届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学理试题解析版.docx
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届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学理试题解析版
2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足AUC=B的集合C的个数为()
A.4B.3C.2D.1
【答案】A
【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素,然后列出满足题意的情况,
得到答案•
【详解】
由ACB可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有
2,2,0,2,1,2,0,1,共4种情况,所以选A项.
【点睛】考查集合并集运算,属于简单题2•已知i为虚数单位,复数z2i9,则z()
1i
A.23.5
C.5
D.25
【答案】C
【解析】对z进行化简,得到标准形式,在根据复数模长的公式,得到Z
【详解】
对复数z进行化简
z2i
93i93i1i
=2i34i
1i2
所以z
J32425
【点睛】
考查复数的基本运算和求复数的模长,属于简单题
11n
3.已知平面向量a,b的夹角为一,且a
3
5n
2n
A.—
B.一
6
3
【答案】D
【解析】先计算
rr2ab
2込,再计算
n
c.—
n
D.一
6
3
rr
r
2ab
b
6,根据夹角公式得到答案
1,b2,则2ab与b的夹角是(
【详解】
设2a
b与b的夹角是
,由题设有2a
r
r
r
rr
r2
r
.r
2a
b
b
2a
b
b
2
a
lb
ncos-
3
r2b
所以cos
2abb
2abb
6
2、32
,所以
r2
4a
4;bcosnb2243
3
7t
故选:
D
【点睛】
考查运算求解能力,应用意
本小题考查平面向量的基本运算,向量的夹角等基础知识;
识,本小题也可利用向量的几何意义求解.
4•空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应
如下表所示:
AQI
0〜50
51〜100
101〜150
151〜200
201〜300
300以上
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图.
根据统计图判断,下列结论正确的是()
A.整体上看,这个月的空气质量越来越差
B.整体上看,前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C.从AQI数据看,前半月的方差大于后半月的方差
D.从AQI数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值
【答案】C
【解析】根据题意可得,AQI指数越高,空气质量越差;数据波动越大,方差就越大,由此逐项判断,即可得出结果•
【详解】
从整体上看,这个月AQI数据越来越低,故空气质量越来越好;故A,B不正确;从AQI数据来看,前半个月数据波动较大,后半个月数据波动小,比较稳定,因此前半个月的方差大于后半个月的方差,所以C正确;
从AQI数据来看,前半个月数据大于后半个月数据,因此前半个月平均值大于后半个月
平均值,故D不正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查样本的均值与方差,熟记方差与均值的意义即可,属于基础题型
6
5.x_2_的展开式中,常数项为
x
A.60B.15
C.15D.60
【答案】D
【解析】写出二项式展开通项,整理后令X的指数为0,得到相应的项数,然后算出常
数项•
【详解】
X
2
X
6
的展开式的通项为T1
r1
C;x6r
r
2
X
2rC;x63r,
令6
3r
0,得到r=2
所以
X
6
2
4展开式中常数项为
X
22C|
60,故选
D项.
【点睛】
对二项式展开通项的考查,题目难度不大,考查内容比较单一,属于简单题
2
6.若数列an的前n项和为Sn,且a,1,a22,Sn1Sn21Sn,1,则
Sn()
B.2n1
C.2n1D.2n11
nn1
A.
【答案】C
【解析】
对已知Sn1Sn21
Sn1
bnbn2
2
bn1,即
bn为等比数列,
利用
而可求得
bn的通项,
得到Sn的通项
【详解】
QSn1
Sn21
2
Sn11,
令bnSn1
2
1,进行化简,令bn51,可得
ai1,a22可计算出bn的首项和公比,从
bnbn2b:
!
,可得0为等比数列,设其公比为Q
b31印12,dS21a!
a214
b2n1n1n
q2,bnblq222
bi
Snbn12n1,故选C项.
【点睛】
本题考查换元法求数列的通项,等比数列求通项,考查内容比较简单,属于简单题•
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,若X1,X2€R,则“x1+X2=0”是“f(X1)+f
(X2)=0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】
'函数迤"是奇函数,
若,则=』则卜「一人f一心」即血1八血丿丸成立,即充分性成立,
若林:
少丸,满足是奇函数,当汽匚时
满足於八心材=4此时满足J“曲拶胡但爲•化=-■卩即必要性不成立,
故“h*0”是“血J+tg)的充分不必要条件,
所以A选项正确.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键
8.已知函数kx^=Asin^rnx-I-(p)(A>0,cn>0,Itpl<*)的部分图象如图所示,点(①冷).g0)*(pC)在图象上,若xp叼胡¥),严:
,且氐丿=血』,则
A.3B.扌C.0D.弓
【答案】D
【解析】根据条件求出A,3和$的值,求出函数的解析式,利用三角函数的对称性进行求解即可.
