对数函数及其性质.docx

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对数函数及其性质

222对数函数及其性质

1.对数函数的概念

（1）定义：

一般地，我们把函数y三l.ogax（a>0,且1）叫做对数函数，其中x是自变量，函

数的定义域是（0,+^）.

（2）对数函数的特征：

logax的系数：

1

特征logax的底数：

常数，且是不等于1的正实数

logax的真数：

仅是自变量x

判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征.

比如函数y=Iog7x是对数函数，而函数y=-3log4x和y=logx2均不是对数函数，其原因是

不符合对数函数解析式的特点.

【例1-1】函数f（x）=（a2-a+1）log（a+1）x是对数函数，则实数a=.

解析：

由a2-a+1=1，解得a=0,1.

又a+1>0，且a+1工1，•••a=1.

答案：

1

【例1-2】下列函数中是对数函数的为.

（1）y=loga,x（a>0，且a^1）；

（2）y=Iog2X+2；

（3）y=8log2（x+1）；（4）y=Iogx6（x>0，且x^1）；

（5）y=log6X.

解析：

序号

是否

理由

（1）

X

真数是Jx，不是自变量x

（2）

X

对数式后加2

（3）

X

真数为x+1，不是X，且系数为8，不是1

（4）

X

底数是自变量X，不是常数

（5）

V

底数是6，真数是x

答案：

（5）

2.对数函数y=logax（a>0，且a^1）的图象与性质

（1）图象与性质

a>1

0vav1

图象

性质

（1）定义域{x|x>0}

⑵值域{y|yR}

⑶当x=1时，y=0，即过定点（1,0）

（4）当x>1时，y>0;当0vxv1时，yv0

⑷当x>1时，yv0;当0vxv1时，y>0

（5）在（0，+^）上是增函数

（5）在（0，+s）上是减函数

底数.a>1时，函数单调递增；0vav1时，函数单调递减•理解和掌握对数函数的图象和性

质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了•我们要注意数形结合思想的应用.

（2）指数函数与对数函数的性质比较

解析式

y=ax（a>0,且1）

y=logax（a>0，且1）

性质

定义域

R

（0,+m）

值域

（0,）

R

过定点

（0,1）

（1,0）

单调性

单调性一致，冋为增函数或减函数

奇偶性

奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数

（3）底数a对对数函数的图象的影响

1底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：

当a>1时，对数函数的图象

“上升”；当0vav1时，对数函数的图象“下降”.

2底数的大小决定了图象相对位置的高低：

不论是a>1还是0vav1，在第一象限内，自

左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，（1,0）点处把花扎，

若是底数小于1,左上穿点渐右下，

若是底数大于1,左下穿点渐右上，

绕点旋转底变化，顺时方向底变大，

可用直线y=1来切，自左到右a变大.

-431

【例2】如图所示的曲线是对数函数y=logax的图象.已知a从.3，，，一中取值,

3510

则相应曲线C1，C2,C3,C4的a值依次为（）

A.

3,4,

3

1

3

5

10

B.

3,4,

1

3

3

10

5

C.

4,3,

3

1

3

5

10

D.

4,3,

1

3

3

10

5

解析

:

由底数对

对数函数图象的影响这一性质可知，

C4的底数vC3的底数vC2的底数vC1

—431

的底数•故相应于曲线C1,C2,C3,C4的底数依次是.3,,,—.

3510

答案：

A

点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法

（1）方法一：

利用底数对对数函数图象

影响的规律：

在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；

（2）方法二：

作直线y=1,

它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小.

3.反函数

（1）对数函数的反函数

指数函数y=ax（a>0,且1）与对数函数y=logax（a>0,且1）互为反函数.

⑵互为反函数的两个函数之间的关系

1原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；

2互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.

⑶求已知函数的反函数，一般步骤如下：

1由y=f（x）解岀x，即用y表示岀x；

2把x替换为y,y替换为x;

3根据y=f（x）的值域，写岀其反函数的定义域.

【例3—1】若函数y=f（x）是函数y=ax（a>0，且a工1）的反函数，且f

（2）=1，则f（x）=（）

1

A.log2xB.—x

2x

C.log1xD.2x2

2

解析：

因为函数y=ax（a>0，且a^1）的反函数是f（x）=logax，

又f

（2）=1，即loga2=1,所以a=2.故f（x）=log2x.

