零件参数设计的优化方案.docx
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零件参数设计的优化方案
零件参数设计的优化方案
摘要
标志产品性能的某个参数，取决于组成这个产品的各零件的参数。
本文对零件的标定值和容差两项参数建立了优化模型。
在标定值的容许范围内，通过计算机用蒙特卡罗方法模拟出一千组不同零件的标定值，用MATLAB7.1编程计算。
最后在综合考虑各因素的基础上，对模型进行了灵敏度分析，并联系实际生产，对模型做出了评价和改进。
模型：
针对原设计，在假设1000个零件符合正态分布的前提下，用蒙特卡洛模拟法随机模拟出1000批各零件参数，代入公式求解例子分离器的参数y。
容差均取最便宜的等级，最终对求出的1000批总费用求均值，得到原设计需花费的总费用为3145515元。
其中，正品115件，次品630件，废品255件，即正品率15.5%，次品率为63%，废品率为25.5%。
模型：
在综合考虑y偏离y造成的损失和零件成本的前提下，以模型为基础，用穷举法计算了各零件容差取A、B、C不同等级情况下的总费用，对目标函数求解取最小总费用方案。
得到结果：
当x、x、x、x、x、x、x分别取0.0892、0.3644、0.0913、0.1163、1.3820、12.9087、0.5916，且容差等级分别取B、B、B、C、C、B、B时，总费用420000元，与原设计相比，总费用降低2725515元。
其中，正品855件，次品145件，废品0件，即正品率85.5%，次品率为14.5%，废品率为0%。
通过对模型进一步分析，得出零件标定值给出了零件性能情况波动的平均值，零件的性能情况在标定值附近波动。
而容差等级越高，则均方差越低，说明在标定值处的集中度越高，零件生产相对于预先设定越精确，同时，成本也越高。
据此，结合实际情况，在对模型进行进一步讨论和误差分析的基础上，对模型进行了改进和推广。
本文的优点在于：
以产品的总花费为目标函数，便于理解，且具有实用性。
对多组数据结果求均值，使结果误差较小，更具普遍适用性。
通过计算机在一定条件下用蒙特卡罗方法模拟出数据用于计算，绕过繁杂的数学公式计算，大大简化了模型的复杂度，并在一定程度提高模型的准确性和精确度。
关键词：
蒙特卡罗模拟MATLAB编程正态分布穷举法
（一）问题重述
标志一件产品性能的某个参数取决于组成这件产品的各零件的参数。
零件参数包括标定值和容差两部分。
标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。
这时要考虑两方面因素：
1）当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；2）零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,...,x7）决定，经验公式为：
y的目标值（记作y0）为1.50。
当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9,000元。
零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为1%，Ｂ等为5%，Ｃ等为10%。
7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：
标定值容许范围
Ｃ等
Ｂ等
Ａ等
x1
[0.075,0.125]
／
25
／
x2
[0.225,0.375]
20
50
／
x3
[0.075,0.125]
20
50
200
x4
[0.075,0.125]
50
100
500
x5
[1.125,1.875]
50
／
／
x6
[12,20]
10
25
100
x7
[0.5625,0.935]
／
25
100
现进行成批生产，每批产量1,000个。
在原设计中，7个零件参数的标定值为：
x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括
标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？
（二）问题分析
此题是一个优化问题。
题中要求重新设计零件参数，并将总费用与原设计作比较。
显然，通过原设计的条件来求这种情况下的总费用，较综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本而言，相对简单，可以先将原设计情况下的总费用求出来。
要求重新确定零件参数，就是要确定其标定值和容差。
产品的参数决定于各零件的参数，产品参数偏离其目标值越远，产品的质量损失越大；同时，容差设计得越小，零件的生产成本就越高。
本题是一个带有随机因素的复杂系统，若用分析方法建模，需作许多简化假设，而与实际情况相差较远，以致无法应用，而若考虑通过某种途径得到多组随机数据用于计算，一方面比较简易方便，另一方面也可省去一些不必要的假设，使得模型不至于过于理想化。