【详解】由条件知函数的周期满足T=2X(^”!
)=2X2n=4n,即週=4n,
33
则3,
由五点对应法得^3+$=0,即...■-$=0,得$
则f(x)=Asin(x),
则f(0)—Asin(-》二扌A^£得A=3,
即f(x)=3sin(x),
在
若:
勺七€(f.f),h上士,且血丿=血丿,
则ki徨关于X=彳对称,
则眞"二』=2-~
则1匕r丿二f(罟)=3sin(卜学;)=3sin^=・3sin^=-J
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质,根据条件先求出函数的解析式,以及利用三角函
数的对称性是解决本题的关键.
9.若直线x-my+m=0与圆(x-1)2+y2=1相交,且两个交点位于坐标平面上不同的象限,则m的取值范围是()
A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-2,0)
【答案】D
2c
【解析】圆X1y21都在x轴的正半轴和原点,若要两个交点在不同象限,则
在第一、四象限,即两交点的纵坐标符号相反,通过联立得到y1y2,令其小于0,可得
答案•
【详解】
圆与直线联立
x
2
1
y21
x
my
m0
整理得1m2
2
y
2m
m1ym22m0
Q图像有两个交点
方程有两个不同的实数根,即
2222
4mm14m2mm1
8m0
得m0.
Q圆x1y21都在x轴的正半轴和原点,若要交点在两个象限,则交点纵坐标
的符号相反,即一个交点在第一象限,一个交点在第四象限
y』2
m22m
1m2
0,解得2
故选D项.
【点睛】
本题考查直线与圆的交点,数形结合的数学思想来解决问题,属于中档题10.在空间直角坐标系Oxyz中,四面体ABCD各顶点坐标分别为
A2,2,1,B2,2,1,C0,2,1,D0,0,1,则该四面体外接球的表面积是()
A.16
B.12
C.4.3
D.6
【答案】B
【解析】在空间坐标系里画出A,B,C,D四个点,可以补成一个长方体,然后求出其外
接球的半径,再求外接球的表面积
【详解】如图,在空间坐标系里画出A,B,C,D四个点,可得BAAC,DC面ABC,
因此可以把四面体DABC补成一个长方体,其外接球的半径
所以,外接球的表面积为4R212,故选B项.
本题考查几何体的直观图画法,图形的判断,考查空间想象能力,对所画出的几何体进
行补充成常见几何体求外接球半径,属于中档题11•设P是抛物线C:
y24x上的动点,Q是C的准线上的动点,直线I过Q且与OQ
(O为坐标原点)垂直,则P到I的距离的最小值的取值范围是()
A.(0,1)B.(0,1]C.01D.(0,2]
【答案】A
【解析】先由抛物线的方程得到准线方程,设点Q的坐标为1,t,t0,得到直
线I的方程,再设与直线I平行的直线方程为xtym=0,与抛物线方程联立,由判别式为0,得到mt2,最后由点到直线的距离,即可得出结果•
【详解】
抛物线y24x上的准线方程是x1设点Q的坐标为1,t,t0.
则直线I的方程为xtyt210.
设与直线I平行的直线方程为xtym=0.代入抛物线方程可得y24ty4m0,
由n=16t216m0,可得mt2-
故与直线I平行且与抛物线相切的直线方程为*tyt20..
则P到I的距离的最小值d
1
故选A.
【点睛】
本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质,熟记抛物线的简单性质,结合
直判别式、点到直线距离公式等求解,属于常考题型
12.已知函数fxInxa1x22a.若不等式fx0的解集中整数的个
数为3,则a的取值范围是()
A.1
In3,0b.
1ln3,2ln2
c.1
In3,1
In2d.0,1
In2
【答案】
C
【解析】
变换得到不等式
ax2ax
Inx
2,设
gx
xInx2
hx
ax2a,判断g
x的单调性和
hx
恒过点
2,0
,画出函数图像,
解得答案.
