浙江省衢州市中考数学试题及解析.doc

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2015年浙江省衢州市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2015•衢州）﹣3的相反数是（　　）

A．

B．

﹣3

C．

D．

﹣

2．（3分）（2015•衢州）一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（3分）（2015•衢州）下列运算正确的是（　　）

A．

a3+a3=2a6

B．

（x2）3=x5

C．

2a6÷a3=2a2

D．

x3•x2=x5

4．（3分）（2015•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（　　）

A．

8cm

B．

6cm

C．

4cm

D．

2cm

5．（3分）（2015•衢州）某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（3分）（2015•衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（3分）（2015•衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．

勾股定理

B．

直径所对的圆心角是直角

C．

勾股定理的逆定理

D．

90°的圆周角所对的弦是直径

8．（3分）（2015•衢州）如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）

A．

6米

B．

6米

C．

3米

D．

3米

9．（3分）（2015•衢州）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（　　）

A．

144cm

B．

180cm

C．

240cm

D．

360cm

10．（3分）（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2015•衢州）从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是　　　　　　．

12．（4分）（2015•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于　　　　　　米．

13．（4分）（2015•衢州）写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：

　　　　　　．

14．（4分）（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于　　　　　　m．

15．（4分）（2015•衢州）已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是　　　　　　．

16．（4分）（2015•衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是　　　　　　．

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。

请务必写出解答过程）

17．（6分）（2015•衢州）计算：

﹣|﹣2|+﹣4sin60°．

18．（6分）（2015•衢州）先化简，再求值：

（x2﹣9）÷，其中x=﹣1．

19．（6分）（2015•衢州）如图，已知点A（a，3）是一次函数y1=x+b图象与反比例函数y2=图象的一个交点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）在y轴的右侧，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．

20．（8分）（2015•衢州）某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请根据统计图回答下面问题：

（1）本次抽样调查的书籍有多少本？

请补全条形统计图；

（2）求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；

（3）本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？

21．（8分）（2015•衢州）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．

（1）求证：

EG=CH；

（2）已知AF=，求AD和AB的长．

22．（10分）（2015•衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：

如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：

由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；

（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

23．（10分）（2015•衢州）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示．

请结合图象解决下面问题：

（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？

（2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？

（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？

24．（12分）（2015•衢州）如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；

（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

2015年浙江省衢州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2015•衢州）﹣3的相反数是（　　）

A．

B．

﹣3

C．

D．

﹣

考点：

专题：

常规题型．

分析：

根据相反数的概念解答即可．

解答：

解：

﹣3的相反数是3，

故选：

A．

点评：

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．（3分）（2015•衢州）一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据从上面看得到的视图是俯视图，再结合几何体零件的实物图观察，即可判断出这个几何体零件的俯视图是哪个．

解答：

解：

这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形，

所以它的俯视图是选项C中的图形．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了简单组合体的三视图，要熟练掌握，考查了对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3．（3分）（2015•衢州）下列运算正确的是（　　）

A．

a3+a3=2a6

B．

（x2）3=x5

C．

2a6÷a3=2a2

D．

x3•x2=x5

考点：

分析：

根据合并同类项的法则，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答．．

解答：

解：

A、应为a3+a3=2a3，故本选项错误；

B、应为（x2）3=x6，故本选项错误；

C、应为2a6÷a3=2a3，故本选项错误；

D、x3•x2=x5正确．

故选D．

点评：

本题考查合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变；单项式乘单项式，应把系数，同底数幂分别相乘．

单项式除以单项式，应把系数，同底数幂分别相除．

4．（3分）（2015•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（　　）

A．

8cm

B．

6cm

C．

4cm

D．

2cm

考点：

分析：

由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=12cm，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=8cm，

∴CE=BC﹣BE=4cm；

故答案为：

C．

点评：

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

5．（3分）（2015•衢州）某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．

解答：

解：

∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，

∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3，

∴这一组数从小到大排列为：

3，4，4，5，6，6，7，

∴这组数据的中位数是：

5．

故选C．

点评：

本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．

6．（3分）（2015•衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题．

分析：

利用一次函数，二次函数，以及反比例函数的性质判断即可．

解答：

解：

当x＞0时，y随x的增大而减小的是，

故选B

点评：

此题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，以及反比例函数的图象，熟练掌握各自的图象与性质是解本题的关键．

A．

勾股定理

B．

直径所对的圆心角是直角

C．

勾股定理的逆定理

D．

90°的圆周角所对的弦是直径

考点：

分析：

由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．

解答：

解：

由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为半径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：

