用MatlabSimulink学控制.docx
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用MatlabSimulink学控制
控制器设计中的状态空间法
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系统
1、建模
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4、根轨迹
5、频率
6、状态空间
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Simulink
8、建模
9、控制
控制器设计中的状态空间法（State-SpaceMethodsforControllerDesign）
控制器设计中的频率分析法就是在频域中分析系统的一些特征,而状态空间法就是在时域中分析、设计系统。
下面通过一个例子来学习状态空间法设计控制器。
1、建立数学模型
由牛顿定律与KVL建立有:
设各参数取值分别为:
M=0、05kg,R=1Ω,L=0、01H,K=0、0001,g=9、8m/s,取h=0、01m（假设此时的电流为1、4A）,在其附近线性化系统:
其中,
控制变量u为输入电压
关心的输出为
可以写出状态空间方程,从而确定A,B,C,D。
A=[010;9800-2、8;00-100];
B=[0;0;100];
C=[100];
2、分析数学模型
poles=eig（A）
执行后结果有一正值31、3050,表示开环系统不稳定。
可以验证:
t=0:
0、01:
2;
u=zeros（size（t））;
x0=[0、0100];
sys=ss（A,B,C,0）;
[y,t,x]=lsim（sys,u,t,x0）;
plot（t,y）
title（'OPen-LoopResponsetoNon-ZeroINitialCondition'）
xlabel（'Time（sec）'）
ylabel（'BallPosition（m）'）
3、使用极点位置设计控制器（ControlDesignUsingPolePlacement）
如果我们能够知道各时刻各状态变量的值,即用传感器实时测量磁质质量块的位置、速度,电路中的电流,称为full-state。
设计控制器作用于原系统如下所示:
如上图,简化起见,暂时不考虑
则
闭环反馈系统的状态空间方程变为:
这样系统的极点位置就变为
的特征值,因此我们可以通过改变矩阵K的值来得到目标极点,进而实现目标响应,而这就就是状态空间法控制系统的关键。
Matlab提供了 place（A,B,P） 及 acker（A,B,P） （多个极点处于同一位置时使用）函数来确定目标极点所对应的K值,其中P为目标极点向量。
p1=-20+20i;
p2=-20-20i;
p3=-100;//为三阶系统确定两个主极点,近似为我们熟悉的二阶系统,便于分析
K=place（A,B,[p1p2p3]）;
sys_c1=ss（A-B*K,B,C,0）;
lsim（sys_c1,u,t,x0）;//绘制系统的零输入响应
xlabel（'Time（sec）'）
ylabel（'BallPosition（m）'）//轴标
由响应曲线可见,结果相当理想。
当然设置不同的极点会对应不同的动态响应,当动态响应不满足要求时,就要对应调节极点位置,比如动态响应过慢时,尝试向左移动主极点的位置,以得到更快的动态响应。
现在来考虑初始状态为0,输入信号为阶跃信号时的情况,为了使得系统的线性化有效,阶跃值应当选取的尽可能小,重写输入:
u=0、001*ones（size（t））;
lsim（sys_c1,u,t）;
axis（[02-4E-60]）;
执行上面的程序发现虽然系统稳定,但输出值并没有跟随阶跃信号。
可以通过前置控制量Nbar来解决这个问题:
Matlab中使用函数 rscale、m来确定Nbar的合适值,Nbar= rscale（sys,K） （sys为原开环系统状态空间方程）,现在:
Nbar=rscale（sys,K）;
lsim（sys_c1,Nbar*u,t）;
axis（[0201、2*10^-3]）
此时系统输出稳定在0、001。
当然,并非所有的系统都可以用这种方法来实现控制,系统具有可控性的充要条件就是系统的可控性矩阵（controllabiltymatrix,CO）满秩。
Matlab提供了ctrb（A,B） 及 ctr（sys） 来得到可控性矩阵（参数皆为原开环系统的）。
而矩阵的秩可由rank函数得到。
如判断例子系统的可控性:
rank（ctrb（A,B））
结果为3,CO满秩,即系统可控。
4、设计观察器（ObserverDesign）
在实际情况中我们常常不能获得所有状态量的当前值,这就是就需要设计观察器来估计它们,如下所示:
上边观察器只适用于y=Cx即D=0的系统,观察器基本就是控制系统的复制,它们有相同的输入,微分方程也基本相同。
这里先只考虑非0初始值,输入为0时的响应。
首先分析观察器,观察器的极点为
的特征值,由于我们需要观察器有比对象系统快得多的响应,我们将观察器传递函数的极点取的大五倍,使其有比系统快得多的响应。
通常观察器的初始状态为0,使得误差初始值与系统相等,即为x0,观察系统响应（为了同时得到估计误差,此时将新的状态向量
定义为
由此根据系统框图得到新的系统矩阵
输入矩阵
输出矩阵
）:
op1=-100;
op2=-101;
op3=-102;//观察器的极点
L=place（A',C',[op1op2op3]）';//由A,C,以及观察器极点确定L
At=[A-B*K,B*K;zeros（size（A））,A-L*C];
Bt=[B*Nbar;zeros（size（B））];
Ct=[C,zeros（size（C））];//新的状态空间参数
sys=ss（At,Bt,Ct,0）;
lsim（sys,zeros（size（t））,t,[x0x0]）;//绘制系统的零输入响应
title（'LinearSimulationResults（withobserver）'）
xlabel（'Time（sec）'）
ylabel（'BallPosition（m）'）//标题、轴标
与可控性对应,系统就是否具有可观性的充要条件就是观测性矩阵（observabilitymatrix,OB）满秩。
Matlab提供了obsv（A,C） 及 obsv（sys） 来得到可观性矩阵（参数皆为原开环系统的）,如判断例子系统的可观性:
rank（（obsv（A,C）））
结果为3,OB满秩,即系统可控。
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