四川省广元市高考数学一诊试卷(文科).doc
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水秀中华
2018年四川省广元市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（ ）
A．[﹣3，3） B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3）
2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β
4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（），则k的值是（ ）
A．﹣1 B．或﹣1 C．﹣1或 D．
5．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V=8πr3，则其四维测度W=（ ）
A．2πr4 B．3πr4 C．4πr4 D．6πr4
8．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象如图所示，，C为图象上的最高点，则ω，φ的值为（ ）
A． B．ω=，φ= C． D．
9．（5分）在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则（xi+yi）=（ ）
A．8072 B．6054 C．4036 D．2018
11．（5分）函数，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的零点，则a的取值范围（ ）
A．（1，2） B． C． D．
12．（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a= ．
14．（5分）设变量x，y满足约束条件：
，则目标函数z=的最小值为 ．
15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 ．
16．（5分）在△ABC中，AB=2AC=6，=2，点P是△ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时， ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=log3an，求数列{}的前n项和Tn．
18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．
19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：
分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
（2）在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．
附参考公式与：
K2=
P（K2≥k0）
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.702
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD，底面梯形ABCD中，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2BC=2．
（1）求证：
BD⊥PA；
（2）线段PC上是否存在点M，使三棱锥P﹣ABD体积为三棱锥P﹣MBD体积的6倍．若存在，找出点M的位置；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：
．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
[选修4-5：
不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．
（1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：
+≥1．
2018年四川省广元市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}，N={x|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（ ）
A．[﹣3，3） B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，2] D．[2，3）
【解答】解：
∵集合M={x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2，或x≥4}，
N={x|﹣3≤x＜3}，
∴M∩N={x|﹣3≤x≤﹣2}=[﹣3，﹣2]．
故选：
B．
2．（5分）“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【解答】解：
当x＞3且y＞3时，x+y＞6成立，即充分性成立，
若x=6，y=2满足x+y＞6，但x＞3且y＞3不成立，即必要性不成立，
故“x＞3且y＞3”是“x+y＞6”成立的充分不必要条件，
故选：
A
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β
【解答】解：
对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；
对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；
对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；
对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．
故选D．
4．（5分）已知向量=（3，1），=（2k﹣1，k），且（），则k的值是（ ）
A．﹣1 B．或﹣1 C．﹣1或 D．
【解答】解：
∵向量=（3，1），=（2k﹣1，k），
∴+=（2k+2，1+k），
∵（+）⊥，
∴（+）•=0，
则（2k﹣1）（2k+2）+k（1+k）=0，
即5k2+3k﹣2=0得
（k﹣1）（5k+2）=0，
得k=﹣1或k=，
故选：
C．
5．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【解答】解：
法1°：
∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：
∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
故选：
D．
6．（5分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：
模拟程序的运行，可得
n=5，k=0
不满足条件n为偶数，执行循环体后，n=16，k=1，不满足退出循环的条件；
满足条件n为偶数，执行循环体后，n=8，k=2，不满足退出循环的条件；
满足条件n为偶数，执行循环体后，n=4，k=3，不满足退出循环的条件；
满足条件n为偶数，执行循环体后，n=2，k=4，不满足退出循环的条件；
满足条件n为偶数，执行循环体后，n=1，k=5，满足退出循环的条件，
输出k的值为5．
故选：
B．
7．（5分）二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V=8πr3，则其四维测度W=（ ）
A．2πr4 B．3πr4 C．4πr4 D．6πr4
【解答】解：
对于二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，（πr2）′=2πr，
三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积），（）′=4πr2，
四维空间中，“超球”的三维测度V=8πr3，∵（2πr4）′=8πr3，
∴“超球”的四维测度W=2πr4，
故选：
A．
8．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象如图所示，，C为图象上的最高点，则ω，φ的值为（ ）
A． B．ω=，φ= C． D．
【解答】解：
根据函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象知，
T=﹣（﹣）=，
∴T==π，解得ω=2；
又，
∴sin[2×（﹣）+φ]=0，
又0＜φ＜，
∴φ=．
故选：
C．
9．（5分）在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
如图，在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，
则，平面区域是边长为2的正方形，
x2+y2≥1的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，
∴由几何概型概率计算公式得：
x2+y2≥1的概率为：
p=
=
=1﹣．
故选：
A．
10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（x﹣1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的次点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2018，y2018），则（xi+yi）=（ ）
A．8072 B．6054 C．4036 D．2018
【解答】解：
