数学实验的理论研究与实践.docx

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数学实验的理论研究与实践

数学实验的理论研究与实践

摘要：

中学数学教育应重视数学实验，应将数学实验作为课程内容的一部份来设计.作为课程内容的数学实验，目的是以实验为载体，展现数学的探讨发觉进程，使学生亲历那个进程，从中发觉数学、体验数学、明白得数学、运用数学，培育创新意识和探讨精神。

作为课程内容的数学实验应表现活动化、操作化特点，注意返璞归真，在注意揭露数学概念定理的形成和进展进程和展现数学问题的解决进程的同时，注意与大体的数学思想、数学方式挂钩，有机地和数学知识教学彼此结合、彼此增进。

关键词：

数学实验；数学课程；数学软件；几何画板；教学案例

Abstract:

Byanalyzingfromtheviewofhistoryandmodernoutlookofmathematicscurriculum,weshouldpaymoreattentiontomathematicsexperimentinsecondaryschoolmathematicseducation.Theexperimentshouldbedesignedasapartofthecontentofmathematicscourse,whosepurposeistotakeexperimentsascarrierstodisplaytheprocessofexplorationanddiscoveryofmathematicsandenablethestudentstoexperiencethiscoursepersonallysoastofind,experienceandcomprehendmathematics,developinnovationawarenessandexploringspirit.Theexperimentsshouldbearthecharacteristicsofactivation,operationand“returningtonature”.Inexplainingtheprocessformationanddevelopmentofmathematicsconceptionsandtheorems,andshowingtheprocessofsolvingthemathematicsproblems,teachersshouldtrytoassociateconnectthemwithbasicmathematicsthoughtsandmethods,andcombinemathematicsexperimentswithknowledgeteachingtoimproveeachother.Intheformofcontent,mathematicsexperimentsinvolvesprovingexperimentsandprobingexperiments.Inarrangements,mathematicsexperimentcanbemadeinclass,afterclassorinthelaboratory.Ageneralteachingprocedureofthemathematicsexperimentisprovidedasanexample.

Keywords:

mathematicsexperiment；mathematicscourse；classification;teaching

一、数学实验的含义及其课程观

从上世纪90年代初期起，随着运算机和一些数学软件的慢慢普及，数学教育界开始重视数学实验的教学与研究。

时至今日，咱们将数学实验界定为：

为取得某种数学理论、探求或验证某个数学猜想、解决某类数学问题，运用必然的物质技术手腕，经由数学思维活动的参与，在典型的环境中或特定的条件下进行的一种数学实践活动。

数学实验可区分为传统数学实验和现代数学实验两大类。

传统数学实验是指运用手工的方式如利用实物模型、实物教具等进行操作的演示性模型实验，或利用纸笔通过具体或特殊数学例子进行的思想性实验；现代的数学实验是指以运算机（器）为工具的实验，具体而言，确实是利用运算机或TI图形计算器这些先进的现代技术工具和数学软件为实验手腕，以图形演示、数值计算、符号变换等作为实验内容，以数学理论作为实验原理，以实例分析、模拟仿真、归纳发觉等作为要紧实验形式，旨在探讨数学现象、发觉数学规律、验证数学结论或辅助做数学、学数学、用数学的数学学习与研究的实践活动。

不难看出，现代数学实验是传统数学实验的技术改造。

新的数学课程观以为，数学课程的目的在于培育伶俐才干而不是积存经历，在于培育知识探讨者而不是博学之士，真正重要的情形不是要学生记住一些数学技术，而是要进展思维，引导探讨，提高学生探讨问题和解决问题的能力，树立创新意识。

数学课堂既要充分表现数学内容形式化、抽象化的一面，又要重视数学发觉、制造进程中具体化、体会化的一面。

学习数学再也不只是学习演绎和证明，被动地同意讲义上的或教师表达的现成的结论，还要学习数学进程，再也不只是学习通过千锤百炼的纯粹的形式证明，还要学习形式证明之前的一系列带有实验、猜想性质的试探探讨进程。