【详解】
由fx
0得ax2a
xInx2,
设g
xx
Inx
2,hxax
2a
由gx
1
1—,可知g
x在0,1上为减函数,在1,
上为增函数,h
x恒过点
2,0
画出gx与hx函数图象,如图所示:
h1
g1,a1,
不等式fx0的解集中含有二个整数,则
h3
g3,即a1In3,
h4
g4,2a22ln2,
解得1In3a1In2.
故选:
C
【点睛】
本小题考查函数与导数等基本知识.考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求
解等数学能力.
、填空题13•中国古代数学专家(九章算术)中有这样一题:
今有男子善走,日增等里,九日走
1260里,第一日,第四日,第七日所走之和为390里,则该男子的第三日走的里数为
【答案】120
【解析】将题目转化成数学语言,得到等差数列关系,求出首项和公差,再求第三日走
的里数,即数列的第三项•
【详解】
因为男子善走,日增等里,可知每天走的里数符合等差数列,设这个等差数列为an,
其公差为d,前n项和为Sn.
根据题意可知,S)1260,a!
a4a7390,
、小9a1a9
法一:
S9--9a51260,a5140
2
ar84a?
3a4390,34130,
da5a410,
a3a4d120.
98
S912609q——d1260
法二:
,2
a13d印6d390
120
aa4a7390_
a
a-i100
解得1所以a3a12d
d10
【点睛】
本题考查文字描述转化数学语言的能力,等差数列求和和通项以及基本性质,属于简单
题.
14.根据下列算法语句,当输入x,y€R时,输出s的最大值为
1F‘>■()ANDj—y>—0ANDTHEN
LLSE
ENRIF
【答案】2
【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目,然后用线性规划的方法解决问题
【详解】
y0
由算法语句可知xy0,求xy的最大值,并与0比较
2xy3
画出可行域如图,VAOB为可行域,所求目标函数zxy,整理得yxz,为斜率为-1的一簇平行线,在A点时得到最大值.
解方程组
x
2x
y0,解得
y3
A点坐标1,1,所以xy的最大值为2.
且当
x0时,
2
xx3x,则不等式
fx22的解集为
【答案】1—,0
1,3
【解析】对f
分类,
找到f
2的解集,再求fx2
2的解集
x0时,
fx
2x
3x
5
①当0
x3时,f
x
2x
3x,
解fX
2,即
2x
3x
2得x
1或x
2,
0x
1或2x
3
②当x
3时,fx
2x
3x
解fx
2即x2
3x
2得—
x
3
【详解】
2
_J7
2
0时,fx
2解集为0
是R上的偶函数,
由对称性可知
x0时,
x2解集为
3-.17
2
解得-
2解集为
3-17
2
.17
2
2时,
317
2
17
2
【点睛】本题考查绝对值函数,不等式求解,偶函数的性质,题目考查知识点较多,比较综合,
属于难题•
16.设m,n为平面a外两条直线,其在平面a内的射影分别是两条直线mi和n1,给
出下列4个命题:
①m1//n?
m//n;②m//n?
m与m平行或重合;③m1丄n?
mi±n;
④m!
n?
m丄n1.其中所有假命题的序号是.
【答案】①②③④
【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断,得出结果
【详解】
1两条异面直线在平面的射影可能平行,则两条直线不平行,故①错误,
2若mPn,则mi与⑴平行或重合或是两个点,故②错误.
3因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角,反之在平面内的射影垂直的两条直线
所成的角可以是锐角,故③错误.
4两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线,也可以是一条直线和一个
点等其他情况,故④错误.故假命题是①②③④,
故答案为①②③④
【点睛】
本题主要考查空间中直线与直线的位置关系,熟记线线位置关系即可,属于常考题型
三、解答题
17•在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等差数列,
且cosC.
3
K
1求一的值;
a
2若c11,求△ABC的面积.
【答案】
(1)一10;
(2)S30.2.
a9
【解析】【详解】
1因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB
sinAsinC,
由正弦定理得2bac,即c2ba.
1
又因为cosC—,根据余弦定理有:
3
cosC
222
abc
2ab
222
ab2bao3b12-
2ab2a3
所以一2.
a9
1
2因为c11,cosC-,根据余弦定理有:
3
221
a2b22ab?
