届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学理试题解析版.docx
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届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学理试题解析版
2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题
一、单选题
1.已知集合A={0,1},B={0,1,2}，则满足AUC=B的集合C的个数为（）
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，
得到答案•
【详解】
由ACB可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有
2,2,0,2,1,2,0,1,共4种情况，所以选A项.
【点睛】考查集合并集运算，属于简单题2•已知i为虚数单位，复数z2i9，则z（）
1i
A.23.5
C.5
D.25
【答案】C
【解析】对z进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到Z
【详解】
对复数z进行化简
z2i
93i93i1i
=2i34i
1i2
所以z
J32425
【点睛】
考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题
11n
3.已知平面向量a,b的夹角为一，且a
3
5n
2n
A.—
B.一
6
3
【答案】D
【解析】先计算
rr2ab
2込，再计算
n
c.—
n
D.一
6
3
rr
r
2ab
b
6，根据夹角公式得到答案
1,b2，则2ab与b的夹角是（
【详解】
设2a
b与b的夹角是
，由题设有2a
r
r
r
rr
r2
r
.r
2a
b
b
2a
b
b
2
a
lb
ncos-
3
r2b
所以cos
2abb
2abb
6
2、32
，所以
r2
4a
4；bcosnb2243
3
7t
故选：
D
【点睛】
考查运算求解能力，应用意
本小题考查平面向量的基本运算，向量的夹角等基础知识;
识，本小题也可利用向量的几何意义求解.
4•空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应
如下表所示:
AQI
0〜50
51〜100
101〜150
151〜200
201〜300
300以上
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图.
根据统计图判断，下列结论正确的是（）
A.整体上看，这个月的空气质量越来越差
B.整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C.从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差
D.从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
【答案】C
【解析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果•
【详解】
从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A,B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；
从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月
平均值，故D不正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型
6
5.x_2_的展开式中，常数项为
x
A.60B.15
C.15D.60
【答案】D
【解析】写出二项式展开通项，整理后令X的指数为0，得到相应的项数，然后算出常
数项•
【详解】
X
2
X
6
的展开式的通项为T1
r1
C；x6r
r
2
X
2rC；x63r,
令6
3r
0,得到r=2
所以
X
6
2
4展开式中常数项为
X
22C|
60，故选
D项.
【点睛】
对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题
2
6.若数列an的前n项和为Sn,且a,1,a22,Sn1Sn21Sn,1，则
Sn（）
B.2n1
C.2n1D.2n11
nn1
A.
【答案】C
【解析】
对已知Sn1Sn21
Sn1
bnbn2
2
bn1，即
bn为等比数列，
利用
而可求得
bn的通项，
得到Sn的通项
【详解】
QSn1
Sn21
2
Sn11，
令bnSn1
2
1，进行化简，令bn51，可得
ai1,a22可计算出bn的首项和公比，从
bnbn2b：
!
，可得0为等比数列，设其公比为Q
b31印12,dS21a!
a214
b2n1n1n
q2，bnblq222
bi
Snbn12n1，故选C项.
【点睛】
本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题•
7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若X1,X2€R,则“x1+X2=0”是“f（X1）+f
（X2）=0”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】
'函数迤"是奇函数，
若，则=』则卜「一人f一心」即血1八血丿丸成立，即充分性成立,
若林：
少丸，满足是奇函数，当汽匚时
满足於八心材=4此时满足J“曲拶胡但爲•化=-■卩即必要性不成立,
故“h*0”是“血J+tg）的充分不必要条件,
所以A选项正确.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键
8.已知函数kx^=Asin^rnx-I-（p）（A>0,cn>0,Itpl<*）的部分图象如图所示，点（①冷）.g0）*（pC）在图象上，若xp叼胡¥），严：
，且氐丿=血』，则
A.3B.扌C.0D.弓
【答案】D
【解析】根据条件求出A,3和$的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可.
【详解】由条件知函数的周期满足T=2X（^”!
）=2X2n=4n,即週=4n,
33
则3,
由五点对应法得^3+$=0,即...■-$=0，得$
则f（x）=Asin（x）,
则f（0）—Asin（-》二扌A^£得A=3,
即f（x）=3sin（x）,
在
若:
勺七€（f.f）,h上士，且血丿=血丿,
则ki徨关于X=彳对称，
则眞"二』=2-~
则1匕r丿二f（罟）=3sin（卜学；）=3sin^=・3sin^=-J
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函
数的对称性是解决本题的关键.
9.若直线x-my+m=0与圆（x-1）2+y2=1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（）
A.（0,1）B.（0,2）C.（-1,0）D.（-2,0）
【答案】D
2c
【解析】圆X1y21都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则
在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到y1y2，令其小于0,可得
答案•
【详解】
圆与直线联立
x
2
1
y21
x
my
m0
整理得1m2
2
y
2m
m1ym22m0
Q图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即
2222
4mm14m2mm1
8m0
得m0.