因此，数学的探讨进程应该成为数学课程的内容。

而承载数学探讨进程的最好载体当属数学实验，因为借助运算机和数学软件，如几何画板（对解决有关图形变换及计算有独到的地方）、Mathematica（能够进行矩阵、向量运算，还可绘制二维和三维图形，只要给出一个函数解析式，立刻就可看到它的图象）、Matlab（以数值计算见长）或TI图形计算器（能够直观地绘制各类图形，并进行动态演示、轨迹跟踪，能为数学思想提供可视化的图象，使组织和分析数据容易实现，计算更有效和准确），数学探讨发觉进程能够以数学实验的形式被“教育形态化”。

如此，学生能够从自己的数学现实动身，在教师的帮忙下，通过数学实验，自己动手、动脑再现数学发觉进程，通过提出猜想、查验猜想、取得体会，慢慢建构并进展自己的数学认知结构，形成良好的创新思维品质。

只是，目前人们还只是把数学实验作为一种教学模式、教学手腕来研究，把用实验的方式教授数学作为对传统教学方式的有利补充。

这种观点下，数学实验的目标确实是辅助教学，使数学知识容易获取，而难以实现培育探讨精神和创新能力的目的。

只有将数学实验作为课程内容的一部份，数学实验才有其独立的教学目标，那个目标确实是培育探讨精神和创新能力，数学实验才能发挥它应有的作用。

因此，数学实验应纳入到数学课程内容体系来考虑，而不该只是作为一种教学手腕，即数学实验应该由辅助教学模式、手腕层面上升到课程层面上来研究，进行数学与技术的真正整合。

事实上，在国内外大学数学系的专业课程设置中，“数学实验”已成为一门重要课程。

在国际上很有阻碍力、在英国曾被普遍利用的数学教科书SMP教材的最大特点确实是，在每一新内容学习之前，先利用实验性、讨论性材料做预备，然后通过具体的实验活动直观地、体会性地介绍数学知识。

因此，中学数学课程内容中适当增加数学实验内容应该说是必要的和可行的。

新数学课程标准指出，“利用现代信息技术的原那么是有利于对数学的本质的明白得。

教材能够在处置某些内容时，提倡利用计算器或运算机，帮忙学生明白得数学概念、探讨数学结论”。

这为数学实验进入数学课堂提供了契机和空间。

新数学课程标准中设置的函数、微积分、矩阵向量、数据处置、算法分析、数学建模、概率统计、线性计划、数学建模等内容，为数学实验提供了丰硕的素材，同时这些内容借助数学实验又会变得相对容易。

如算法好坏的比较能够作为实验的素材，统计中数据处置、方程的近似求解等都是数学实验的好内容。

2004年人教版新高中数学教材中已经显现了一些作为阅读材料或实习作业的实验课题，迈出了数学实验进入教学实践可喜的一步。

二、作为课程内容的数学实验的特点分析

数学课程中设置数学实验，目的很明确，确实是以实验为载体，展现数学的探讨发觉进程，使学生亲历那个进程，从中发觉数学、体验数学、明白得数学、运用数学，既取得数学知识，又养成探讨能力、非逻辑思维能力。

作为课程内容的数学实验，应表现活动化、操作化特点，重视学生在数学实验活动中的主体地位，使学生处于踊跃自主地动脑动手、探讨验证、讨论交流实践活动中。

作为课程内容的数学实验，应表现返璞归真的现代数学教育理念，注意构建如此一种问题情境，使学生在其中能够自由地探讨，在操作、观看、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的进程中，明白得数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的取得与验证，和数学知识的应用，通过情境的变换去发觉问题、探讨规律、验证结论。