直径所对的圆心角是直角．

故选：

B．

点评：

本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．

8．（3分）（2015•衢州）如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）

A．

6米

B．

6米

C．

3米

D．

3米

考点：

专题：

应用题．

分析：

由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．

解答：

解：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），

∵∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：

OA==3（米），

则AC=2OA=6米，

故选A．

点评：

此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．

A．

144cm

B．

180cm

C．

240cm

D．

360cm

考点：

分析：

根据题意可知：

△AEO∽△ABD，从而可求得BD的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长．

解答：

解：

如图：

根据题意可知：

：

△AFO∽△ABD，OF=EF=30cm

∴，

∴

∴CD=72cm，

∵tanα=

∴

∴AD==180cm．

故选：

B．

点评：

此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

10．（3分）（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

首先连接OD、BD，根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；然后根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，判断出BD、AC的关系；最后在Rt△BCD中，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．

解答：

解：

如图1，连接OD、BD，

，

∵DE⊥BC，CD=5，CE=4，

∴DE=，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，

∴5BD=3BC，

∴，

∵BD2+CD2=BC2，

∴，

解得BC=，

∵AB=BC，

∴AB=，

∴⊙O的半径是；

．

故选：

D．

点评：

此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2015•衢州）从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是　　．

考点：

分析：

根据题意可得：

从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，可以求出小明被选中的概率．

解答：

解：

∵从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，

∴小明被选中的概率是：

．

故答案为：

．

点评：

本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

12．（4分）（2015•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于　1.2　米．

考点：

专题：

应用题．

分析：

先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．

解答：

解：

∵EF⊥AC，BC⊥AC，

∴EF∥BC，

∵E是AB的中点，

∴F为AC的中点，

∴BC=2EF，

∵EF=0.6米，

∴BC=1.2米，

故答案为：

1.2．

点评：

本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：

垂直于同一直线的两直线平行．

13．（4分）（2015•衢州）写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：

　x﹣1＞0　．

考点：

专题：

开放型．

分析：

根据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．

解答：

解：

移项，得x﹣1＞0（答案不唯一）．

故答案为x﹣1＞0．

点评：

本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．

14．（4分）（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于　1.6　m．

考点：

分析：

先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．

解答：

解：

如图：

∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，

∴AE=0.8m，

∵水管水面上升了0.2m，

∴AF=0.8﹣0.2=0.6m，

∴CF=m，

∴CD=1.6m．

故答案为：

1.6．

点评：

本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

15．（4分）（2015•衢州）已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是　（4031，）　．

考点：

专题：

规律型．

分析：

根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定出点B的位置，然后求出翻转前进的距离，过点B作BG⊥x于G，求出∠BAG=60°，然后求出AG、BG，再求出OG，然后写出点B的坐标即可．

解答：

解：

∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，

∴每6次翻转为一个循环组循环，

∵2015÷6=335余5，

∴经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，

∵A（﹣2，0），

∴AB=2，

∴翻转前进的距离=2×2015=4030，

如图，过点B作BG⊥x于G，则∠BAG=60°，

所以，AG=2×=1，

BG=2×=，

所以，OG=4030+1=4031，

所以，点B的坐标为（4031，）．

故答案为：

（4031，）．

点评：

本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正六边形的性质，确定出最后点B所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形．

16．（4分）（2015•衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是　﹣1，4，4+2，4﹣2　．

考点：

分析：

设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5），分别表示出B、Q的坐标，然后根据PQ=BQ，列方程求出a的值．

解答：

解：

设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5），

则点Q为（a，﹣a+3），点B为（0，3），

当点P在点Q上方时，BQ==a，

PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2，

∵PQ=BQ，

∴a=﹣a2+a+2，

整理得：

a2﹣3a﹣4=0，

解得：

a=﹣1或a=4，

当点P在点Q下方时，BQ==a，

PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2，

∵PQ=BQ，

∴a=a2﹣a﹣2，

整理得：

a2﹣8a﹣4=0，

解得：

a=4+2或a=4﹣2．

综上所述，a的值为：

﹣1，4，4+2，4﹣2．

故答案为：

﹣1，4，4+2，4﹣2．

点评：

本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，以及两点间的距离，解答本题的关键是设出点P的坐标，表示出PQ、BQ的长度，然后根据PQ=BQ，分情况讨论并求解，难度一般．

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。

请务必写出解答过程）

17．（6分）（2015•衢州）计算：

﹣|﹣2|+﹣4sin60°．

考点：

分析：

先化简二次根式，绝对值，计算0指数幂以及代入特殊角的三角函数值，再进一步计算加减即可．

解答：

解：

原式=2﹣2+1﹣4×

=﹣1．

点评：

此题考查实数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．

18．（6分）（2015•衢州）先化简，再求值：

（x2﹣9）÷，其中x=﹣1．

考点：

专题：

计算题．

分析：

原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=（x+3）（x﹣3）•=x（x+3）=x2+3x，

当x=﹣1时，原式=1﹣3

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