实验08 数据处理与多项式计算第6章.docx
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实验08数据处理与多项式计算第6章
实验08数据处理与多项式计算
（第6章MATLAB数值计算）
一、实验目的
1.掌握数据统计和分析的方法。
2.掌握数值插值与曲线拟合的方法及其应用。
3.掌握多项式的常用运算。
二、实验内容
1.检验一组随机数的性质
利用MATLAB提供的rand函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质：
（1）均值和标准方差。
（2）最大元素和最小元素。
（3）大于0.5的随机数个数占总数的百分比。
命令及运行结果（建议在命令窗口中逐条输入命令）：
2.学生成绩表处理
将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P中，进行如下处理：
（1）分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。
（2）分别求每门课的平均分和标准方差。
（3）5门课总分的最高分、最低分及相应学生序号。
（4）将5门课总分按从大到小顺序存入zcj中，相应学生序号存入xsxh。
提示：
上机调试时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来表示学生成绩。
命令及运行结果（建议在命令窗口中逐条输入命令）：
3.三次样条插值应用
某气象观测得某日6:
00~18:
00之间每隔2h的室内外温度（0C）如实验表1所示。
实验表1室内外温度观测结果（0C）
时间h681012141618
室内温度t118.020.022.025.030.028.024.0
室外温度t215.019.024.028.034.032.030.0
试用三次样条插值分别求出该日室内外6:
30~17:
30之间每隔2h各点的近似温度（0C）。
程序：
运行结果：
4.曲线拟合应用
已知lgx在[1,101]区间10个整数采样点的函数值如实验表2所示。
实验表2lgx在10个采样点的函数值
x1112131415161718191101
lgx01.04141.32221.49141.61281.70761.78531.85131.90851.95102.0043
试求lgx的5次拟合多项式p（x），并绘制出lgx和p（x）在[1,101]区间的函数曲线。
程序：
结果图形：
5.多项式计算
有3个多项式P1（x）=x4+2x3+4x2+5，P2（x）=x+2，P3（x）=x2+2x+3，试进行下列操作：
（1）求P（x）=P1（x）+P2（x）P3（x）。
（2）求P（x）的根。
（3）当x取矩阵A的每一元素时，求P（x）的值。
其中：
（4）当以矩阵A为自变量时，求P（x）的值。
其中A的值与第（3）题相同。
命令及运行结果（建议在命令窗口中逐条输入命令）：
三、实验提示
四、教程：
第6章MATLAB数值计算（1/2）
6.1数据处理与多项式计算p139
6.1.1数据统计与分析
1.求最大元素（max）和最小元素（min）
（1）求向量的最大元素和最小元素
求向量X的最大元素：
Øy=max（X）：
返回X的最大元素，存入y。
Ø[y,I]=max（X）：
返回X的最大元素，存入y，最大元素的序号存入I。
若X中包含复数元素，则按模取最大值。
min类似。
例求向量x的最大值p139
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max（x）
[y,l]=max（x）
z=min（x）
[z,k]=min（x）
y=
72
y=
72
l=
2
z=
-43
z=
-43
k=
1
（2）求矩阵的最大元素和最小元素
求矩阵A的最大元素：
Ømax（A）：
返回一个行向量，第i个元素是A的第i列上的最大值。
Ø[Y,U]=max（A）：
行向量Y记录A的每列的最大值，行向量U记录每列最大值的行号。
Ømax（A,[],dim）：
dim取1或2。
取1时，与max（A）相同；取2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行上的最大值。
min类似。
例6.1求矩阵的最大和最小元素p140
求矩阵A的每行及每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元素。
A=[13-5678;
2563-235;
7825563;
10-1];
max（A,[],2）%对行
min（A,[],2）%对行
max（A）%对列
min（A）%对列
max（max（A））%对矩阵
min（min（A））%对矩阵
ans=
78
63
563
1
ans=
-56
-235
25
-1
ans=
7863563
ans=
1-56-235
ans=
563
ans=
-235
（3）两个向量或矩阵对应元素的比较
函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较。