作为课程内容的数学实验，应充分表现数学实验的价值。

（1）有助于增进对数学的明白得。

数学实验应为抽象的数学思维提供直观的思维背景，使静态的数学结构表现为时空的动态进程，使抽象的内容直观化、具体化，为学生进行数学论证提供感性的、直觉的材料，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探讨性的数学活动中去，把更多的时刻花在实质性的数学试探上，帮忙学生更好地明白得数学进程、数学本质，便于学生明白得和把握数学的概念和方式。

（2）有助于学生体验数学进程，增强创新能力。

数学实验的目的是要引导学生进入自己“做数学”、体验数学的境遇，亲躯体验数学制造与发觉的进程。

在传统数学课程内容设计中，数学家发觉问题、解决问题的思维轨迹往往被掩盖，以致学生学习进程中常常会问，当初的数学家是如何想到那个问题的？

他们是如何发觉证明方式的？

数学实验应通过对知识的形成进程和对问题的观看、发觉、解决、引申、转变等进程的模拟和实验，让学生在自主探讨实践中体验到那条被掩盖了的思维轨迹。

（3）有助于数学学习爱好的激发。

实验进程本身是一个科学研究、探讨真理的进程，是学生经历观看、实验、猜想、推理、交流和反思的进程，数学实验应让学生真正从一个旁观者和听众变成一个参与者，真正激发起学生的求知欲与好奇心。

（4）作为课程内容的数学实验，既要注意揭露数学概念、定理的形成和进展进程，展现数学问题的解决进程，又要与大体的数学思想、数学方式挂钩，有机地和数学知识教学彼此结合、彼此增进，在实验中发觉、探讨数学规律，在理论学习中进一步研究、证明那个规律。

数学实验不能只局限于将抽象化为形象的演它应能专门好地引导学生由直观现象去归纳、探讨数学知识或通过数学可视化去验证数学结论，经历从头建构数学的进程，达到学好数学和应用数学解决问题的目的。

数学实验应为学生提供取得以下技术和体会的机遇：

观看、探讨、形成顿悟和直觉，作出预测，查验假设，操纵变量，模拟。

数学实验应充分表现利用实验手腕和归纳方式进行数学教育的思想：

从假设干实例动身—在运算机上进行实验—发觉其中的规律—提出猜想—验证猜想。

三、数学实验的分类

依照组织形式和地址的不同，数学实验可分为随堂实验、实验室实验和课外实验等。

随堂实验确实是穿插在数学课堂教学中的实验，如依照教学的需要，在数学课程中某一数学主题学习内容前，设置一个与引入主题内容有关的实验情景，在课堂上教师利用数学软件或课件，借助多媒体演示，在较短时刻内完成的实验，或由学生利用图形计算器等便利工具自行探讨的实验。

随堂实验的显著特点是内容短小，直接为随后的数学主题效劳，通过观看可取得猜想，一样具有启发性、归纳性、直观性。

实验室实验指的是围绕一个数学主题组织的较大实验，内容较丰硕、内涵较深刻。

它的显著特点是具有探讨性、进程性。

一样需要制定实验打算，在多媒体实验室或运算机房利用数学软件进行操作实验，要求学生观看现象或记录数据，分组讨论实验中所显现的现象或进行数据分析处置，得出一个结论，并给出合理的数学说明，最后写出完整的实验报告，就实验中发觉的问题尽可能做出严格的证明。

课外实验相当于通常的数学教材中的课外阅读材料──提供实验材料让学生课外有爱好去实验探讨，或作为课外作业。

依如实验的目的，数学实验又可分为验证性实验和探讨性实验。

验证性实验是通过实验操作和观看、记录、分析等手腕查验一个数学判定或结论真伪的实验。

教师从头知识的生长点动身，推导出新的结论时，由于结论的抽象性和推理的复杂性，学生在心理上对新知识的同意有障碍，新知识不能专门好地内化到学生已有的知识结构中去，通过实验来验证，可使新知识具体化，增进学生对新知识的认可和明白得。

