空间几何体的表面积和体积公式大全.docx
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空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全
全（表）面积（含侧面积）
1、柱体
①棱柱
S侧chS全2S底S侧
②圆柱
SS
2、锥体
①棱锥：
S棱锥侧12c底h
②圆锥：
S圆锥侧12c底l
3、台体
S全S底S侧
①棱台：
②圆台：
S棱台侧
S棱台侧
1‘
2（c上底c下底）h
1
2（c上底c下底）l
S全S上S侧S下
4、球体
①球：
S球4r2
②球冠：
略
③球缺：
略
S下
S下
体积
1、柱体
①棱柱
V柱Sh
②圆柱
2、锥体
①棱锥
②圆锥
1
V柱3Sh
3、台体
1
①棱台V台13h（S上S上S下S下）
②圆台V圆台3h（r上r上r下r下）
4、球体
①球：
V球43r
②球冠：
略③球缺：
略说明：
棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h'计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l计算。
三、拓展提高
1、祖暅原理：
（祖暅：
祖冲之的儿子）
夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的
2、阿基米德原理：
（圆柱容球）
圆柱容球原理：
在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的2。
3
分析：
圆柱体积：
V圆柱Sh（r）2r2r
圆柱侧面积：
S圆柱侧ch（2r）2r4r因此：
球体体积：
V球322r343r3
33
球体表面积：
S球4r2
即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体
积之和
整理得：
h1S上h
S下S上
又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积
1111∴V台3S下（h1h）3S上h13h1（S下S上）3S下h
2[1（n1）]
n
22n1rnr（r）rn
半球
∴半球体积为：
V半球Vnnr（r12r22rn2）
222
=nrr2{n1[（0）.
（1）（n1）]}
nnnn
2222
=r3[n012..2（n1）]
nrn
分析：
球体可以切割成若干（n个）近似棱锥，当n时，这些棱锥的高
为球体半径，底面积为球面面积的1，则每一个棱锥的体积V111S球r，n3n
则所有的小棱锥体积之和为球体体积。
即有：
2
∴S球4r
1）体积关系
如图：
正方体切下四个三棱锥后，
剩下的部分为正四面体设正方体棱长为a，则其体积为：
V正方体a3四个角上切下的每一个三棱锥体积为：
111213
V三棱锥3Sh3（2a）a6a中间剩下的正四面体的体积为：
这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体
2）外接球
正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。
（理由：
过不共面的
四点确定一个球。
）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。
所
以它们共球。
回顾：
①两点定线②三点定面③三点定圆④四点定球
（b）正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（c）与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半
（d）设正四面体棱长为a，则与其棱都相切的球半径为r1
1a2
有：
r121a242a
7、利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。
证明：
作如下构造：
在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等
高的圆锥。
如图：
在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半径均为R，截面高度均为h，倒圆锥的截面半径为r锥1，半球截面半径为
则：
挖去圆锥后的组合体的截面为：
S1R2r2锥1半球截面面积为：
S2r2球1∵倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得：
r锥1h在半球内，由勾股定理易得：
r球1R2h
2222
∴S1RhS2Rh
即：
S1S2，也就是说：
半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。
由祖暅原理可得：
V1V2
所以半球体积：
122223V半球Sh3Sh3Sh3RR3R
即，球体体积：
2343V球23R3R
8、正方体与球
3
434d13V正方体aV球3r3
（2）6a
正方体的体对角线3a球体的直径d
3
434d33V球3r3
（2）2aV球：
V正方体3:
2
3）规律：
1正方体的内切球与外接球的球心为同一点；
2正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；
3正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：
1:
3
4正四面体内切球与外接球体积之比为：
1：
33
5正四面体内切球与外接球表面积之比为：
1：
3
6正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：
3:
2：
1
7正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：
33:
6:
8正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：
3:
6:
（1）正四面体的内切球
9、正四面体与球
解题关键：
利用体积关系思考
内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶
点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，
每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内切球的半径r。
112112利用体积关系得：
4（11a2sin60r）1（1a2sin60）h
3232
所以：
r1h，其中h为正四面体的高。