答案：

A

【例3—2】函数f（x）=3x（0vx<2）的反函数的定义域为（）

A.（0，+%）

B.（1,9]

C.（0,1）

D.[9，+%）

解析：

•/0vx<2,

•••1v3x<9,

即函数f（x）的值域为

（1,9].

故函数f（x）的反函数的定义域为（1,9]

答案：

B

【例3—3】若函数y=f（x）的反函数图象过点（1,5），则函数y=f（x）的图象必过点（）

A.（5,1）B.（1,5）C.（1,1）D.（5,5）

解析：

由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，而点（1,5）关于直线y=x的对称点为

（5,1），所以函数y=f（x）的图象必经过点（5,1）.

答案：

A

4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值

对数函数的解析式y=logax（a>0,且a^1）中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确

定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f（m）=n或图象过点（m,n）等等.通常利用待定系

数法求解，设岀对数函数的解析式f（x）=logax（a>0,且a^1）,利用已知条件列方程求岀常数a

禾U用待定系数法求对数函数的解析式时,logam=n化为指数式的形式an=m,

的值.

常常遇到解方程，比如logam=n,这时先把对数

把m化为以n为指数的指数幕形式m=kn（k>0,且

11

心1），则解得a=k>0.还可以直接写岀a

例如：

解方程loga4=—2，则a2=4,

1

a.当然，也可以直接写岀a

2

1I1

a42（22）221.

2

mn，再利用指数幕的运算性质化简mn.

2

11

由于4，所以a.又a>0,所以

22

1

42,再利用指数幕的运算性质，得

A.e5B.5eC.In5D.log5e

解析：

（方法一）令t=3，则x=Int,所以f（t）=Int,即f（x）=Inx.所以f（5）=In5.

（方法二）令e=5,贝Ux=In5，所以f（5）=In5.

答案：

C

【例4-2】已知对数函数f（x）的图象经过点1,2，试求f（3）的值.

9

分析：

设岀函数f（x）的解析式，利用待定系数法即可求岀.解：

设f（x）=Iogax（a>0,且1），

•••对数函数f（x）的图象经过点

1,2，•••f

9

loga12.•••a2=1.

99

12

…a=—

9

3

解得vx<1,

0,4

二f（x）=log1x.

3

1

1

…f（3）=log13log1-=—1.

333

1

【例4—3】已知对数函数f（x）的反函数的图象过点（2,9），且f（b）=，试求b的值.

2

解：

设f（x）=logax（a>0，且a^1），则它的反函数为y=ax（a>0，且a^1），由条件知a2=9

1-厂

=32，从而a=3.于是f（x）=log3x，则f（b）=Iog3b=—，解得b=32.3.

2

5.对数型函数的定义域的求解

（1）对数函数的定义域为（0,+^）.

⑵在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0,底数大于0，且不等于1.若底数和

真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意

义.一般地，判断类似于y=logaf（x）的定义域时，应首先保证f（x）>0.

（3）求函数的定义域应满足以下原则：

1分式中分母不等于零；

2偶次根式中被开方数大于或等于零；

3指数为零的幕的底数不等于零；

4对数的底数大于零且不等于1;

5对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集.

【例5】求下列函数的定义域.

（1）y=log5（1—x）;

（2）y=log（2x-1）（5x—4）;

⑶y,log°.5（4x3）.

分析：

利用对数函数y=logax（a>0,且a工1）的定义求解.解：

（1）要使函数有意义，则1—x>0,解得xv1,

所以函数y=Iog5（1—x）的定义域是{x|xv1}.

5x4>0,

4

（2）要使函数有意义，则

2x1>0,解得x>—且xk1,

5

2x11,

4

所以函数y=log（2x-1）（5x—4）的定义域是一，1U（1,+^）.

5

4x30,

（3）要使函数有意义，则

log°.5（4x3）

所以函数yJlog°.5（4x3）的定义域是

3

x-

4

6•对数型函数的值域的求解

（1）充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.

⑵对于形如y=logaf（x）（a>0,且a工1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：

1分解成y=logau,u=f（x）这两个函数；

2求f（x）的定义域；

3求u的取值范围；

4利用y=logau的单调性求解.

