新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx

新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx

《新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教版课时作业 第一章 142充要条件.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

新人教版课时作业第一章142充要条件

1．4.2　充要条件

学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．

知识点　充要条件

一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

1．“x＝0”是“（2x－1）x＝0”的充分不必要条件．（　√　）

2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．（　√　）

4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．（　√　）

一、充分、必要、充要条件的判断

例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件）．

（1）p：

数a能被6整除，q：

数a能被3整除；

（2）p：

x>1，q：

x2>1；

（3）p：

△ABC有两个角相等，q：

△ABC是正三角形；

（4）p：

|ab|＝ab，q：

ab>0.

解　

（1）∵p⇒q，q不能推出p，

∴p是q的充分不必要条件．

（2）∵p⇒q，q不能推出p，

∴p是q的充分不必要条件．

（3）∵p不能推出q，q⇒p，

∴p是q的必要不充分条件．

（4）∵ab＝0时，|ab|＝ab，

∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.

而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.

∴p是q的必要不充分条件．

反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

（1）定义法：

直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．

（2）集合法：

即利用集合的包含关系判断．

（3）传递法：

充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．

跟踪训练1　已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．

答案　充要

解析　因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，

充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．

二、充要条件的证明

例2　求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明　充分性：

因为a＋b＋c＝0，

所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，

得ax2＋bx－a－b＝0，即（x－1）（ax＋a＋b）＝0.

所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

必要性：

因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.

所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

延伸探究

求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

证明　必要性：

由于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一正根和一负根，

所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝

<0，

所以ac<0.

充分性：

由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝

<0，

所以方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实根，且两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有一正根和一负根．

反思感悟　充要条件证明的两个思路

（1）直接法：

证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．

（2）集合思想：

记p：

A＝{x|p（x）}，q：

B＝{x|q（x）}，若A＝B，则p与q互为充要条件．

跟踪训练2　已知a，b是实数，求证：

a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.

证明　充分性：

若a2－b2＝1成立，

则a4－b4－2b2＝（a2＋b2）（a2－b2）－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，

所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．

必要性：

若a4－b4－2b2＝1成立，

则a4－（b2＋1）2＝0，

即（a2＋b2＋1）（a2－b2－1）＝0.

因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，

所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.

综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.

三、充要条件的应用

例3　已知p：

－2≤x≤10，q：

1－m≤x≤1＋m（m>0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　p：

－2≤x≤10，q：

1－m≤x≤1＋m（m>0）．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有

或

解得m≤3.

又m>0，

所以实数m的取值范围为{m|0

延伸探究

1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解　p：

－2≤x≤10，q：

1－m≤x≤1＋m（m>0）．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，

所以AB.

所以

或

解不等式组得m>9或m≥9，

所以m≥9，

即实数m的取值范围是m≥9.

2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？

若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解　因为p：

－2≤x≤10，q：

1－m≤x≤1＋m（m>0）．

若p是q的充要条件，则

m不存在．

故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

反思感悟　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值（范围）的一般步骤

（1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．

（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组）求解．

跟踪训练3　已知p：

x<－2或x>3，q：

4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝

，

因为p是q的必要不充分条件，

所以BA，所以－

≤－2，即m≥8.

所以m的范围为{m|m≥8}．

1．“x>0”是“x≠0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．

2．已知x∈R，则“

>1”是“x<1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　“

>1”⇔0

∴“

>1”是“x<1”的充分不必要条件．

3．设条件甲为0

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　甲对应集合A＝{x|0

4．若命题p：

两直线平行，命题q：

内错角相等，则p是q的________条件．

答案　充要

5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．

（1）“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；

（2）“x<5”是“x<3”的_____________．

答案　

（1）充要条件　

（2）必要不充分条件

解析　

（1）设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

（2）设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．

1．知识清单：

（1）充要条件概念的理解．

（2）充要条件的证明．

（3）根据条件求参数范围．

2．方法归纳：

等价转化为集合间的关系．

3．常见误区：

条件和结论辨别不清．

1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x（x2－1）＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.

2．设a，b∈R，则“（a－b）a2<0”是“a

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　因为a，b∈R，（a－b）a2<0，

可得a

由a

所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“（a－b）a2<0”是“a

3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

答案　C

4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的（　　）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.

5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.

6．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的____________条件．

答案　既不充分又不必要

解析　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．

7．若“x≤－1，或x≥1”是“x

答案　－1

解析　“x≤－1，或x≥1”是“x

所以实数a的最大值为－1.

8．m＝1是函数y＝

为二次函数的________条件．

答案　充分不必要

解析　当m＝1时，函数y＝x2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝1是y＝

为二次函数的充分不必要条件．

9．设x，y∈R，求证：

|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明　①充分性：

如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．

当xy＝0时，不妨设x＝0，

则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．

同理，当y＝0，或x＝0且y＝0时，|x＋y|＝|x|＋|y|，

∴当xy＝0时，等式成立，

当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，

又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，

∴等式成立．

当x<0，y<0时，|x＋y|＝－（x＋y），

|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．

总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

②必要性：

若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

得|x＋y|2＝（|x|＋|y|）2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0.

综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．

10．设命题p：

≤x≤1；命题q：

a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　设A＝

，B＝{x|a≤x≤a＋1}，

由p是q的充分不必要条件，可知AB，

∴

或

解得0≤a≤

，

故所求实数a的取值范围是0≤a≤

.

11．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0

12．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则（　　）

A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件

D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件

答案　B

解析　由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈C⇏x∈A.

所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．

13．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.

答案　－2

解析　当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

14．k>4，b<5是一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．

答案　充要

解析　∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，

∴直线y＝（k－4）x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；

y＝（k－4）x＋（b－5）与y轴交于（0，b－5）与x轴交于

，

由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知

∴

15．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.

答案　3或4

解析　x＝

＝2±

，因为x是整数，

即2±

为整数，所以

为整数，且m≤4，又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．

16．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

解　当a＝0时，x＝－

符合题意．

当a≠0，令f（x）＝ax2＋2x＋1.

∵f（0）＝1>0，

∴若a>0，则－

<0，

>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0

若a<0，则

<0，Δ＝4－4a>0，

方程恒有两异号实数根．

综上所述，a≤1为所求．