—121,
3
由1知b詈a,所以a?
器2细罟吗⑵,
解得a281.
由cosC1得sinC
3
2,2
所以VABC的面积s^absinC
2
5a2sinC
9
5813^.2.
93
【点睛】
本题考查等差数列的简单性质,正弦定理、余弦定理、面积公式的考查,难度不大,属于简单题.
18•某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在A,B实验地分别用甲、乙
方法培训该品种花苗•为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进
行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80
及以上的花苗为优质花苗.
(1)求图中a的值,并求综合评分的中位数.
(2)用样本估计总体,以频率作为概率,若在A,B两块试验地随机抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望;
(3)填写下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
(参考公式:
K2
2
nadbe
abedaebd
,其中n=abe
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
乙培育法
10
合计
附:
下面的临界值表仅供参考.
2
PKk。
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】
(1)a=0.040,中位数82.5;
(2)见解析;(3)有90%的把握认为优质花苗
与培育方法有关
【解析】
(1)根据频率之和为1,可得a0.0050.0100.0250.02010=1,即
可求出a;设y为评分的中位数,根据题中数据可得0.4y800.04=0.5,进而
可求出结果;
(2)先由题意确定优质花苗数的可能取值,求出对应概率,即可得到分布列与期望;
(3)由题中数据计算出k2,对照临界值表,即可得出结论•
【详解】
(1)因为a0.0050.0100.0250.02010=1,解得a=0.040,
设y为评分的中位数,则前三组的概率和为0.40,前四组的概率和为0.80,知
80所以0.4y800.04=0.5,则y=82.5;
(2)由
(1)知,树高为优秀的概率为:
0.40.2=0.6,记优质花苗数为E,
由题意知E的所有可能取值为01,2,3,
P
=0
C0
3
0.4
=0.064,
P
=1
c3
2
0.4
0.6=0.288,
P
=2
C:
2
0.6
0.40.432,
P
=3
C:
2
0.6
0.216,
所以
E的分布列为
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
所以数学期望为EE=30.6=1.8;
(3)填写列联表如下,
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
30
50
乙培育法
40
10
50
合计
60
40
100
2
210020104030
计算K216.667>2.706,
60405050
所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题,熟记由频率分布直方
图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望,以及独立性检验的思想即可,属于常考题型•
19•如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,点M在AD
1
上,且AM—AD,将VAED,VDCF分别沿DE,DF折叠,使A,C点重合于点P,
4
如图所示2.
图I
jMji
1试判断PB与平面MEF的位置关系,并给出证明;
2求二面角MEFD的余弦值■
【答案】
(1)见解析;
(2)―6
3
【解析】
(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可;
(2)连接BD交EF与点N,先由题中条件得到MND为二面角M-EF-D的平面
角,再解三角形即可得出结果•
【详解】
(1)
PBP平面
MEF•证明如下:
在图
1中,连接BD,交EF于
N,交AC于0,
则BN
-BO
Ibd,
2
4
在图2
中,连接
BD交EF于N,
连接
MN,在nDPB中,有BN
1
-BD,
〔PD,
4
PM
4
MN
PPB.
QPB
平面Ml
EF,MN平面
MEF
,故PBP平面MEF;
(2)连接BD交EF与点N,图2中的三角形
PDE与三角形PDF分别是图1中的
RtnADE与RtnCDF,
PDPE,PDPF,又PEPE=P,PD平面
PEF,贝VPDEF,又EFBD,EF平面PBD,则MND为二面角M-EF-D的平面角.
可知PMPN,则在RtnMND中,PM=1,PN2,则
MN.PM2PN2,3-
在nMND中,MD=3,DN3.2,由余弦定理,得
cosMND
MN2DN2MD26
2MNDN3
.面角M-EF-D的余弦值为
26
3
【点睛】
d
本题主要考查线面平行的判定,以及二面角的求法,熟记线面平行的判定定理以及
面角的概念即可,属于常考题型
2
20•已知椭圆C:
笃
a
2
爲1ab0的右焦点为F•、2,0,过点F且垂直于X轴
b2
的直线与椭圆相交所得的弦长为2.
1求椭圆C的方程;
2过椭圆内一点P0,t,斜率为k的直线l交椭圆于M,N两点