此时可以考虑用计算机模拟的方法。
依据蒙特卡罗方法的基本思想，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值，通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验，从而产生一系列序列，随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
这种用数学递推公式产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。
不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。
蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：
构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。
在本题中，以总费用为目标函数，结合实际，合理假设每批次的1000个零件参数符合正态分布。
因标定值等于期望值，容差等于均方差的3倍，零件不同的容差等级又与其标定值存在固定的比例关系，通过MATLAB7.1编程，便可在一定范围内通过计算机用蒙特卡罗方法模拟出多组参数值代入计算。
在求原设计中的总费用时，由于已经给出了7种零件的标定值，同时容差等级选取最便宜的等级。
而零件的参数是受零件的标定值和容差所影响的，根据假设，零件参数是服从正态分布的一组数据，因而可以通过计算机模拟出范围在规定区间内的1000个服从正态分布的随机数；又因为假设了产品由各不同零件随机组合而成，可以直接将7种零件模拟出的7个1*1000的矩阵代入，从而计算出1000个产品的参数，又根据已知条件：
y的目标值y0为1.50，当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9,000元。
需要通过产品参数先统计出次、废品数，再求得此批产品的质量损失费用；又因为原设计中容差均取最便宜的等级，即得到每种零件的成本价格，从而最终算得总费用。
在重新设计参数的情况中，需要确定新的标定值并选定的容差等级。
，以求解原设计总费用的模型为基础，而当选取不同的容差等级时，零件参数集散程度不同，造成出现次、废品的概率不同，同时零件成本不同，造成总费用相差很大，可通过均匀分布随机函数选定7组标定值的情况下，用穷举法全面考虑其所有组合情况下的总花费，并一一比较，最终得出总花费的最小值，及此时各种零件对应的标定值与容差等级，即得出此方法下的最优方案。
（三）基本假设
1.假设零件参数均为随机变量。
2.假设生产部门无特殊要求，容差均为均方差的3倍。
3.假设每批生产的1000个零件，其参数符合正态分布，且相互独立。
4.假设总费用只包括零件的生产成本和产品为次、废品是的损失，不考虑其他花费。
5.假设产品由各不同零件随机组合而成。
6.假设任一种零件，其一个批次内所有零件的容差等级相同。
（四）符号说明
y粒子分离器某参数
y粒子分离器某参数的目标值
x第i种零件参数的标定值
m第i种零件的容差等级
k第i种零件容差相对标定值的百分比
第i种零件参数的期望值
第i种零件参数的均方差
g（i）第i种零件参数的容差选取不同等级所对应的成本（元）
m一批产品中的废品件数
n一批产品中的次品件数
z生产一批产品的总花费
（五）模型的建立与求解
1.模型（蒙特卡洛模拟法）：
1）标定值等于期望值，则在原设计中，根据已给出的各种零件的标定值，即可得出各种零件的期望：
=x、=x、=x、=x、=x、=x、=x
2）容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为1%，Ｂ等为5%，Ｃ等为10%，即给出容差与标定值得关系为：
A等：
容差=1%xB等：
容差=5%xC等：
容差=10%x
又因为容差可看做均方差的3倍：
A等：
3=1%xB等：
3=5%xC等：
3=10%x
得到均方差计算公式
=
3）根据实际经验，合理假设每批生产的1000个零件，其参数符合正态分布，根据求得的期望和均方差，通过计算机模拟，可得出符合条件的1000组随机数据。
代入公式：
分别求出不同情况下的y，与目标值y作比较，统计出1000组情况下的次品n与废品数m。
图1……
当y偏离目标值y00.1时，产品为次品，令n=n+1；当y偏离y00.3时，产品为次品，令m=m+1。
4）原计划中要求容差取最便宜的等级，将题表中数据及模型中一步步求得的数据代入目标函数：
z=[]*1000+9000*m+1000*n
5）对多组总费用求均值：
==3147701（元）
以上过程均通过MATLAB7.1编程实现（程序见附件）。
2.模型（蒙特卡洛模拟法与穷举法）：
与原设计不同，现各种零件的标定值与对应的容差等级都是未知的，需在综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本的前提下，重新设计零件标定值和容差，要使得总费用达到最小。