Q圆x1y21都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标
的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限
y』2
m22m
1m2
0，解得2
故选D项.
【点睛】
本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题10.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为
A2,2,1,B2,2,1,C0,2,1,D0,0,1，则该四面体外接球的表面积是（）
A.16
B.12
C.4.3
D.6
【答案】B
【解析】在空间坐标系里画出A,B,C,D四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外
接球的半径，再求外接球的表面积
【详解】如图，在空间坐标系里画出A,B,C,D四个点，可得BAAC,DC面ABC,
因此可以把四面体DABC补成一个长方体，其外接球的半径
所以，外接球的表面积为4R212，故选B项.
本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进
行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题11•设P是抛物线C:
y24x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线I过Q且与OQ
（O为坐标原点）垂直，则P到I的距离的最小值的取值范围是（）
A.（0,1）B.（0,1]C.01D.（0,2]
【答案】A
【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为1,t,t0，得到直
线I的方程，再设与直线I平行的直线方程为xtym=0，与抛物线方程联立，由判别式为0,得到mt2，最后由点到直线的距离，即可得出结果•
【详解】
抛物线y24x上的准线方程是x1设点Q的坐标为1，t,t0.
则直线I的方程为xtyt210.
设与直线I平行的直线方程为xtym=0.代入抛物线方程可得y24ty4m0，
由n=16t216m0，可得mt2-
故与直线I平行且与抛物线相切的直线方程为*tyt20..
则P到I的距离的最小值d
1
故选A.
【点睛】
本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合
直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型
12.已知函数fxInxa1x22a.若不等式fx0的解集中整数的个
数为3，则a的取值范围是（）
A.1
In3,0b.
1ln3,2ln2
c.1
In3,1
In2d.0,1
In2
【答案】
C
【解析】
变换得到不等式
ax2ax
Inx
2，设
gx
xInx2
hx
ax2a，判断g
x的单调性和
hx
恒过点
2,0
，画出函数图像，
解得答案.
【详解】
由fx
0得ax2a
xInx2，
设g
xx
Inx
2，hxax
2a
由gx
1
1—，可知g
x在0,1上为减函数，在1,
上为增函数，h
x恒过点
2,0
画出gx与hx函数图象，如图所示：
h1
g1,a1,
不等式fx0的解集中含有二个整数，则
h3
g3,即a1In3,
h4
g4,2a22ln2,
解得1In3a1In2.
故选：
C
【点睛】
本小题考查函数与导数等基本知识.考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求
解等数学能力.
、填空题13•中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：
今有男子善走，日增等里，九日走
1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为
【答案】120
【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走
的里数，即数列的第三项•
【详解】
因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为an,
其公差为d，前n项和为Sn.
根据题意可知，S）1260,a!
a4a7390,
、小9a1a9
法一：
S9--9a51260,a5140
2
ar84a?
3a4390,34130,
da5a410,
a3a4d120.
98
S912609q——d1260
法二：
，2
a13d印6d390
120
aa4a7390_
a
a-i100
解得1所以a3a12d
d10
【点睛】
本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单
题.
14.根据下列算法语句，当输入x,y€R时，输出s的最大值为
1F‘>■（）ANDj—y>—0ANDTHEN
LLSE
ENRIF
【答案】2
【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题
【详解】
y0
由算法语句可知xy0，求xy的最大值，并与0比较
2xy3
画出可行域如图，VAOB为可行域，所求目标函数zxy，整理得yxz,为斜率为-1的一簇平行线，在A点时得到最大值.
解方程组
x
2x
y0，解得
y3
A点坐标1,1，所以xy的最大值为2.
且当
x0时,
2
xx3x，则不等式
fx22的解集为
【答案】1—,0
1,3
【解析】对f
分类，
找到f
2的解集，再求fx2
2的解集
x0时,
fx
2x
3x
5
①当0
x3时，f
x
2x
3x,
解fX
2，即
2x
3x
2得x
1或x
2,
0x
1或2x
3
②当x
3时，fx
2x
3x
解fx
2即x2
3x
2得—
x
3
【详解】
2
_J7
2
0时，fx
2解集为0
是R上的偶函数,
由对称性可知
x0时,
x2解集为
3-.17
2
解得-
2解集为
3-17
2
.17
2
2时,
317
2
17
2
【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，
属于难题•
16.设m,n为平面a外两条直线，其在平面a内的射影分别是两条直线mi和n1,给
出下列4个命题：
①m1//n?
m//n；②m//n?
m与m平行或重合；③m1丄n?
mi±n；
④m!
n?
m丄n1.其中所有假命题的序号是.