由相关计算得：
ha[23（12a3）]3a
43466即：
V球34r43（126a）2166
2）正四面体的外接球
3）规律：
1正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；
2正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；
3正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；
4正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1：
3
5正四面体内切球与外接球体积之比为：
1：
27
6正四面体内切球与外接球表面积之比为：
1：
9
7正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：
36:
12：
6
⑧正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：
273:
18:
3
10、圆柱与球
1）圆柱容球（阿基米德圆柱容球模型）
2）球容圆柱
四、方法总结
面举例说明立体几何的学习方法
例：
已知正四面体的棱长为a，求它的内切球和外接球的半径
思路：
先分析球心的位置。
因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与
EO1
EG
1
O1D
GA
2
∴GO1//AD
且
GO1
AD
1
3
∴△GOO1∽
△DOA∴
OO1
AO
1
3
即：
A
3
O34AO1
34h
4
36
43
6aa
4
O1O
1
1
1
6
6
14AO1
4
h4
a
3
a
12
4
3
6
3
V外接球
3
DO3
8
a
4
3
6
3
V内切球
3
OO31
216
a
方法2：
体积分析：
（最灵活的方法）
外接球的球心是重合的。
且是正四面体的高线交点。
再分析球心与一些特殊的点、线、面的位置、数量关系。
在内切球这种情况下，球心垂直于每一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶点的距离相等。
方法1：
展平分析：
（最重要的方法）
如图：
取立体图形中的关键平面图形进行分析！
连接DO并延长交平面ABC于点G，连接GO1
连接DO1并延长交BC于点E，则A、G、在平面AED中，由相似知识可得：
如图：
设正四面体ABCD的内切球球心为O，连接
AO、BO、CO、DO，则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥
方法3：
方程分析：
（最常见的做法）
代入方程解得：
DO6a、OO16a
4112
436
V内切球3OO1216
设内切球半径为r，正四面体的棱长为a
方法4：
补形分析（最巧妙的思考）
把正四面体补成正方体进行分析。
如图：
此时，正四面体与正方体有共同的外接球。
为：
∴正四面体的外接球半径为：
D6a
24
内切球半径为：
D16a
2312
4363
V外接球3R8a
4363
V内切球3r216a
方法5：
坐标分析（最意外的解法）建立如图所示的空间直角坐标系：
则A（0，0，36a），B（0，33a，0）
33
C（12a，63a，0），D（12a，63a，0），设球心位置为O（x，y，z，）
2222
由|OA||OB||OC||OD|R得：
OAOBOCOD
即：
xy（z6a）x（y
3
33a）z2（x21a）（y36a）z
=（x12a）2（y36a）2z2
解得：
xy0，z6a，即：
r6a，R6a6a6a
12123124
4363∴V外接球3R8a
主要方法：
一、统一思想
1、公式的统一对于每个几何形体的面积与体积公式，我们很想找出一个万能公式全部适用于所有形体，但是这只是一个理想状况，实际上不可能，最多只可能适用于一部分而已。
即使是这样，也只减小我们对公式的记忆难度，增强学习的灵活性。
（1）梯形的面积公式：
S1（ab）h，同样适用于三角形、平行四
2边形、长方形、正方形、扇形的面积计算。
只是在使用时作微调而已。
在分析三角形时，上底变为0；分析长方形、正方形、平行四边形时，上下底变成一样；在分析扇形时，上底变为0，下底变成弧长，高为半径。
（2）台体的侧面积公式：
S侧21（cc'）h'，同样适用于圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的侧面积计算。
只是在使用时作微调而已。
在分析圆柱、棱柱时，上下底周长变成一样；在分析棱锥时，上底周长变为0；在分析圆锥时，上底周长变为0，斜高变成母
线；在分析球体的面积时，上下底都取最大圆的周长，高取直
径，即：
S球1（2r2r）2r4r
（3）台体的体积公式：
V13（S上S上S下S下）h'，同样适用于圆
3柱、棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。
只是在使用时作微调而已。
在分析圆柱、棱柱时，上下底面积变成一样；在分析棱锥时，上底面积变为0；在分析圆锥时，上底面积变为0；在分析球体的体积时，上底面积取0，下底取最大圆面积的2倍，高取直径，即：
S球13（2r2）2r34r3
33
2、字母的统一
在进行分析时，一般要把字母统一，这样便于进行比较！
3、关系的统一注意相似的关系：
面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
球体、正方体、正多面体相似！
二、转换思想
1、平面与立体的转换
这是立体几何的一种重要思想，即把立体的问题交给平面来解决。
但是要在特殊的面中进行，有时还要把面与面的关系交给线与线来分析。
如二面角的大小研究，通常会作垂直于两面的交线的直线来分析。
异面直线的有关系也要平移到同一面中研究。
在立体与平面的转换中平移是一种很实用的手段。
通过平移不在同一平面内的可转换为同一平面内，不垂直的可转换为垂直来分析！
2、位置的转换
3、形体的转换
三、
特殊思想
1、
特殊点
（1）中点：
特殊的线的中点是解题的钥匙！
特别要关注！
（2）顶点：
几何体的顶点也是重要的点，作用。
其连线在分析时很有
（3）垂足：
高与面交点是比较特殊的点，
解题时也要注意！
2、
特殊线
（1）高线
（2）中线
（3）角平分线
3、
特殊面
（1）平行的面
（2）垂直的面
（3）二面角特殊的面
4、
特殊关系
（1）相似关系
（2）比值关系
四、
标准化思想
1、
三视图的规则
2、
斜二测画法的规则
3、
空间直角坐标规则
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