1）与模型类似，在零件参数标定值的容许范围内：
=[0.075,0.125]、=[0.225,0.375]、
=[0.075,0.125]、=[0.075,0.125]、
=[1.125,1.875]、=[12,20]、=[0.5625,0.935]
通过计算机用蒙特卡洛模拟法思想模拟出多组各零件均匀分布的标定值数据，并通过模型中推出的标定值、容差与期望、均方差的关系，得出正态分布的期望与均方差。
通过期望与均方差使用MATLAB7.1所提供的normrnd（）函数模拟出服从正态分布的零件参数x。
计算出产品参数y，统计出次、废品数，得出对应损失费用。
将求得的结果代入目标函数：
z=[]*1000+9000*m+1000*n
产品参数y分布统计图
过程中，针对一组固定的标定值，运用穷举法，计算各零件在每一种可能的容差等级组合下，所需花费的总费用，并一一比较，将其中的最小值，即最低花费，赋给z，同时得出此时各种零件所对应的标定值和所取容差等级：
最低费用：
z=420000（元）
各种零件标定值：
x=0.0892x=0.3644x=0.0913
x=0.1163x=1.3820x=12.9087x=0.5916
各种零件所取容差等级：
m=Bm=Bm=B
m=Cm=Cm=Bm=B
以上过程均通过MATLAB7.1实现（程序见附录）。
3.综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，新设计与原设计相比，总费用减少了2725515元。
新设计方案下，正品率85.5%，次品率为14.5%，废品率为0%。
模型的算法流程图如下：
初始化
产生均匀分布的标定值
m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7
计算标准差初始值j=1
产生服从正态分布的零件参数xi
计算产品参数y
|y-1.5|>0.3
废品数m=m+1
Y
N
次品数n=n+1
i<1000
总费用Z
N
Z=min
记录容差等级、次、废品数
Y
j<1000
输出结果
m1~m7未完全遍历
|y-1.5|>0.1
Y
N
N
Y
N
Y
（六）结果分析及模型评价
1．结果分析
综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，当x、x、x、x、x、x、x分别取0.0892、0.3644、0.0913、0.1163、1.3820、12.9087、0.5916，且容差等级分别取B、B、B、C、C、B、B时，总费用420000元。
原设计的总费用3为145515元，生产出的一批产品中，正品115件，次品630件，废品255件，正品率11.5%，次品率63%，废品率25.5%。
重新设计参数后，生产出的一批产品中，正品855件，次品145件，废品0件，即正品率85.5%，次品率为14.5%，废品率为0%。
与原设计相比，新设计的总费用降低了2725515元，花费大大减少，而正品率大大提升。
可见，此模型有较高的合理性与优越性，若将新设计的方案应用到实际生产中，可以为厂家带来更高的经济效益。
2．模型评价
1）本模型以产品的总花费为目标函数，便于理解，且具有实用性；
2）通过计算机在一定条件下用蒙特卡罗方法模拟出多组数据用于计算，大大简化了模型的复杂度；
3）在模型中对多组数据结果求均值，使结果更准确；
4）在模型中巧妙运用穷举法，考虑较为全面，找出了最小的总费用及此时各参数条件；
5）与原设计相比，本模型下得到的结果得到了很大的优化；
6）本模型缺点是随机性较强，理论依据及逻辑推理不够严谨，有待加强。
参考文献
[1]吴建国，汪名杰等．数学建模案例分析．中国水利水电出版社
[2]杨桂元，黄己立．数学建模．中国科学技术出版社
附件
MATLAB程序：
模型：
a=[0.10.30.10.11.5160.75];
k=[510101010105]/100;
fori=1:
7
q（i）=k（i）/3*a（i）;%根据容差计算均方差
end
fork=1:
1000
m=0;n=0;
%随机产生1000组服从正态分布的数据
x1=normrnd（a
（1）,q
（1）,1,1000）;
x2=normrnd（a
（2）,q
（2）,1,1000）;
x3=normrnd（a（3）,q（3）,1,1000）;
x4=normrnd（a（4）,q（4）,1,1000）;
x5=normrnd（a（5）,q（5）,1,1000）;
x6=normrnd（a（6）,q（6）,1,1000）;
x7=normrnd（a（7）,q（7）,1,1000）;
fori=1:
1000
%产品参数经验计算
y（i）=174.42*（x1（i）/x5（i））*（x3（i）/（x2（i）-x1（i）））^0.85*sqrt（（1-2.62*（1-0.36*（x4（i）/x2（i））^-0.56）^1.5*（x4（i）/x2（i））^1.16）/（x6（i）*x7（i）））;
ifabs（y（i）-1.5）>0.3%统计产品废品数
