋54

　　解：

原式=325-125＋46+54

　　＝（325-125）+（46＋54）

　　=200+100＝300

　　注意：

每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

　　3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉

例9计算9+2-9＋3

　　解：

原式=9-9＋2+3=5

　　4.找“基准数”法

　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例10计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

　　＝640

　七、乘法中的巧算

1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

5×2=10　　25×4=100　　125×8=1000

例1计算①123×4×25

　　②125×2×8×25×5×4

　　解：

①式=123×（4×25）

　　=123×100＝12300

　　②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）

　　=1000×100×10=1000000

2.分解因数，凑整先乘。

　　例2计算①24×25

　　②56×125

　　③125×5×32×5

　　解：

①式=6×（4×25）

　　=6×100=600

　　②式=7×8×125=7×（8×125）

　　=7×1000=7000

　　③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）

=1000×100=100000

　　3.应用乘法分配律。

例3计算①175×34＋175×66

　　②67×12+67×35＋67×52+6

　　解：

①式=175×（34+66）

　　=175×100=17500

　　②式=67×（12＋35＋52＋1）

　　＝67×100＝6700

　　（原式中最后一项67可看成67×1）

　　例4计算①123×101②123×99

　　解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123

　　＝12300＋123=12423

　　②式=123×（100-1）

=12300-123=12177

　　4.几种特殊因数的巧算。

例5一个数×10，数后添0；

　　一个数×100，数后添00；

　　一个数×1000，数后添000；

　　以此类推。

　　如：

15×10=150

　　15×100=1500

　　15×1000＝15000

例6一个数×9，数后添0，再减此数；

　　一个数×99，数后添00，再减此数；

　　一个数×999，数后添000，再减此数；…

　　以此类推。

　　如：

12×9＝120-12＝108

　　12×99＝1200－12＝1188

　　12×999＝12000-12=11988

例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

　　如：

6×5＝30

　　16×5＝80

　　116×5=580。

例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

　　如2222×11＝24442

例9一个偶数乘以15，“加半添0”.

　　24×15

　　＝（24+12）×10

　　＝360

　　因为

　　24×15

　　＝24×（10+5）

　　＝24×（10＋10÷2）

　　=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

　　＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）

　　＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

　　25×25=2×（2+1）×100+25=625

　　35×35=3×（3+1）×100+25=1225

　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025

　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025

　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225

　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　八、除法及乘除混合运算中的巧算

1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11计算①110÷5②3300÷25

　　③44000÷125

　　解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）

　　＝220÷10=22

　　②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）

　　＝13200÷100＝132

　　③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）

　　＝352000÷1000＝352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54

　　＝864÷54×27

　　=16×27

　　=432

3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5

　　③2090÷24-482÷24

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

　　=18÷9＝2

　　②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

　　＝15÷5=3

　　③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

　　＝1608÷24＝67

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　＝（187-63-52）÷12

＝72÷12=6

4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

　　a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷（28÷6）

　　④372÷162×54

　　⑤2997×729÷（81×81）

　　解：

①1320×500÷250＝1320×（500÷250）

　　=1320×2＝2640

　　②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）

　　＝4000÷1000＝4

　　③5600÷（28÷6）=5600÷28×6

　　=200×6=1200

　　④372÷162×54=372÷（162÷54）

　　＝372÷3＝124

　　⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81

　　＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9

＝333

要求：

1.掌握用“凑整”的方法进行简单的计算

2.根据减法的性质，简化运算。

1.几个数相加，利用移位凑整的方法，将加数中能凑成整十，整百，整千等的数交换顺序，先进行凑整，然后再与其他一些加数相加，得出结果。

2.在加减混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算。

3.几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是整十，整百等的数为“基准数”。

再把大于基准数的数写成基准数与一个数的和，小于基准数的数写成基准数与一个数的差，将加法改为乘法计算。

4.几个数相加减时，如果不能直接“凑整”，就可以利用加整减零，减整加零或变更被减数。

）

例题1计算

（1）3326+303

（2）574+498

方法一：

先看做整十，整百，整千的数进行计算。

（1）3326+303

（2）574+498

=3326+300+3=574+500-2

=3626+3=1074-2

=3629=1072

方法二：

根据“和”的变化规律：

一个加数增加多少，另一个加数就减少多少，那么和不变，来进行简算。

（1）3326+303

（2）574+498

=（3326+3）+（303-3）=（574-2）+（498+2）

=3329+300=572+500

=3629=1072

特别注意：

在计算时，将接近整十，整百，整千的数看成整十，整百，整千的数进行计算，然后根据和不变的规律，多加的要减掉，少加的要补上。

例题2计算487+321+113+479

方法：

487和113，321和479分别可以凑成整百数。

我们可以通过交换位置的方法，487+113得600，321+479得800.

