微积分作业对外经济贸易大学远程教育.docx
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微积分作业对外经济贸易大学远程教育
..
一、导数的运算
1，已知y
x2
1
，则
y=（
）。
1
x2
2x
B,
4x
2x
4x
A,
（1x）
C,
2）
D,
（1x2）
2
（1x
2
（1x2）
2
解
（x2
1）（1x2）（x2
1）（1x2）
y
（1x2）2
2x（1x2）（x21）2x
（1
x2）2
4x
（1x2）2。
2x2
，则y=（
）。
2y
cosx
4xcosx
2x2sinx
4xcosx
2xsinx
A,
B,
x
cosx
cos2
4xcosx2x2sinx
4cosx
2x2sinx
C,
cos2x
D,
cos2x
解
y（2x2/cosx）
2（x2）cosxx2（cosx）
cox2x
2（2xcosx
x2sinx）
cos2x
4xcosx2x2sinx
cos2
。
x
;.
..
3ysinx2，则y=（）。
A,cosx2B,2xcosx2C,2cosx2D,2xcosx
令ux2，则ysinu，
yucosu，
ux2x，
所以yxyuux
2xcosu
2xcosx2。
4yln（x1x2），则y=（）。
1
B,
1
2x
D,
2
A,
1x2
C,
x2
1x2
x
1x2
x
1
1
令
y=lnu
，u
x
v2
，v=1+x
2
则
yu
1，uv
1
1
，vx2x
1v2
1
u
2
所以
yx
yuuvvx
1
。
1
x2
今后可约定yxy
，省略下标x。
5
ysin（lnx）3，则y
=（
）。
;.
..
A,
cos（lnx）3（lnx）2
B,
cos（lnx）3
C,
3
cos（lnx）3（lnx）
D,
3
cos（lnx）3（lnx）2
x
x
令
y
sinv,
v
u3
ulnx，，
则
y
yvvuux
cosv3u2
1
x
3cos（lnx）3
（lnx）2。
x
6：
y
3sin2x,则y=（
）。
A,
2cos2x3sin2x
B,
2cos2xln3
C,2cos2x
3sin2xln3
D,
cos2x3sin2xln3
解
y
3sin2xcos2x2ln3
2cos2x3sin2xln3。
7,
设函数y
earccos（2x），则dy等于（
）
dx
A．
earccos（2x）
B
．
2earccos（2x）
C．
2earccos（2x）
2earccos（2x）
14x2
14x2
12x2
D．
1x2
解答：
y
（earccos（2x））=earccos（2x）[arccos（2x）]
=
earccos（2x）
（2x）
=
2earccos（2x）
1
4x2
1
4x2
8，导数是
1的函数是（）
x3
1
A，
1
3B，
1
2
C，1
1
D，
4
2x2
2x2
4x4
4x4
;.
..
解答:
（
1
3）=
1（x2）=x-3
2x2
2
9，函数1
的导数是（）
x3
A，
3B，3
C，3
D，
3
x2
x4
x2
x4
-4
解答:
（13）=（x3）=-3x
x
10,设ysin2x，则y=（
）。
A,2
sin2x
B,2
sin2xdx
C,
sin2xD,
sin2xdx
y（sin2x）2sinxcosxsin2x,
11,
设y
1
lnx，则
y
=（
）
A,
1
B,
1
x1
lnx
2x
1lnx
C,
1
D,
2
1
lnx
1
lnx
12,
y
eaxsinbx，则y
=（
）
A,
eax（bcosbx
asinbx）
B,
eax（bcosbx
asinbx）
C,
eax（bcosbx
asinbx）
D,
eax（bcosbx
asinbx）
dyd（eaxsinbx）
eaxd（sinbx）sinbx·deax
eax·cosbxd（bx）sinbx·eaxd（ax）
beaxcosbxdx（a）sinbxeaxdx
eax（bcosbxasinbx）dx。
;.
..