探讨性实验是通过实验来探讨、回答一个对学生来讲尚不明白答案的数学问题，一样也不提供实验素材，只提供实验的课题，它事实上给学生提供了一个通过探讨来学习数学知识的切身实践的途径，强调在探讨进程中取得数学知识和数学明白得。

这两种实验的区别在于：

（1）验证性实验一样伴随概念原理的分析、讨论，耗时一样较少，实验后通常不安排讨论；探讨性实验那么安排在概念原理之前，为发觉、提出概念原理埋下种子，实验后一样要进行小组或班级讨论，讨论分析观看到的现象、搜集到的数据和对数据进行说明，提出假说，历时一样较多。

（2）验证性实验一样用于验证所给结论，实验在必然程度上是结论的附庸；探讨性实验一样开始于一个有刺激性和探讨性的问题，实验的进程受未知的探讨结果的吸引或为了明白得观看的事实或解决问题产生的好奇心所驱动，学生的爱好和踊跃性一样比较高，有利于培育学生的数学情感和数学态度。

（3）验证性实验中，教师往往是主宰者、评论者；探讨性实验中，教师往往是咨询者、效劳者和提问者，在讨论和辩论时教师能够成心持不同意见，以引导和增进学生去试探。

教师和学生在探讨性实验中都会碰到更多的挑战。

四、数学实验的教学

不同的实验类型有着不同的教学方式，不拘一格。

如验证性实验通常采纳“告知—验证—应用”的教学模式，在实验中所有的学生都做一样的情形，学生被告知如何操作，观看什么，记录什么，如何得出结论，这是一种比较固化的操作模式。

而探讨性实验教学模式一样分为引导探讨和开放探讨两种教学模式。

引导探讨式教学一样由教师提出问题，学生提出假说，引导学生朝着教师预先设计的方向提出实验程序，预测可能的结果，学生进行实验，取得实验数据，分析说明实验数据，并得出结论。

这种模式许诺学生在假说提出上和数听说明上去制造。

教师的引导并非是刻意地引导出一个唯一的结果，而是让学生在探讨进程中明白得数学、取得知识。

开放探讨式教学一样由教师或学生提出问题，学生设计实验程序并实施实验方案，搜集处置和分析数据、得出结论，并将其应用于新的情景加以查验。

这种模式强调探讨和制造，学生以一种近似数学家发觉数学问题的方式进行数学发觉学习，再也不强调取得正确的结论，而是强调进程和对结论的说明。

为了更好地说明数学实验教学，下面给出一个在实验室中进行的探讨性实验教学案例。

［实验课题］利用几何画板探求数列和函数的关系。

［课题背景］数列是一种离散函数，能够看做是以正整数集（或正整数集的有限子集）为概念域的函数当自变量由小到大依次取值时所对应的一系列函数值，而数列的通项公式确实是相应函数的解析式。

利用函数思想解决数列问题是一种常规而重要的方式。

在“数列”单元教学中，能够利用几何画板设计数学实验，让学生自己动手、动脑，自主探讨数列和函数的关系，体验利用函数思想解决数列问题的优势。

［实验目标］数学实验目标包括知识目标、能力目标、情感目标。

（1）知识目标：

通过对函数y=f（x）的图象和由数列an＝f（n）生成的点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），A4（4，a4），…之间的关系明白得函数与数列之间的关系，探讨并取得利用函数知识解决有关数列问题的思想和方式。