487+321+113+479

=（487+113）+（321+479）

=600+800=1400

特别注意：

这道题要运用凑整的思路，将487和113，321和479分别凑成整百数，便于计算。

注意：

先算的要加括号。

例题3计算9998+998+98+8

方法：

本题可采用凑整的方法，将9998，998，98分别凑成10000，1000，100.而凑成这些数可从8里面借用。

9998+998+98+8

=（9998+2）+（998+2）+（98+2）+2

=__________________________（接下来你们来试一下）

=————————————

特别注意:

对于接近整百，整千的数，应先将其凑成整数，然后再将多加的数从后面去掉。

例题4计算674+367-174

方法：

根据带符号“搬家”的规则，把能凑整的数先进行计算。

674+367-174

=674-174+367

=500+367

=867

特别注意：

为了凑数，有时需要带符号“搬家”，这样会使计算简便。

#待定例题5计算874-（379+274）+579

方法：

在做这道题时，可以先将874-（379+274）改写成连减的形式，即874-379-274。

然后根据带符号“搬家”的规则，先算能凑整的数。

874-（379+274）+579

=（改成连减的形式）

=（带符号“搬家”，先算能凑整的数）

=

特别注意：

通常情况下，根据减法的性质，可以把减去两个数的和改写成连减的形式，再把能凑整的数先进行计算。

速算与巧算小结

知识点重点难点

1.加法的简便运算.

（1）A+B=B+A;

（2）（A+B）+C=A+（B+C）;

2.减法的简便运算.

（1）A-B-C=A-（B+C）;

（2）A-B+C=A-（B-C）.

加减法同级运算，括号外面是减号的，添上或去掉括号，括号里的符号：

加号要变成减号、减号要变成加号。

当所有括号都去掉后，可以将数与前面的符号一起移动，第一个数前面为加号。

3.乘法的简便运算。

（1）A×B=B×A;

（2）A×B×C=A×B×C;

（3）（A±B）×C=A×C±B×C;

4.除法的简便运算.

（1）A÷B÷C=A÷（B×C）;

（2）A÷B×C=A÷（B÷C）;

（3）A÷B=（A×C）÷（B×C）

乘除法同级运算，括号外面是除号的，添上或去掉括号，括号里的符号：

乘号要变成除号、除号要变成乘号。

当所有括号都去掉后,可以将数与前面的符号一起移动，第一个数前面为乘号。

例题精讲

例125+53+75+78+47=?

例291+90+88+92+93+84+85+95+97=?

例39999+4+97+998+95+7=?

例41200-856-144=?

例57869-（234+869）=?

例61943-（132-57）=?

例7459+78-259+22=?

例8936+（296-636）-596=?

例93333330000-5769=?

例101-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?

例11（125×78）×8=?

例12（125+78）×8=?

例13250×64×125×9=?

例14950÷25=?

例158442÷（21×67）=?

例167600÷（38÷25）=?

例17291÷50+9÷50=?

例18999×222+333×334=?

例19765×963963-765765×963=?

例202239+239×999=?

例21760÷（38÷125）×80=?

例22（2001+2000×2002）÷（2001×2002-1）=?

例23（1234+2341+3421+4123）÷5=?

例题精讲（答案）

例125+53+75+78+47=?

解原式=（25+75）+（53+47）+78=100+100+78=278

例291+90+88+92+93+84+85+95+97=?

解原式=90×9+（1+0-2+2+3-6-5+5+7）=810+5=815

例39999+4+97+998+95+7=?

解原式=（9999+1）+（97+3）+（998+2）+（95+5）=10000+100+1000+100=11200

例41200-856-144=?

解原式=1200-（856+144）=1200-1000=200

例57869-（234+869）=?

解原式=7869-234-869=7869-869-234=7000-234=6766

例61943-（132-57）=?

解原式=1943-132+57=1943+57-132=2000-132=1868

例7459+78-259+22=?

解原式=（459-2590）+（78+22）=200+100=300

例8936+（296-636）-596=?

解原式=936+296-636-596=936-636-596+296=（936-636）-（596-296）=300