⑶对于函数y=f（logax）（a>0，且a^1），可利用换元法，设logax=t，则函数f（t）（tR）的值

域就是函数f（logax）（a>0,且a工1）的值域.

注意：

（1）若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要考查其单调性，就必

须对底数进行分类讨论.

（2）求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响•当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围.

【例6-1】求下列函数的值域：

22

（1）y=log2（x+4）;

（2）y=log1（3+2x—x）.

2

解：

（1）•/x2+4>4，•••log2（x2+4）>log24=2.

•••函数y=log2（x2+4）的值域为[2，+）.

⑵设u=3+2x—x2，贝Uu=—（x—1）2+4<4.Ju>0，•0vu<4.

又y=log1u在（0,+^）上为减函数，•log1u>—2.

22

二函数y=log1（3+2x—x2）的值域为[—2,+^）.

2

【例6—2】已知f（x）=2+log3X,x[1,3]，求y=[f（x）]2+f（x2）的最大值及相应的x的值.

分析：

先确定y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用

一元二次函数求最值.

解：

•/f（x）=2+log3x,x[1,3],

二y=[f（x）]2+f（x2）=（log3X）2+6log3X+6且定义域为[1,3].

令t=log3x（x[1,3]）.

Tt=log3x在区间[1,3]上是增函数，•0

从而要求y=[f（x）]2+f（x2）在区间[1,3]上的最大值，只需求y=t2+6t+6在区间[0,1]上的最大

值即可.•/y=t2+6t+6在[—3,+^）上是增函数，

••当t=1，即卩X=3时，ymax=1+6+6=13.

综上可知，当x=3时，y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为13.

7•对数函数的图象变换及定点问题

（1）与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y=logax（a>0,且1）过定点（1,0），即对任意的a>0,且1都有loga1=0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键.

对于函数y=b+klogaf（x）（k,b均为常数，且心0）,令f（x）=1，解方程得x=m,则该函数恒过定点（m,b）•方程f（x）=0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数.

（2）对数函数的图象变换的问题

①函数

②函数

③函数

④函数

向左（b>0）或向右（b<0）

y=logax（a>0,且1）移-6个单位长度-f函数y=loga（x+b）（a>0,且a丰1）

向上（b>0）或向下（b<0）、，

y=logax（a>0,且1）移b个单位长度-f函数y=logax+b（a>0,且1）

当x>0时，两函数图象相同十*“,

y=logax（a>0,且1）当x<0B—■将-x>0时的图象关于f轴对称函数y=loga|x|（a>0,且1）保留X轴上方的图象

y=logax（a>0，且1）—同时将X轴下方的图象祚关于-丈轴的対称变换-f函数y=|logaX|（a>

0,且1）

【例7—1】若函数y=loga（x+b）+c（a>0,且a工1）的图象恒过定点（3,2），则实数b,c的值

分别为.

解析：

•••函数的图象恒过定点（3,2）,

•••将（3,2）代入y=loga（x+b）+c（a>0，且a工1）,得2=loga（3+b）+c.

又•••当a>0,且a^1时，logai=0恒成立，

…c=2.••loga（3+b）=0.

b=—2.

答案：

一2,2

【例7-2】作岀函数y=|log2（x+1）|+2的图象.

解：

（第一步）作函数y=log2x的图象，如图①；

（第二步）将函数y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y=log2（x+1）的图

象，如图②；

（第三步）将函数y=Iog2（x+1）在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y=|log2（x+

1）1的图象，如图③；

（第四步）将函数y=|log2（x+1）|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.

8•利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况:

（1）底数相同，真数不同.

比较同底数（是具体的数值）的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小.

要注意：

明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大

小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小.

⑵底数不同，真数相同•若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画岀函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.

（3）底数不同，真数也不同•对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比

较.

（4）

0”和“1”的

1进行分类讨论.

对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可.

注意：

对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于【例8-1】比较下列各组中两个值的大小.

（1）log31.9，Iog32；

（2）log23，Iog0.32；（3）loganIoga3.141.

分析：

（1）构造函数y=log3x，利用其单调性比较；⑵分别比较与0的大小；⑶分类讨论底

数的取值范围.

解：

（1）因为函数y=log3x在（0,+a）上是增函数，

所以f（1.9）vf

（2）.所以log31.9vlog32.