ØU=max（A,B）：
U是与A,B同型的向量或矩阵，每个元素等于A,B对应元素的较大者。
ØU=max（A,n）：
n是一个标量，U是与A同型的向量或矩阵，每个元素等于A对应元素和n中的较大者。
min类似。
例max用于矩阵的比较p141
求两个2×3矩阵所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。
x=[456;148]
y=[175;457]
p=max（x,y）
q=max（x,4）
x=
456
148
y=
175
457
p=
476
458
q=
456
448
2.求平均值（mean）和中值（median）
●求数据序列平均值指的是算术平均值。
●中值是指：
（数据序列，指按升序或降序）
Ø数据序列为奇数个时，中值的大小恰好处于数据序列各个值的中间。
Ø数据序列为偶数个时，中值等于中间的两项之平均值。
注：
中值与存放位置的顺序无关。
>>median（[12543]）
ans=
3
>>median（[125436]）
ans=
3.5000
设X是向量，A是矩阵，求平均值和中值：
Ømean（X）：
返回向量X的算术平均值。
Ømedian（X）：
返回向量X的中值。
Ømean（A）：
返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。
Ømean（A,dim）：
dim为1，对各列操作，等同于mean（A）；
dim为2，对各行操作。
median类似。
例求向量的平均值和中值p142
y=[9-256712];
mean（y）
median（y）
%中值为6和7的平均值，与存放位置无关
%y按升序排序[-2567912]
ans=
6.1667
ans=
6.5000
3.求和（sum）与求积（prod）
设X是向量，A是矩阵，调用格式：
Øsum（X）：
返回X各元素的和。
Øsum（A）：
返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。
（对列）
Øsum（A,dim）：
dim为1，对各列操作，等同于sum（A）；
dim为2，对各行操作。
prod类似。
例6.2求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积p142
A=[1234;
5678;
9101112];
S=prod（A,2）%对行
prod（S）%对矩阵
prod（A（:
））
S=
24
1680
11880
ans=
479001600
ans=
479001600
4.累加和（cumsum）与累乘积（cumprod）
设U=u1,u2,…,un）是向量，且
称
V为U的累加和向量。
W为U的累乘积向量。
设X是向量，A是矩阵，调用格式：
Øcumsum（X）：
返回向量X累加和向量。
Øcumsum（A）：
返回一个与A同型的矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。
Øcumsum（A,dim）：
dim为1，对各列操作，同cumsum（A）；
dim为2，对各行操作。
cumprod类似。
例6.3求累乘积X=（1!
2!
…,10!
）p143
>>X=cumprod（1:
10）
X=
Columns1through5
12624120
Columns6through10
7205040403203628803628800
5．标准方差（std）
数据序列x1,x2,…xN的标准方差为：
或
其中
设X是向量，A是矩阵，调用格式：
Østd（X）：
返回一个标准方差σ1。
Østd（A）：
返回一个行向量，它的各个元素是矩阵A各列的标准方差σ1。
（按列）
ØY=std（A,flag,dim）：
●dim=1时，按列。
dim=2时，按行。
●flag=0时，求σ1。
flag=1时，求σ2。
●缺省时，flag=0，dim=1。
例6.4标准方差p143
对二维矩阵x，从不同维方向求标准方差。
x=[456;148];
y1=std（x,0,1）%σ1,对列
x1=mean（x）;%验证
X1=x-ones（2,1）*x1;
sqrt（sum（X1.^2）/1）
y2=std（x,1,1）%σ2,对列
sqrt（sum（X1.^2）/2）
y3=std（x,0,2）%σ1,对行
x2=mean（x,2）;
X2=x-x2*ones（1,3）;
sqrt（sum（X2.^2,2）/2）
y4=std（x,1,2）%σ2,对行
sqrt（sum（X2.^2,2）/3）
y1=
2.12130.70711.4142
ans=
2.12130.70711.4142
y2=
1.50000.50001.0000
ans=
1.50000.50001.0000
y3=
1.0000
3.5119
ans=
1.0000
3.5119
y4=
0.8165
2.8674
ans=
0.8165
2.8674
6.相关系数（corrcoef）
对于两组数据序列xi,yi（i=1,2,...,n），两组数据的相关系数为：
其中
调用格式：
Øcorrcoef（A）：
