高考数学第7章 立体几何 第2讲空间几何体的表面积和体积.docx

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高考数学第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积

第2讲　空间几何体的表面积和体积

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

考点2　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

考点3　柱、锥、台和球的表面积和体积

[必会结论]

1．与体积有关的几个结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.（　　）

（2）设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.（　　）

（3）若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.（　　）

（4）将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2.[2018·长春模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）

A.B．64

C.D.

答案　D

解析　由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为×4×4×4＝.故选D.

3.[2018·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．12＋4

B．18＋8

C．28

D．20＋8

答案　D

解析　由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8.故选D.

4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（　　）

A．2B．4＋2

C．4＋4D．6＋4

答案　C

解析　由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为，棱柱的高为2，所以其侧面积S＝2×2＋2×2＝4＋4.故选C.

5．[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．

答案　14π

解析　∵长方体的顶点都在球O的球面上，

∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．

设球的半径为R，

则2R＝＝.

∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.

6．[2017·山东高考]由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．

答案　2＋　

解析　该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，

∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.

板块二　典例探究·考向突破

考向

　几何体的表面积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　

（1）[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中

正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　　）

A．10　B．12　C．14　D．16

答案　B

解析　观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××（2＋4）×2＝12.故选B.

（2）[2016·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A.20πB．24πC．28πD．32π

答案　C

解析　由三视图可得圆锥的母线长为＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.

触类旁通

空间几何体表面积的求法

（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

【变式训练1】　[2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　）

A.1＋B．1＋2C．2＋D．2

答案　C

解析　由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋.故选C.

考向

　几何体的体积

命题角度1　补形法求体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　[2017·全国卷Ⅱ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

A．90πB．63πC．42πD．36π

答案　B

解析　（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．

将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.

命题角度2　分割法求体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　[2018·山西五校联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：

积几何？

”其意思为：

“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？

”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（　　）

A．5000立方尺B．5500立方尺

C．6000立方尺D．6500立方尺

答案　A

解析　该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.

命题角度3　转化法求体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

答案　

解析　三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－DD1E＝××1＝.

触类旁通

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

考向

　与球有关的切、接问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例5　[2018·沈阳模拟]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（　　）

A.B．2C.D．3

答案　C

解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.故选C.

　本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方

体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.

又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，

从而V外接球＝πR3＝π×

（2）3＝32π，

V内切球＝πr3＝π×23＝.

　本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

解　正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.

　本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边

长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？

解　依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

触类旁通

“切”“接”问题的处理规律

（1）“切”的处理

解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．截面过球心．

（2）“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

【变式训练2】　

（1）[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．πB.C.D.

答案　B

解析　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，

由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，

r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．

∴r＝＝.

∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.

（2）[2018·湖北七市联考]一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（　　）

A．36πB.C．32πD．28π

答案　B

解析　根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为×2＝，∴外接球的半径为R＝＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.故选B.

核心规律

1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积．

2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高．

满分策略

1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算．

2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求．

3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法.

板块三　启智培优·破译高考

题型技法系列10——破解切割棱柱体的三视图问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[2018·河南质检]如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A.6B．9C．12D．1

解题视点　根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公式破解．

解析　该几何体是一个直三棱柱截去所得，如图所示，其体积为××3×4×2＝9.故选B.

答案　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答题启示　从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.

跟踪训练

将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.B.C.D．6

答案　A

解析　由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成．V＝2×2×2－××2×2×1＝.故选A.

板块四　模拟演练·提能增分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[A级　基础达标]

1.[2018·南昌模拟]如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为（　　）

A．1∶1B．2∶1

C．2∶3D．3∶2

答案　A

解析　根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A.

2．《九章算术》商功章有题：

一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面圆周长约为（　　）

A．1丈3尺B．5丈4尺

C．9丈2尺D．48丈6尺

答案　B

解析　设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B.

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V＝×1×1×1＝.故选D.

4．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．4πB．8πC．12πD．16π

答案　B

解析　由正弦定理得＝2r（其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径），∴r＝1，∴外接球的半径R＝＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝8π.故选B.

5．[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

A.60B．30C．20D．10

答案　D

解析　由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝××3×5×4＝10.故选D.

6．[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　　）

A.＋B.＋C.＋D.＋

答案　C

解析　由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA＝OB＝1，AB＝.

又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BD，PB⊥AB，

∴PD＝＝，PA＝＝，

从而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，

∴该几何体的侧面积S＝2×××1＋2×××＝＋.故选C.

7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）

A.207B．216－

C．216－36πD．216－18π

答案　B

解析　由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的圆锥．其体积V＝63－××π×32×6＝216－.故选B.

8.[2017·江苏高考]如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

答案　

解析　设球O的半径为R，

∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，

∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.

∴＝＝.

9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．

答案　2（π＋）

解析　由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：

底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2（π＋）．

10．[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．

答案　

解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为×4×4×8－××4×4×4＝64－＝.

[B级　知能提升]

1．[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P－ABC剩下的部分（如图所示），所以此几何体的体积为2×2×2－××1×2×2＝.故选D.

2．[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）

A．2＋B．4＋

C．2＋2D．5

答案　C

解析　由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥（SA⊥平面ABC），如图，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝×2×2＝2，S△SAC＝××1＝，S△SAB＝××1＝，S△SBC＝×2×＝，所以S表面积＝2＋2.故选C.

3．[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

答案　36π

解析　如图，连接OA，OB.

由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.

由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.

设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，

∴三棱锥S－ABC的体积

V＝×·OA＝，

即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.

4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．

解　解法一：

如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．

则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．

由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.

四棱锥D－MNEF的体积为：

V2＝×S梯形MNEF×DN

＝××（1＋2）×6×8＝24，

则几何体的体积为：

V＝V1＋V2＝72＋24＝96.

解法二：

用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.

5．[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．

解　如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，

又A′B′＝20cm，AB＝30cm，

所以S侧＝3××（20＋30）×DD′＝75DD′.

S上＋S下＝×（202＋302）＝325（cm2）．

由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，

所以DD′＝cm，

又因为O′D′＝×20＝（cm），

OD＝×30＝5（cm），

所以棱台的高h＝O′O

＝

＝＝4（cm），

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

V＝（S上＋S下＋）

＝×

＝1900（cm3）．

故棱台的体积为1900cm3.