（2）因为log23>log21=0，log0.32vlog0.31=0，

所以log23>log0.32.

⑶当a>1时，函数y=logax在定义域上是增函数，

则有logan>loga3.141；

当0vav1时，函数y=log-x在定义域上是减函数,

则有log-nvlog-3.141.

综上所得，当a>1时，log-n>log-3.141；

当0vav1时，log-nvlog-3.141.

ab

【例8-2】若a2>b>a>1,试比较loga—,logb—,logba,logab的大小.b

分析：

利用对数函数的单调性或图象进行判断.

a

解：

■/b>a>1,•••0v_v1•

b

a

二loga—v0,logab>logaa=1,logb1vlogbavlogbb,即卩0vlogbav1.b

logb-=也羊,

ab

bb

由于1v—vb,--0vlogb—v1.由logba—

a

a2

•/a2>b>1,•——>1.

b

2

a->0,

b

即logba>logbb.

a

b.a

--log-b>logba>logb—>loga.

ab

9•利用对数函数的单调性解对数不等式

（1）根据对数函数的单调性，当->0,且-工1时，有

1log-f（x）=log-g（x）f（x）=g（x）（f（x）>0,g（x）>0）;

2当a>1时,log-f（x）>log-g（x）f（x）>g（x）（f（x）>0,g（x）>0）；

3当0vav1时，log-f（x）>log-g（x）f（x）vg（x）（f（x）>0,g（x）>0）.

（2）常见的对数不等式有三种类型：

1形如log-f（x）>log-g（x）的不等式，借助函数y=log-x的单调性求解，如果

定，需分a>1与0vav1两种情况讨论.

二logb

a的取值不确

2形如log-f（x）>b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数的单调性求解.

3形如log-f（x）>logbg（x）的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.

4形如f（log-x）>0的不等式，可用换元法后再解x的范围.

【例9—1】解下列不等式：

（1）log1x

7

y=logax

（令t=logax），先解f（t）>0,得到t的取值范围•然

logi（4x）；

7

⑵logx（2x+1）>logx（3—x）.

x>0,

解：

⑴由已知，得4x>0,解得0vxv2.

x<4x,

所以原不等式的解集是{x|0vxv2}.

2x1>3x,

⑵当x>1时，有2x1>0,解得1vxv3；

2x>0,

2x1<3x,

2当ovxv1时，有2x1>0解得Ovxv_.

，3

3x>0,

2

所以原不等式的解集是x0

3

2

2

【例9-2】若iogav1,求a的取值范围.

3

解：

••i2

-loga3

2

2

v1，•—1vloga-v1，即

loga丄a

2

loga-logaa

（1）••

当a>1时，

y=logax为增函数，

.1

2

3

3

-a.

•a>—，结合a>1，可知a>

a

3

2

2

1

2

⑵•••当Ovav1时，y=logax为减函数，二>>a-a3

22

…av—，结合0vav1，知0vav

33

23

•••a的取值范围是a0—•

32

10.对数型函数单调性的讨论

（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：

一是看底数是否大于1，当底数未明

确给岀时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域.

⑵关于形如y=logaf（x）一类函数的单调性，有以下结论：

函数y=logaf（x）的单调性与函数u=f（x）（f（x）>0）的单调性，当a>1时相同，当0vav1时相

反.

例如：

求函数y=log2（3—2x）的单调区间.

分析：

首先确定函数的定义域，函数y=log2（3—2x）是由对数函数y=log2u和一次函数u=3

—2x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u=3—2x的单调性、值域入手，并结合函数y=log2u的单调性考虑.

解：

由3—2x>0，解得函数y=log2（3—2x）的定义域是、工3

设u=3—2x，x—，

3

Tu=3—2x在—x，上是减函数，且y=log2u在（0，+x）上单调递增,

3

•函数y=log2（3—2x）在—x，上是减函数.

•函数y=log2（3—2x）的单调减区间是

3

—X—

，2.

【例10—1】求函数y=loga（a—ax）的单调区间.

解：

（1）若a>1，则函数y=logat递增，且函数t=a—ax递减.又■/a—ax>0，即卩axva，

•xv1.•函数y=loga（a—ax）在（—x，1）上递减.

⑵若0vav1，则函数y=logat递减，且函数t=a—ax递增.

又■/a—ax>0，即卩axv