m=m+1;
else
ifabs（y（i）-1.5）>0.1%统计产品次品数
n=n+1;
end
end
end
z（k）=（25+20+20+50+50+10+25）*1000+9000*m+1000*n;%总费用包括零件成本和制造损失
end
s=mean（z）;%统计1000次实验总费用平均值
模型：
clearall
k=[510101010105]/100;
VLB=[0.0750.2250.0750.0751.125120.5625];
VUB=[0.1250.3750.1250.1251.875200.935];
g
（1）=25;g（5）=50;
m1=2;m5=1;
min=realmax;
%随机产生一千组标定值在容许范围[VLB,VUB]内的标定值
a1=unifrnd（VLB
（1）,VUB
（1）,1,1000）;
a2=unifrnd（VLB
（2）,VUB
（2）,1,1000）;
a3=unifrnd（VLB（3）,VUB（3）,1,1000）;
a4=unifrnd（VLB（4）,VUB（4）,1,1000）;
a5=unifrnd（VLB（5）,VUB（5）,1,1000）;
a6=unifrnd（VLB（6）,VUB（6）,1,1000）;
a7=unifrnd（VLB（7）,VUB（7）,1,1000）;
%使用穷举的方法，搜索最优容差方案
form2=1:
2%零件2
ifm2==1
k
（2）=10/100;
g
（2）=20;
elsek
（2）=5/100;
g
（2）=50;
end
form3=1:
3%零件3
ifm3==1
k（3）=10/100;
g（3）=20;
elseifm3==2
k（3）=5/100;
g（3）=50;
elsek（3）=1/100;
g（3）=200;
end
end
form4=1:
3%零件4
ifm4==1
k（4）=10/100;
g（4）=50;
elseifm4==2
k（4）=5/100;
g（4）=100;
elsek（4）=1/100;
g（4）=500;
end
end
form6=1:
3%零件6
ifm6==1
k（6）=10/100;
g（6）=10;
elseifm6==2
k（6）=5/100;
g（6）=25;
elsek（6）=1/100;
g（6）=100;
end
end
form7=2:
3%零件7
ifm7==2
k（7）=5/100;
g（7）=25;
elsek（7）=1/100;
g（7）=100;
end
forj=1:
1000%在相同容差选取方案下，计算最小总费用
m=0;
n=0;
q=k.*[a1（j）a2（j）a3（j）a4（j）a5（j）a6（j）a7（j）]./3;
%根据容差计算标准差
%随机产生1000组零件参数
x1=normrnd（a1（j）,q
（1）,1,1000）;
x2=normrnd（a2（j）,q
（2）,1,1000）;
x3=normrnd（a3（j）,q（3）,1,1000）;
x4=normrnd（a4（j）,q（4）,1,1000）;
x5=normrnd（a5（j）,q（5）,1,1000）;
x6=normrnd（a6（j）,q（6）,1,1000）;
x7=normrnd（a7（j）,q（7）,1,1000）;
fori=1:
1000
y（i）=174.42*（x1（i）/x5（i））*（x3（i）/（x2（i）-x1（i）））^0.85*sqrt（（1-2.62*（1-0.36*（x4（i）/x2（i））^-0.56）^1.5*（x4（i）/x2（i））^1.16）/（x6（i）*x7（i）））;
ifabs（y（i）-1.5）>0.3
%目标值y0=1.5,当Y偏离0.3时产品为废品
m=m+1;
else
ifabs（y（i）-1.5）>0.1
%当Y偏离目标值0.1时产品为次品，其余为正品
n=n+1;
end
end
end
z（i）=（g
（1）+g
（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7））*1000+9000*m+1000*n;%总费用，包括零件成本和损失
ifz（i）min=z（i）;
a00=[a1（j）a2（j）a3（j）a4（j）a5（j）a6（j）a7（j）];
%输出使总费用最小时的标定值
b00=[m1m2m3m4m5m6m7];
%输出总费用最小时的容差选取方案
c=m;%输出废品个数
d=n;%输出次品个数
end
end
end
end
end
end
end
min
a00
b00
c
d
即使生活费尽心思为难你，你也要竭尽全力熬过去；即使别人想方设法刁难你，你也要坚强勇敢挺过去。
做人当自强。
自己强，比什么都强！
不求事事顺利，但求事事尽心；不求控制他人，但求掌握自己。
记住，没有伞的孩子，必须努力奔跑。
靠自己的人，命最好！
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