返回从矩阵A形成的一个相关系数矩阵Rn×n，n为A的列数，Rij为第i，j列的相关系数。
Øcorrcoef（X,Y）：
X,Y是向量，若X,Y是行向量则转换为列向量，等同于corrcoef（[X,Y]）。
例6.5均值、标准方差和相关系数矩阵p144
生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。
X=randn（10000,5）;%标准正态分布随机数
M=mean（X）
D=std（X）
R=corrcoef（X）
M=
0.01220.0015-0.00090.0070-0.0110
D=
1.00010.98861.00571.00120.9992
R=
1.0000-0.01000.01890.00340.0057
-0.01001.00000.01780.00350.0015
0.01890.01781.00000.0274-0.0053
0.00340.00350.02741.0000-0.0100
0.00570.0015-0.0053-0.01001.0000
7.排序（sort）
Øsort（X）：
返回一个对向量X中的元素按升序排列的新向量。
Ø[Y,I]=sort（A,dim,mode）：
●dim=1/2，按矩阵A的列/行排序，默认取1。
●mode='ascend'/'descend'，按升序/降序，默认取'ascend'。
●Y是排序后的矩阵。
●I记录Y中的元素在A中位置。
（下标排列）
例6.6对二维矩阵做各种排序p145
A=[1,-8,5;
4,12,6;
13,7,-13];
sort（A）%按列，升序
sort（A,2,'descend'）%按行，降序
[X,I]=sort（A）
ans=
1-8-13
475
13126
ans=
51-8
1264
137-13
X=
1-8-13
475
13126
I=
113
231
322
6.1.2数据插值p146
y=f（x）的n组数据
x
x1x2...xn
f（x）
y1y2...yn
数据插值：
构造一个光滑函数y=g（x），使得f（xi）=g（xi）（i=1,2,...,n）。
●按自变量个数划分：
Ø一维插值（interp1）
Ø二维插值（interp2）
Ø多维插值（interp3,interpn）
●按插值函数划分：
Ø线性插值
Ø多项式插值
Ø样条插值（spline）
1.一维数据插值（interp1）
根据X,Y的值，计算函数在X1处的值Y1。
Y1=interp1（X,Y,X1,'method'）
●X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值。
●X1是一个向量或标量，描述欲插值的点。
●Y1是一个与X1等长的插值结果。
●method是插值方法:
Ø'linear'：
线性插值（默认方法）
Ø'nearest'：
最近点插值
Ø'cubic'：
3次多项式插值
Ø'spline'：
3次样条插值
注：
X1取值不能超出X的范围，否则出现“NaN”错误。
◆3次样条插值函数：
Y1=spline（X,Y,X1）
等同于Y1=interp1（X,Y.X1,'spline'）
例6.7（一维插值）计算概率积分p146
给出概率积分：
的数据表，用不同的插值方法计算f（0.472）。
x
0.46
0.47
0.48
0.49
f（x）
0.4846555
0.4937542
0.5027498
0.5116683
x=0.46:
0.01:
0.49;
y=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];
formatlong
f=inline（'2/sqrt（pi）*exp（-x.^2）'）;%内联函数
quad（f,0,0.472）%数值积分，准确值
interp1（x,y,0.472）
interp1（x,y,0.472,'nearest'）
interp1（x,y,0.472,'spline'）
interp1（x,y,0.472,'cubic'）
formatshort
ans=
0.495552809375116（准确值）
ans=
0.495553320000000
ans=
0.493754200000000
ans=
0.495560736000000
ans=
0.495561119712056
例6.8（一维插值）离散数据插值p147
某检测参数f随时间t的采样结果如表，用数据插值法计算
t=2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57
时的f值。
t
051015202530
f
3.10252.256879.51835.92968.84136.25237.9
t
35404550556065
f
6152.76725.36848.36403.56824.77328.57857.6
X=2:
5:
57;
T=0:
5:
65;
F=[3.1025,2.256,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,...
