数学建模鱼群竞争Word下载.docx
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二、模型假设……………………………………………………………………（3）
三、符号说明……………………………………………………………………（4）
四、模型建立与分析求解………………………………………………………（4）
4.1问题1模型的建立与分析……………………………………………（4）
4.2问题2模型的建立与分析……………………………………………（6）
4.3问题3模型的建立与分析……………………………………………（7）
五、结果分析……………………………………………………………………（10）
六、模型评价与改进……………………………………………………………（11）
七、参考文献……………………………………………………………………（11）
八、附录…………………………………………………………………………（11）
8.1问题1的程序代码……………………………………………………（11）
8.2问题2的程序代码……………………………………………………（12）
8.3问题3的程序代码……………………………………………………（12）
一问题重述
捕鱼与人类的生活品质，社会经济的发展以及人与自然的和谐发展息息相关。
某水域中生活着两种鱼类，它们的数量分别记为x（t）和y（t），内禀增长率分别为r1、r2，最大容纳数量为N1、N2。
它们的增长速率除了受自身条件的限制外，还与鱼类之间的竞争和人类的捕捞相关。
竞争减少的增长率与两种鱼类数量的乘积成正比，比例系数分别为q1、q2。
由于人类的捕捞使得鱼减少的增长率与鱼的数量成正比（比例系数为分别为k1、k2）。
作出一些简化假设，用微分方程模型描述这种捕捞方式下鱼群数量的变化过程。
根据两种鱼群的数量变化过程，结合当前形式，考虑社会经济的发展效益和协调发展，通过捕捞方式的改变，达到最终目的。
1、假设水域中两种鱼类的数据如下：
x（0）=1500，y（0）=800，r1=20，r2=30，N1=2500，N2=1000，q1=0.03，q2=0.015。
捕鱼的数据如下：
k1=0.0001，k2=0.0003。
用以上数据编程计算，画出两种鱼类的数量随时间变化的图形和两种鱼类数量的相轨线，用图形分析两种鱼类的数量随时间的变化趋势。
2、假设鱼类的数据和问题1相同，捕鱼用如下的数据：
k1=0.0002，k2=0.0006。
编程计算，并画出两种鱼类的数量随时间变化的图形和两种鱼类数量的相轨线，用图形分析两种鱼类数量随时间的变化趋势。
3、试分析如何改变捕鱼方式，既能提高经济效益，又使得人与自然能够和谐发展。
二模型假设
1、该水域为非开放式的，且不与其他水域发生关系（即鱼群之间不发生大规模迁徙），从而构成一个独立的生态部落；
2、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以认为鱼群的总量变化是随时间连续的；
3、持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的情况；
4、假设同种鱼群个体之间是同质的，只考虑平均水平，不考虑个体差异；
5、假设连续捕获是各年龄的鱼群数量呈周期性变化，可以只考虑鱼群数量在短期内的变化情况；
6、捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。
三符号说明
：
甲种鱼类随时间变化的增长率；
乙种鱼类随时间变化的增长率；
甲种鱼类满足Logistic模型的自然增长率；
乙种鱼类满足Logistic模型的自然增长率；
由题意可得的甲种鱼类的竞争减少的增长率；
由题意可得的乙种鱼类的竞争减少的增长率；
由题意可得的甲种鱼类因人类捕捞减少的增长率；
由题意可得的乙种鱼类因人类捕捞减少的增长率；
在
时刻
龄鱼条数，
；
4龄鱼捕捞强度系数；
每年产卵量；
每年初
龄鱼的数量，
四模型建立与分析求解
4.1问题一模型的建立与分析：
1、问题分析：
根据题意可知，在满足假设的条件下，影响两种鱼群数量的因素有同种鱼群的种类竞争（在内禀增长率之下的数量）、两种鱼群的种间竞争和人类的捕捞，综合以上三种因素，本文以微分方程的方法建立了类似Logistic模型的数学模型。
鱼类的增长率由自然增长率、竞争减少的增长率、由于人类捕捞减少的增长率共同组成。
2、建立模型：
3、编程计算：
Matlab编程计算可得
和
关于
的图像及
与
的相轨线
如图所示：
（其中比例系数
）
4、结果分析：
①由甲乙两类鱼的数量变化曲线可以看到，甲种鱼群数量的初始值为1500，乙种鱼群数量的初始值为800；
②由于甲乙两鱼群的相互竞争以及人类的捕捞，甲鱼群的数量在持续减少，乙鱼群在减少约0.05个时间单位后增长；
③在约0.18时间单位时，甲乙两鱼群的数量相等，达到平衡点。
④平衡点后甲鱼群数量仍旧减少，直至约0.7个时间单位后减少为零；
乙鱼群在约0.05个时间单位后增长，经过平衡点后，仍旧增长，直至增长到最大容纳数量1000后稳定；
⑤生态学中有一个竞争排斥原理：
若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡；