1
13，（x2）
=（
）,
1
1x
A,
1x2
B,
2
2
1
1
2
C,
x
2
3
1
2
D,
x
2
3
2
14,（e2x）
=（
）
A,
e2x
B,
e2x
C,
2e2x
D,
2e2xdx
15,（log2
x）=（
）
A,
2log2eB,
1log2eC,
1dx
D,
1
x
x
x
x
16,（5x）
=（
）
A,
5xln5B,
5x
C,
5xdx
D,
5ln5
17,（ln2x）=（）
2
1
1
A,LnxB,
C,
D,
x
2x
x
18,设y=sin7x,则y=（）
A,-7cos7xB,7cosxC,7cos7xD,cos7x
19,设y=xcos（-x）,则y=（）
A,cos（-x）-xsin（x）B,cos（-x）+xsin（-x）
C,cos（-x）+sin（x）D,cos（-x）-sin（-x）
20,（tgx8）=（）
;.
..
1
B,
1
1
1
A,
cos2x
C,
D,
cos2
x
cosx
cosx
一、导数的运算答案
1,（D）
2,（C
）
3,（
B）
4,（A）
5,（D
）6,（C）
7,（B）
8,（A）
9,（D
）10,（C）
11,（
B）
12,（A）
13,（D
）
14,（
C）15,（
B）
16,（A
）
17,（D
）
18,（
C）
19,（
B）
20,（A
）
;.
..
二、函数的微分
1
1，dx
2
=（
A,
1x
2
2,de2x=（
1
2
）,
B,
1x
2
）
1
1x
2
dxC,
2
3
3
2
D,
1x2dx
2
A,2e2xB,e2xC,2e2xdxD,2e2xdx
3,dlog2
x=（
）
A,
1log2eB,
1log2edxC,
1dx
D,
1
x
x
x
x
4,d5x
=（
）
A,
5
x
dx
B,
5
x
ln5
C,
5
xdx
D,
5
x
ln5
5,dln2x=（
）
A,LnxdxB,
2dxC,
1dx
D,
1dx
x
2x
x
6,dsin7x=（）
A,7cosxdxB,7cosxC,7cos7xdxD,7cos7x
7,dcos（-x）=（）
A,-sinxdxB,sin（-x）dxC,sin（-x）D,-sin（-x）dx
8,d（tgx1）=（）
;.
..
A,1dxB,1C,1dxD,1
cos2xcos2xcosxcosx
9,d（2ctgx）=（）
2
B,
1
dxC,
1
dx
D,
2
dx
A,
2
sin2
sin2
sin2
sin
x
x
x
x
10,darcsin2x
=（
）
A,
2
B,
2
4x2
dx,
1
1
4x2
C,
2
dx,
D,
1
4x2
dx,
1
14x2
11,darccos（x1）=（）
1
1
A,
dx
B,
dx
1）2
（x1）2
1（x
1
1
dx,
1
C,
D,
1）2
1
x2
1（x
12,
darctgx2
=（
）
A,
2x4
dx
B,
1
2dx
1
x
1
x
C,
2x
D,
1
1
x
4
1
x2
13,darcctg3x=（）
;.
..
1
3
B,
1
dx,
9x2
1x2
A,
C,
3
D,
3
2
dx
2dx
1
9x
1
9x
14,设y
sin2x，则dy=
（
）
A,2
sin2x
B,2
sin2xdx
C,
sin2xdx
D,
sin2x
y
（sin
2x）
2sinxcosx,
dy
2sinxcosxdxsin2xdx
15,设y
1lnx，则dy=
（
）
A,dy
1
B,
dy
1
dx
2x
1
2x1
lnx
lnx
C,
dy
1
D,
dy
1
1
dx
dx
2
lnx
1
lnx
16,
y
eaxsinbx，则dy=
（
）
A,
e
ax
（
b
bx
a
sin
bx
dx
B,
eax
（
b
cos
bx
a
sin
bx
）
dx
cos
）
C,
eax（bcosbx
asinbx）
D,
eax（bcosbx
asinbx）
dyd（eaxsinbx）
eaxd（sinbx）sinbx·deax
eax·cosbxd（bx）sinbx·eaxd（ax）
beaxcosbxdx（a）sinbxeaxdx
eax（bcosbxasinbx）dx。
;.