【答案】①②③④
【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果
【详解】
1两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故①错误，
2若mPn,则mi与⑴平行或重合或是两个点，故②错误.
3因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线
所成的角可以是锐角，故③错误.
4两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个
点等其他情况，故④错误.故假命题是①②③④，
故答案为①②③④
【点睛】
本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型
三、解答题
17•在△ABC中，角A,B,C的对边分别为
a,b,c，若sinA,sinB,sinC成等差数列,
且cosC.
3
K
1求一的值；
a
2若c11,求△ABC的面积.
【答案】
（1）一10；
（2）S30.2.
a9
【解析】【详解】
1因为sinA,sinB,sinC成等差数列，所以2sinB
sinAsinC,
由正弦定理得2bac,即c2ba.
1
又因为cosC—,根据余弦定理有:
3
cosC
222
abc
2ab
222
ab2bao3b12-
2ab2a3
所以一2.
a9
1
2因为c11,cosC-,根据余弦定理有:
3
221
a2b22ab?
—121,
3
由1知b詈a，所以a?
器2细罟吗⑵,
解得a281.
由cosC1得sinC
3
2,2
所以VABC的面积s^absinC
2
5a2sinC
9
5813^.2.
93
【点睛】
本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题.
18•某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A,B实验地分别用甲、乙
方法培训该品种花苗•为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进
行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80
及以上的花苗为优质花苗.
（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数.
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A,B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
（参考公式:
K2
2
nadbe
abedaebd
，其中n=abe
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
乙培育法
10
合计
附：
下面的临界值表仅供参考.
2
PKk。
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）a=0.040,中位数82.5;
（2）见解析；（3）有90%的把握认为优质花苗
与培育方法有关
【解析】
（1）根据频率之和为1，可得a0.0050.0100.0250.02010=1，即
可求出a；设y为评分的中位数，根据题中数据可得0.4y800.04=0.5，进而
可求出结果；
（2）先由题意确定优质花苗数的可能取值，求出对应概率，即可得到分布列与期望；
（3）由题中数据计算出k2，对照临界值表，即可得出结论•
【详解】
（1）因为a0.0050.0100.0250.02010=1，解得a=0.040,
设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知
80所以0.4y800.04=0.5，则y=82.5；
（2）由
（1）知，树高为优秀的概率为：
0.40.2=0.6，记优质花苗数为E,
由题意知E的所有可能取值为01,2,3,
P
=0
C0
3
0.4
=0.064,
P
=1
c3
2
0.4
0.6=0.288,
P
=2
C：
2
0.6
0.40.432,
P
=3
C：
2
0.6
0.216,
所以
E的分布列为
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
所以数学期望为EE=30.6=1.8；
（3）填写列联表如下，
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
30
50
乙培育法
40
10
50
合计
60
40
100
2
210020104030
计算K216.667>2.706，
60405050
所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题，熟记由频率分布直方
图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型•
19•如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在AD
1
上，且AM—AD，将VAED,VDCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P,
4
如图所示2.
图I
jMji
1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明;
2求二面角MEFD的余弦值■
【答案】
（1）见解析；
（2）―6
3
【解析】
（1）根据线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）连接BD交EF与点N,先由题中条件得到MND为二面角M-EF-D的平面
角，再解三角形即可得出结果•
【详解】
（1）
PBP平面
MEF•证明如下:
在图
1中，连接BD，交EF于
N，交AC于0,
则BN
-BO
Ibd,
2
4
在图2
中，连接
BD交EF于N,
连接
MN，在nDPB中，有BN
1
-BD,
〔PD,
4
PM
4
MN
PPB.
QPB
平面Ml
EF,MN平面
MEF
，故PBP平面MEF;
（2）连接BD交EF与点N，图2中的三角形
PDE与三角形PDF分别是图1中的
RtnADE与RtnCDF,
PDPE,PDPF，又PEPE=P,PD平面
PEF，贝VPDEF，又EFBD,EF平面PBD,则MND为二面角M-EF-D的平面角.
可知PMPN，则在RtnMND中，PM=1,PN2，则
MN.PM2PN2,3-
在nMND中，MD=3,DN3.2，由余弦定理，得
cosMND
MN2DN2MD26
2MNDN3
.面角M-EF-D的余弦值为
26
3
【点睛】
d
本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及
面角的概念即可，属于常考题型
2
20•已知椭圆C：
笃
a
2
爲1ab0的右焦点为F•、2,0，过点F且垂直于X轴
b2
的直线与椭圆相交所得的弦长为2.
1求椭圆C的方程；
2过椭圆内一点P0,t，斜率为k的直线l交椭圆于M,N两点
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