⑥由相轨线可以看到，随着甲种鱼群数量的增加乙种鱼群的数量一直在减少，直至甲种鱼群的数量从0增加到800时，乙种鱼群的数量由1000减少至约550，而后随着甲种鱼群数量继续增加，乙种鱼群的数量开始增加，当甲种鱼群数量为1500时，乙种鱼群数量达到800。
从而可以得到，当甲种鱼群数量在约[0,550]，甲种鱼群数量的增长会抑制乙种鱼群数量，当甲种鱼群数量大于550，甲乙两鱼群会同时增加。
4.2问题二模型的建立与分析：
1、问题分析：
此问题的模型与问题一的模型相同，只是改变了人类捕捞系数的大小。
重复问题一的解题步骤，做出新的图象。
2、编程计算：
3、结果分析：
改变人类捕捞系数后，与问题一相比，甲乙两鱼群的数量变化以及相轨线的变化均不明显。
可以得出在此种模型下，由于人类捕捞减少的增长率对鱼群的增长率的影响非常小。
但也有可能是因为系数过小，并且改变的范围过小，仍旧会没有什么明显的变化。
4.3问题三模型的建立与分析：
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
我们假设把两种鱼看做一个整体，鱼群之间的竞争为内部竞争，因竞争造成的死亡看作是自然死亡，捕鱼的经济效益与所捕鱼的总产量相关，与鱼的种类无关。
考虑鱼群的最优捕捞方式：
我们把这两种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均质量分别为20.50、130.55、517.86、1022.99（g），各年龄组的自然死亡率为0.7（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.309×
105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22×
105/（1.22×
105+n）。
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨设为捕捞强度系数，只捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42：
1。
①死亡率
我们给出鱼的自然死亡率为0.7（1/年），理解为平均死亡率，这是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设可知，它是一个与环境等其他因素无关的常数。
鱼群的数量是连续变化的，且1龄鱼、2龄鱼在全年及3龄鱼、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关，各龄鱼的数量满足
，t∈[0，1]（i=1，2）
，t∈[2/3，1]（i=3，4）
②捕捞强度系数
单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，比例系数即为捕捞强度k，它是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3龄鱼，4龄鱼。
所以，一方面捕捞强度系数决定了3龄鱼、4龄鱼在捕捞期内的数量，其变化规律为
，t∈[0，2/3]
另一方面也决定了t时刻捕捞3龄鱼、4龄鱼，其数量分别为
和
。
③成活率
由于只有3龄鱼、4龄鱼在每年8月底一次产卵，因此可将每年的产卵量n表示为
问题分析中已经说明成活率为
，所以每年年初的1龄鱼的数量为
模型如下：
s.t
，t∈[0，1]
，t∈[0，1]
，t∈[2/3,1]
用Matlab编程可得如下数据和图像：
看到k=17.99995188885500,total=1.398478407687244e+007；
由数据可以得到：
当4龄鱼捕捞强度系数为k=17.99995188885500时，3龄鱼的捕捞强度系数为0.42k时，最高年收获量为totalT=1.398478407687244e+007（g）。
由捕捞强度——总收获量曲线图可以得到：
随着捕捞强度系数小于k时，随着捕捞强度系数的增加，收获量也会随之增加；
当捕捞强度系数达到上述k值时，收获量达到最大；
捕捞强度系数大于k值时，收获量呈下降趋势，即为收获量会减少。
可以看到，并不是捕捞强度系数越大，收获量就会越高。
五结果分析
通过对上述三个问题的分析、建模、结果分析，得到了同一水域下，两种鱼群在有相互竞争和人类捕捞的情况下的增长率的变化方程，利用matlab编程计算得到两种鱼群数量的变化情况。
并且画出两种鱼群的相轨线，分析其内部的关系。
通过改变人类捕捞系数，研究人类捕捞系数对鱼群数量变化的影响。
得到：
由于甲乙两鱼群的相互竞争以及人类的捕捞，甲鱼群的数量在持续减少，乙鱼群在减少约0.05个时间单位后增长；
在约0.18时间单位时，甲乙两鱼群的数量相等，达到平衡点；
平衡点后甲鱼群数量仍旧减少，直至约0.7个时间单位后减少为零；
乙鱼群在约0.05个时间单位后增长，经过平衡点后，仍旧增长，直至增长到最大容纳数量1000后稳定。
生态学中有一个竞争排斥原理：
若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡。