..
17,函数yln（5tgx）的微分是（）
A，dy
1
dxB，dy
1
dx
tgxcosx
sin（2x）
C，dy
5
dx
D
，dy
2
dx
tgx
sin（2x）
解答：
dydln（5tgx）=d[ln（tgx）
ln5]=dln（tgx）
dln5
=
dln（tgx）=
1
dtgx=
1
1
dx=
1
dx=
2
dx
tgx
tgxcos2x
sinxcosx
sin（2x）
18,设f（x）
1
ln（12x），则f'（x）
（
）。
x
（A）1
1
（B）
1
1
（C）1
2
（D）1
2
x2
12x
x2
12x
x2
12x
x2
12x
19,设函数y
dy
arccos（2x），则
dx
等于（）
x0
A．-1B．-2C．-3D．-4
20,9.设yln
1
x2,则y''|x0（
）.
1
x
3
3
1
1
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
二、函数的微分答案
1,（D）
2,（C
）
3,（B）
4,（A）
5,（D
）
6,（C）
7,（B）
8,（A）
9,（D
）
10,（
C）
11,（
B）
12,（A
）
13,（D
）
14,（
C）
15,（
B）
16,（A
）
17,（D
）
18,（
C）
19（
B）
20,（A
）
;.
..
三、隐函数的导数
1,
y=f（x）
由方程
yx2
siny
0决定，则yx=（
）。
A,
yx
2x
B,
yx
x
1cosy
cosy
1
C,
yx
2x
D,
yx
2x
cosy
cosy
1
1
解将二元方程
yx2siny0
两边对x求导，得
yx2xcosyyx0，
由此解得
yx
2x
。
1
cosy
2，已知x2
2xy
y2
2x，则由此方程决定的隐函数
yf（x）的导数是（
）。
dy
1x
y
dy
1
x
y
A,
x
y
B,
x
y
dx
dx
dy
1
xy
dy
1
x
y
C,
x
y
D,
x
y
dx
dx
对方程两边取微分，
d
（
x
2
2
xy
y
2）
d
（2
）
x，
即
d（x
2）
d（2xy）
d（y2）
2dx，
亦即
2xdx
2xdy
2ydx2ydy2dx，
;.
..
或
（2x2y）dy
（22x2y）dx，
于是
y
dy
1x
y。
dx
x
y
3，
yarctg（x
y），则y
等于（
）
A．
1
B，（x
y）
2
sin2（x
y）
C，
1
D，
1
y）2
cos2（x
y）
1
（x
解答：
dy=darctg（x+y）=（dx+dy）/[1+（x+y）^2],即：
dy=（dx+dy）/[1+（x+y）^2],
等式两边合并dy=（xy）2dx,故：
y=dy/dx=（xy）2
4，已知x2+y2=1，则由此方程决定的隐函数yf（x）的导数是（）。
x
B，
x
y
y
A．
C，
x
D，
y
y
x
5,设方程xy
ey
ln2确定y是x的函数，则dy
（
）。
dx
1
（A）
y
（B）
yey
y
（C）2
（D）
y
xey
x
x
ey
6,
设xlny
ylnx确定函数y
'
|x1
（
10.
y（x）,则y
A.1
B.1e
C.1
解：
两边取微分：
d（xlny）=d（ylnx）然后按微分的乘法公式：
lnydx+xd（lny）=lnxdy+yd（lnx）
lnydx+x/ydy=lnxdy+y/xdx
x/ydy-lnxdy=y/xdx-lnydx
（x/y-lnx）dy=（y/x–lny）dx
xey
）.
D.1e
;.
..
dy/dx=（y/x–lny）/（x/y-lnx）
把x=1,y=1代入即可：
dy/dx=1
四、高阶导数
1求y＝xa的2阶导数，
A．y
ax1
B，y
（
1）xa
C，
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