（2）能力目标：

培育学生动手动脑的实践能力，观看、分析、抽象、归纳等数学思维能力，培育学生利用运算机技术明白得数学和解决数学问题的能力。

（3）情感目标：

使学生体验成功的乐趣。

［实验预备］包括实验工具和材料（如应用软件、学生用图形计算器），依照学生的大体情形合理分组，等等。

（1）给每台运算机加装几何画板。

（2）让学生温习几何画板的有关用法，如由坐标构造点，绘制函数图象等。

（3）四人一组，每组一台运算机。

［实验进程］在教师的指导下，学生在规定的时刻内依照事前安排的组织形式对实验材料进行操作和实验。

对实验现象或数据要认真观看或记录，尽力发觉与所研究的问题有关的现象或数据中反映出来的规律。

本实验通过三个问题的实验探讨达到实验课题目的。

问题1：

任给一数列的通项公式，例如an＝f（n）=n2－2，探求数列的各项与函数y＝x2－2的关系。

教师导引：

（1）在座标系中构造出点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），A4（4，a4），…。

（2）做出函数y＝x2－2的图象，观看上述各点和函数图象的关系。

（3）让学生随意更改数列的通项an＝f（n），探求点（1，a1），（2，a2），（3，a3），（4，a4），…和对应的函数y＝f（x）的图象的关系。

小组讨论：

数列an＝f（n）和函数y＝f（x）之间的关系应该如何描述。

问题2：

已知数列的通项公式为an=，试探求那个数列从第几项起的数值为正数，前多少项的和最小，即讨论Sn何时有最小值。

教师导引：

（1）若是直接计算a1，a2，a3，a4，…，等待你的将是复杂的运算。

（2）作出对应函数f（x）=的图象，从图象上观看问题的结论。

问题3：

一个等差数列｛an｝，其通项为an＝a1＋（n－1）d＝dn＋a1－d，考察其单调性，并探求Sn是不是有最值；若是Sn有最值，n取何值时Sn能够取到最值？

教师导引：

由数列通项公式可知其对应函数的解析式为y＝f（x）＝dx＋a1－d（含有两个参数d，a1），是一次函数，其图象为一条直线。

等差数列的前n项和公式为Sn=，对应的函数y＝是二次函数，其图象是抛物线。

在同一坐标系中做出两函数f（x），g（x）的图象，从图象上探求所讨论的问题。

教师能够让学生自由探讨，也可在课前用“几何画板”设计好教学课件（如图样式）。

若是是后者，实验中只需让学生拖动点A1和D到不同的位置而改变数列的首项和公差，记录a1和d的值，观看图像的转变，将观看结果填入下表，从中发觉数列an的各项和Sn各项的转变规律？

［实验结果］基于实验进程中显现的实验现象的观看或数据记录及对数据分析处置结果，初步作出猜想，并试探个中缘故。

各小组讨论交流，通过交流最终取得大伙儿认可的结论。

教师能够给予适当的分析指导。

（略）

［结果论证］为保证数学的严谨性，尽可能地对实验结论加以理论证明，写出完整的实验报告。

（略）

在上面的案例中，由教师提出问题，学生自己动手实验操作，探讨发觉各类可能的情形。

在这一进程中把有关函数的概念作为知识的生长点，使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识──数列和函数的关系，这一知识的生长进程是一种主动的探讨进程，不仅使新知识找到了牢固的附着点，而且使学生的数学认知结构在这一探讨进程中取得进展。

五、撰写实验报告

跟一样科学实验一样，学生数学实验也应有实验报告撰写环节。

实验报告是实验进程中的最后一步，是实验功效的书面总结和反思。

通过撰写实验报告，能够培育学生对现象的分析能力和实验数据的处置能力。

因此，学生实验一样都应写实验报告。

报告中书写的句子和段落应完整，力求行文既清楚又具可读性。

报告可采纳如下形式：

在数学课程设计与教学中，咱们应把握数学教育的时期性，确立数学实验的课程观和教学观，注重运用实验、直觉、形象思维等形式揭露数学知识的形成进程，为学生提供丰硕的数学实验资源，创设数学实验情境，使学生在这种情境中进行认知学习、发觉学习，建构数学知识，使学生从数学实验中体验发觉问题、探讨问题和解决问题的乐趣，加深对数学本质的熟悉，激发学习数学的热情，进展创新能力。

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