广东省中考数学规律试题类型.docx
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广东省中考数学规律试题类型
题型三 规律探索题
类型一数式规律
针对演练
1.（2016新疆）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为．
第1题图
2.（2016绥化）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫三角数，它有一定的规律．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．
3.（2016济宁）按一定规律排列的一列数：
，1，1，，，，，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为．
4.（2016郴州）观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是．
5.（2016百色）观察下列各式的规律：
（a－b）（a＋b）＝a2－b2；（a－b）（a2＋＋b2）＝a3－b3；（a－b）（a3＋a2b＋2＋b3）＝a4－b4；…；可得到（a－b）（a2016＋a2015b＋…＋2015＋b2016）＝．
6.请观察下列等式的规律：
＝（1－），＝（－），＝（－），＝（－），…，则＋＋＋…＋＝．
7.（2016滨州）观察下列式子：
1×3＋1＝22；
7×9＋1＝82；
25×27＋1＝262；
79×81＋1＝802；
…
可猜想第2016个式子为．
8.（2016黄石）观察下列等式：
第1个等式：
a1＝＝－1，第2个等式a2＝＝－，
第3个等式：
a3＝＝2－，第4个等式：
a4＝＝－2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：
＝；
（2）a1＋a2＋a3＋…＋＝．
9.（2011省卷20，9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；
（2）用含n的代数式表示：
第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；
（3）求第n行各数之和．
【答案】
1．370 【解析】观察可得，第n个图形的数字为：
n
2n－1
2n
2n（2n－1）－n
当2n＝20时，n＝10，∴x＝2n（2n－1）－n＝20×（20－1）－10＝370.
2．160000 【解析】由a1＋a2＝4＝22，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，a5＋a6＝15＋21＝36＝62，…，依此类推可得＋＋1＝（n＋1）2，∴a399＋a400＝4002＝160000.
3．1 【解析】将原来的一列数变形为，，，□，，，，观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填，故答案为1.
4．1 【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数与34的个位数相同，即为1.
5．a2017－b2017 【解析】由题可知，（a－b）（a＋b）＝a2－b2，（a－b）（a2＋＋b2）＝a3－b3，（a－b）（a3＋a2b＋2＋b3）＝a4－b4，…，∴（a－b）（＋－1b＋－2b2＋…＋a2－2＋－1＋）＝＋1－＋1,∴当n＝2016时，（a－b）（a2016＋a2015b＋…＋2015＋b2016）＝a2017－b2017.
6 【解析】原式＝（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝（1－＋－＋－＋…＋－）＝（1－）＝.
7．（32016－2）×32016＋1＝（32016－1）2 【解析】第①个式子转化为：
（31－2）×31＋1＝（31－1）2，第②个式子转化为：
（32－2）×32＋1＝（32－1）2，第③个式子转化为：
（33－2）×33＋1＝（33－1）2，第④个式子转化为：
（34－2）×34＋1＝（34－1）2，…，由以上规律可得，第n个式子为：
（3n－2）×3n＋1＝（3n－1）2，当n＝2016时，第2016个式子为：
（32016－2）×32016＋1＝（32016－1）2.
8．
（1）＝－；
（2）－1 【解析】
（1）a1＝＝－1，a2＝＝－，a3＝＝－，…，＝＝－；
（2）a1＋a2＋a3＋…＋＝（－1）＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝－1.
9．解：
（1）64，8，15；
【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1＝12，且共有1个数；第二行最后一个数是4＝22，且共有3个数，第三行最后一个数是9＝32，且共有5个数，以此类推，可知第n行最后一个数可以表示为n2，且共有（2n－1）个数，所以第8行最后一个数是82＝64，共有2×8－1＝15个数；
（2）n2－2n＋2，n2，2n－1；
【解法提示】由
（1）中的分析得知第n行的第一个数是（n－1）2＋1＝n2－2n＋2，最后一个数是n2，第n行共有（2n－1）个数；
（3）第n行各数之和为：
×（2n－1）＝（n2－n＋1）（2n－1）．
类型二 图形规律
针对演练
一、图形累加规律探索
1.（2016荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（ ）
第1题图
A.671B.672C.673D.674
2.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）
第2题图
A.21B.24C.27D.30
3.（2016重庆B卷）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（ ）
第3题图
A.43B.45C.51D.53
4.（2015曲靖）用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒根．
第4题图
5.（2015深圳）观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有个太阳．
第5题图
6.（2016安顺）观察下列砌钢管的横截面图：
第6题图
则第n个图的钢管数是（用含n的式子表示）．
【答案】
1．B 【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n个图中的白色纸片的个数为4＋3×（n－1）＝3n＋1，令3n＋1＝2017，解得n＝672.
2．B 【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第
个图形有6＋3（n－1）＝3n＋3个小圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．
3．C 【解析】图形①中星星的颗数为：
2＝1＋（2×1－1），图形②中星星的颗数为：
6＝（1＋2）＋（2×2－1），图形③中星星的颗数为：
11＝（1＋2＋3）＋（2×3－1），图形④中星星的颗数为：
17＝（1＋2＋3＋4）＋（2×4－1），…，图形
中星星的颗数为：
（1＋2＋…＋n）＋（2n－1）＝＋2n－1，所以图形⑧中星星的颗数为：
＋2×8－1＝51.