由相轨线可以看到，随着甲种鱼群数量的增加乙种鱼群的数量一直在减少，直至甲种鱼群的数量从0增加到800时，乙种鱼群的数量由1000减少至约550，而后随着甲种鱼群数量继续增加，乙种鱼群的数量开始增加，当甲种鱼群数量为1500时，乙种鱼群数量达到800。
改变人类捕捞系数后，甲乙两鱼群的数量变化以及相轨线的变化均不明显。
我们把原因归结为是捕捞系数太小，并且变化的范围也非常小，所以没有导致很明显的数量变化。
当4龄鱼捕捞强度系数为k=17.99995188885500时，3龄鱼的捕捞强度系数为0.42k时，最高年收获量为totalT=1.398478407687244e+007（g）。
随着捕捞强度系数小于k时，随着捕捞强度系数的增加，收获量也会随之增加；
自然界有自己的恢复能力，但是也不允许人类贪心的捕捞，过分捕捞，不仅不会致使利益最大，还会造成生态失衡。
六模型评价
本文研究了两个种群所构成的竞争系统的捕获优化问题，讨论了两个种群的数量的变化情况。
通过建立数学模型并用计算机编程画图，很好的解释了两种群数量的变化趋势，比较符合现实情况。
但是由模型计算可知，通过微小的改变捕鱼的捕捞系数，对种群数量的变化趋势几乎没有影响；
但是也存在可能是模型建立的有些问题，所以才使人类捕捞系数的微小变化对种群数量的变化没有影响。
这是有待改进的地方。
从问题三可知为了提高经济效益，适当的改变捕捞方式，大胆地猜想并建立模型，通过合理的假设，和现实的数据进行运算建立模型，并运用Matlab数学软件得出最优捕获系数和最大产量值，得出的数据符合现实现象，合理的指出了最佳捕鱼方式。
七参考文献
[1]张琨毕靖丛滨，《MATLAB7.6从入门到精髓》，电子工业出版社，TP391.75/58:
第四章。
数据可视化及数据保存
[2]严喜祖宋中民毕春加，《数学建模及其实验》，科学出版社，O141.4/45:
第六章。
微分方程模型
[3]姜启源谢金星叶俊，《数学模型》，高等教育出版社，第六章。
稳定性模型
[4]李志林，欧宜贵，《数学建模及其典型案例分析》，北京：
化学工业出版社，2006.12
[5]卢金荣，《提高鲤鱼苗成活率的经验》，中国水产，1982.04。
八附录
附录1：
问题一编程代码：
文件中输入：
functiondz=myfun1（t,z）
globalr1r2n1n2q1q2k1k2
x=z
（1）;
y=z
（2）;
dz
（1）=r1*x*（1-x/n1）-q1*x.*y-k1*x;
dz
（2）=r2*y*（1-y/n2）-q2*x.*y-k2*y;
dz=[dz
（1）;
dz
（2）];
控制窗口输入：
r1=20;
r2=30;
n1=2500;
n2=1000;
q1=0.03;
q2=0.015;
k1=0.0001;
k2=0.0003;
t1=0;
t2=1;
x0=1500;
y0=800;
[t,z]=ode45（@myfun1,[t1,t2],[x0,y0]）;
subplot（2,1,1）;
plot（t,z（:
1）,t,z（:
2））;
title（'
x,y关于t的函数图象'
）;
subplot（2,1,2）;
plot（z（:
1）,z（:
x,y的相图'
附录2：
M文件中输入：
dz
（2）]
k1=0.0002;
k2=0.0006;
附录3
计算机程序模拟实验程序：
先建立两个M-file。
%[buyu.m]最优捕鱼策略问题
functiony=buyu（x）
globala1a2a3a4totalk;
symska1;
x1=dsolve（'
Dx1=-0.7*x1'
'
x1（0）=a1'
t=1;
a2=subs（x1）;
x2=dsolve（'
Dx2=-0.7*x2'
x2（0）=a2'
a3=subs（x2）;
x31=dsolve（'
Dx31=-（0.7+0.42*k）*x31'
x31（0）=a3'
t=2/3;
a31=subs（x31）;
x32=dsolve（'
Dx32=-0.7*x32'
x32（2/3）=a31'
a4=subs（x32）;
x41=dsolve（'
Dx41=-（0.7+k）*x41'
x41（0）=a4'
a41=subs（x41）;
x42=dsolve（'
Dx42=-0.7*x42'
x42（2/3）=a41'
nn=1.309*10^5*（0.5*a31+a41）;
eq1=a1-nn*1.22*10^11/（1.22*10^11+nn）;
S=solve（eq1,a1）;
a1=S
（2）;
symst;
t3=subs（subs（int（0.42*k*x31,t,0,2/3）））;
t4=subs（subs（int（k*a41,t,0,2/3）））;
total=517.86*t3+1022.99*t4;
k=x;
y=subs（-total）;
%[buyu1.m]最优捕鱼策略问题
globala1a2a3a4total;
[k,mtotal]=fminbnd（'
buyu'
16,18）;
ezplot（total,0,25）
xlabel（'
捕捞强度系数'
ylabel（'
总收获量（g）'
捕捞强度——总收获量曲线图'
formatlong;
k
total=-mtotal
formatshort
clear
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