6152.7,6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];
F1=interp1（T,F,X）
F2=interp1（T,F,X,'nearest'）
F3=interp1（T,F,X,'spline'）
F4=interp1（T,F,X,'cubic'）
2.二维数据插值（interp2）
Z1=interp2（X,Y,Z,X1,Y1,'method'）
●X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点。
●Z是与参数采样点对应的函数值。
●X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。
●Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。
●method的取值与一维插值函数相同。
●X,Y,Z也可以是矩阵形式。
注：
X1,Y1的取值不能超出X,Y的给定范围，否则，给出“NaN”错误。
例6.9（二维插值）计算z=x2+y2p148
设z=x2+y2，对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。
x=0:
0.1:
1;y=0:
0.2:
2;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;%产生自变量网格坐标
Z=X.^2+Y.^2;%求对应的函数值
interp2（x,y,Z,0.5,0.5）%在（0.5,0.5）点插值
%在（0.5,0.4）点和（0.6，0.4）点插值
interp2（x,y,Z,[0.50.6],0.4）
%在（0.5,0.4）点和（0.6，0.5）点插值
interp2（x,y,Z,[0.50.6],[0.40.5]）
%下一命令在（0.5,0.4）,（0.6,0.4）,（0.5,0.5）
%和（0.6,0.5）各点插值
interp2（x,y,Z,[0.50.6]',[0.40.5]）
interp2（x,y,Z,[0.50.6]',[0.40.5],'spline'）
例6.10（二维插值）3次多项式插值p148
某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。
用x表示测量点距离（m），用h表示测量时间（s），用T表示测得各点的温度（℃），测量结果如下。
Tx
h
02.557.510
0
30
60
9514000
884832126
6764544841
试用3次多项式插值求出在一分钟内每隔10s、钢轨每隔0.5米处的温度。
x=0:
2.5:
10;
h=[0:
30:
60]';
T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
xi=[0:
0.5:
10];
hi=[0:
10:
60]';
temps=interp2（x,h,T,xi,hi,'cubic'）;
mesh（xi,hi,temps）;
6.1.3曲线拟合p150
1.曲线拟合与最小二乘原理
y=f（x）的n组数据
x
x1x2...xn
f（x）
y1y2...yn
Ø曲线拟合
构造函数y=g（x）去逼近f（x），使误差
δi=g（xi）-f（xi）（i=1,2,...,n）
在某种意义上达到最小。
Ø曲线拟合的最小二乘原理
构造m（m≤n）次多项式
p（x）=a1xm+a2xm-1+...+amx+am+1
使得
达到最小。
2.曲线拟合的实现
用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。
调用格式：
[P,S]=polyfit（X,Y,m）
根据采样点X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。
ØX,Y是两个等长的向量。
ØP是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。
例6.11曲线拟合p150
用一个三次多项式在[0,2π]内逼近sinx。
X=linspace（0,2*pi,50）;
Y=sin（X）;
P=polyfit（X,Y,3）
P=
0.0912-0.85961.8527-0.1649
X=linspace（0,2*pi,20）;
Y=sin（X）;Y1=polyval（P,X）
plot（X,Y,':
o',X,Y1,'-*'）
legend（'sinx','多项式'）
6.1.4多项式计算p151
若n次多项式表示为：
p（x）=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an
则在MATLAB中，p（x）表示为向量形式：
[a0,a1,...,an-1,an]
1.多项式的四则运算
（1）多项式的加减运算
Ø加减运算就其所对应的系数向量的加减运算。
Ø若多项式的次数不同，则应把低次的多项式系数不足的高次项用0补足。
（2）多项式乘法运算
conv（P1,P2）：
用于求多项式P1和P2的乘积。
这里，P1、P2是两个多项式系数向量。
（3）多项式除法
[Q,r]=deconv（P1,P2）：
用于对多项式P1和P2作除法运算。
ØQ返回多项式P1除以P2的商式。
Ør返回P1除以P2的余式。
ØQ和r仍是多项式系数向量。
deconv是conv的逆函数，即有
P1=conv（P2,Q）+r。
例6.12多项式四则运算p152
设
f（x）=3x5-5x4+2x3-7x2+5x+6
g（x）=3x2+5x-3
①求f（x）+g（x）、f（x）-g（x）
②求f（x）×g（x）、f（x）/g（x）
f=[3,-5,2,-7,5,6];
g=[3,5,-3];
g1=[0,0,0,g];
f+g1
f-g1
conv（f,g）
[Q,r]=deconv（f,g）
conv（g,Q）+r
ans=
3-52-4103
ans=
3-52-1009
ans=
90-284-266415-18
Q=
1.0000-3.33337.2222-17.7037
r=
0000115.1852-47.1111
ans=
3.0000-5.00002.0000-7.00005.00006.0000
2.多项式的导函数
Øp=polyder（P）：
求多项式P的导函数
Øp=polyder（P,Q）：
求P·Q的导函数
Ø[p,q]=polyder（P,Q）：
求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。
例6.13求有理分式的导数p152
P=[3,5,0,-8,1,-5];
Q=[10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100];
[p,q]=po
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