4．29 【解析】
图形序号
火柴棒数量
图形序号与火柴棒数量的关系
1
5根
3×1＋2＝5
2
8根
3×2＋2＝8
3
11根
3×3＋2＝11
…
…
…
n
（3n＋2）根
3×n＋2＝3n＋2
∴第9个“H”所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．
5．21 【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2n－1，∴第五个图形第二行太阳的个数为24＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太阳．
6n2＋n 【解析】
n
1
2
3
4
…
n
钢管数
3
9
18
30
…
…
规律
…
由表可知，第n个图的钢管数是＝n2＋n.
二、图形成倍递变规律探索
1.（2016六盘水）如图，已知＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠的度数为（ ）
A.B.C.D.
第1题图
第2题图
2.（2016内江）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（ ）
A.（）2015B.（）2016C.（）2016D.（）2015
3.（2016南平）如图，已知直线l：
y＝2x，分别过x轴上的点A1（1，0）、A2（2，0）、…、（n，0），作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、，将△1B1、四边形A1A2B2B1、…、四边形－1－1的面积依次记为S1、S2、…、，则＝（ ）
A.n2B.2n＋1C.2nD.2n－1
第3题图
第4题图
4.（2016威海）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为．
5.（2016钦州）如图，∠＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线、上，边C1D1所在的直线分别交、于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交、于点A3，F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点到的距离是．
第5题图
【答案】
1．C 【解析】在∵△1中，＝A1B，∴∠A＝∠1A，∵A1A2＝A1B1，∴∠B1A2A1＝∠1A，同理，∠B2A3A2＝∠B1A2A1＝∠1A，∴∠＝∠1A＝.
2．D 【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝＝30°，∴B2C2＝C1D1·30°＝，∴C2D2＝，同理，B3C3＝C2D2·30°＝（）2，由此猜想＝（）n－1，∴当n＝2016时，B2016C2016＝（）2015，故选D.
3．D 【解析】由题意可知，△1B1∽△2B2∽△3B3∽…∽△且相似比为1∶2∶3∶…∶n，∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶＝1∶3∶5∶…∶（2n－1），∵A1（1，0），过点A1作垂直于x轴的直线交l：
y＝2x于点B1，∴1＝1，A1B1＝2，∴S△1B1＝1，∴＝2n－1.
4．－31007 【解析】∵A1（1，0），∠A1A2O＝30°，∴A2（0，），∵A2A3⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3（－3，0），同理，A4（0，－3），A5（9，0），A6（0，9），A7（－27，0），A8（0，－27），…，即，A2（0，），A4（0，－3），A6（0，9），A8（0，－27），列表如下：
A2
×（－3）0
…
（2－2）÷2＝0
A4
×（－3）1
…
（4－2）÷2＝1
A6
×（－3）2
…
（6－2）÷2＝2
A8
×（－3）3
…
（8－2）÷2＝3
…
…
…
…
×（－3）（－1）
…
（n－2）÷2＝－1
∴＝×
，∵2016÷2－1＝1007，∴A2016的纵坐标是
-31007.
5．3n－1 【解析】由题意可知，∠＝60°，设点到的距离为，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A11为等边三角形，∴A1B1＝1＝1，∴1＝2，则h1＝2×＝，又∵2＝A2F2＝A2B2＝3，∴2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求，3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可得，＝2×3n－1，则＝2×3n－1×＝3n－1，∴点到的距离为3n－1.
三、图形循环规律探索
1.（2016河南）如图，已知菱形的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）
A.（1，－1）B.（－1，－1）C.（，0）D.（0，－）
第1题图
第2题图
2.下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2016个梅花图案中，共有个“
”图案．
3.如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点；若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2017次跳后所停的顶点对应的数字为．
第3题图
4.（2016三明）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，－1），P5（2，－1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是．
第4题图
第5题图
5.（2016聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线1为边作正方形1B2C2，再以正方形1B2C2的对角线2为边作正方形2B3C3，以此类推…，则正方形2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是．
【答案】
1．B 【解析】∵菱形的顶点坐标为O（0，0），点B的坐标是（2，2），∴与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段的中点，∴点D的坐标是（1，1），∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点D就回到原来的位置（1，1），∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（－1，－1）．
2．504 【解析】观察图形可知，“
”图案方向依次向下、向左、向上、向右，每四个为一个循环周期．∵2016÷4＝504，∴前2016个梅花图案中，有504个“
”图案．
3．2 【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上.2－1－3－5－2，周期为4，∵又由2017＝4×504＋1，∴经过2017次跳后它停在的点所对应的数为2.
4．（20，0） 【解析】将点P的横纵坐标分开来看，的横坐标始终在变化且逐渐增大，而的纵坐标变化呈周期变化，即1，1，0，－1，－1，0，所以每6个点P的纵坐标为一个循环，显然60÷6＝10，恰好能够整除，所以点P60的纵坐标为0，即在x轴上，显然P6，P12，P18，…，这些点的横坐标为：
2，4，6，…，所以点P6k的纵坐标为2k，∴点P60的横坐标为20，∴点P60的坐标为（20，0）．
5．（21008，0） 【解析】∵点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环，2016÷8＝252，∴点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；是正方形的对角线，1＝，2＝2＝（）2，3＝2＝（）3，…，∴2016＝（）2016＝21008，∴点B2016的坐标为（21008，0）．
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