∵g（x）的图象是由y=x3的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到的，
∴g（x）的图象关于点（1，1）对称，
又f（x）的图象关于点（1，1）对称，
∴f（x）与g（x）的2018个交点中，两两关于点（1，1）对称．
∴（xi+yi）=+=+=4036．
故选C．
11．（5分）函数，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的零点，则a的取值范围（ ）
A．（1，2） B． C． D．
【解答】解：
作出f（x）的函数图象如图所示：
令f（x）=t，则2t2﹣（2a+3）t+3a=0，
∴t=a或t=．
（1）若a≤1或a≥2时，则由图象可知f（x）=a只有一解x=0，
而f（x）=有两解，故而关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有三个不同的零点，不符合题意；
（2）若a=，由图象可知f（x）=a有三解，
故而关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有三个不同的零点，不符合题意；
（3）若1＜a＜或＜a＜2，则由图象可知f（x）=a有三解，f（x）=有两解，
故而关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的零点，符合题意；
综上，a的范围是（1，）∪（，2）．
故选D．
12．（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
设等比数列的公比为q（q＞1），
1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0，
可得λ=，
则a8+λa9=a8++
=a8++
=a8+﹣a8=，
设t=q2﹣1（t＞0），q2=t+1，
则设f（t）==，
f′（t）=
=，
当t＞时，f（t）递增；
当0＜t＜时，f（t）递减．
可得t=处，此时q=，f（t）取得最小值，且为．
则a8+λa9的最小值为．
故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则a= 1 ．
【解答】解：
∵z=a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，
∴，解得a=1．
故答案为：
1．
14．（5分）设变量x，y满足约束条件：
，则目标函数z=的最小值为 1 ．
【解答】解：
z的几何意义为区域内点到点G（0，﹣1）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知，AG的斜率最小，
由解得，即A（2，1），
则AG的斜率k=，
故答案为：
1
15．（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 4π ．
【解答】解：
直观图如图所示的正四面体，
构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，
正方体的边长为2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，
∴此三棱锥的外接球的半径为R=
三棱锥的外接球的体积为V=．
故答案为：
4π．
16．（5分）在△ABC中，AB=2AC=6，=2，点P是△ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时， ﹣9 ．
【解答】解：
∵=2，
||•||•cosB=||2，
∴||•cosB=||=6，
∴⊥，即∠A=，
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），
则222=x2+y2+（x﹣6）2+y2+x2+（y﹣3）2，
=3x2﹣12x+3y2﹣6y+45，
=3[（x﹣2）2+（y﹣1）2+10]，
∴当x=2，y=1时取的最小值，
此时•=（2，1）•（﹣6，3）=﹣12+3=﹣9，
故答案为：
﹣9．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=log3an，求数列{}的前n项和Tn．
【解答】解：
（1）数列{an}的前n项和Sn=k（3n﹣1），且a3=27．
当n=3时，，
解得，
当n≥2时，=3n，
由于：
a1=S1=3也满足上式，
则：
．
（2）若，
所以：
=，
所以：
．
18．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值．
【解答】解：
（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x．
=，
∵，
故：
f（x）的最大值为：
2．
要使f（x）取最大值，，
即：
（k∈Z），
解得：
（k∈Z），
则x的集合为：
（k∈Z），
（2）由题意，，
即：
，
又∵0＜A＜π，
∴，
∴，
∴．
在△ABC中，b+c=2，，
由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣bc，
由于：
=1，
所以：
当b=c=1时，等号成立．
则：
a2≥4﹣1=3，
即：
．
则a的最小值为．
19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：
分钟）进行调查，将收集的数据分成[0，10）．[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
（2）在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．
附参考公式与：
K2=
P（K2≥k0）
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.702
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解答】解：
（1）由题意得“课外体育达标”人数：
200×[（0.02+0.005）×10]=50，
则不达标人数为150，
∴列联表如下：
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
∴k2==≈6.060＜6.635，
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关
（2）由题意在[0，10），[40，50）分别有20人，40人，
则采取分层抽样在[0，10）抽取的人数为：
人，
在[40，50）抽取的人数为：
人，
[0，10）抽取的人为A，B，在[40，50）抽取的人为a，b，c，d，
从这6任中随机抽取2人的情况为：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，
2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”共有：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种，
∴．
20．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD，底面梯形ABCD中，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2BC=2．
（1）求证：
BD⊥PA；
（2）线段PC上是否存在点M，使三棱锥P﹣ABD体积为三棱锥P﹣MBD体积的6倍．若存在，找出点M的位置；若不存在，说明理由．
【解答】
（1）证明：
，
∴AB2=AD2+BD2，∴BD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥面PAD，
又AP⊂面PAD，∴BD⊥PA．
（2）解：
假设存在点M满足条件，设CM=mCP（m∈[0，1]），点P到面ABCD的距离为h1，
点M到面ABCD的距离为h2，由相似三角形可知，，
∴，
∴点M是PC上的一个靠近点P的三等分点．
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：
．
【解答】解：
（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx﹣ax，
∵函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．
∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根
即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，
令g（x）=lnx﹣ax，则g′（x）=﹣a
当a≤0时，由g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（0，+∞）内为增函数，显然不成立
当a＞0时，由g′（x）＞0解得，
即g（x）在内为增函数，内为减函数，
故即可，解得
综上可知a的取值范围为；
（2）证明：
由
（1）知：
当时，恒成立
∴
…
上式n个式子相加得：
即
又∵
∴，
∴．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
【解答】解：
（1）曲线C的参数方程为，
得曲线C的普通方程：
x2+y2﹣4x﹣12=0
所以曲线C的极坐标方程为：
ρ2﹣4ρcosθ=12
（2）设A，B两点的极坐标方程分别为，
|AB|=|ρ1﹣ρ2|
又A，B在曲线C上，
则ρ1，ρ2是ρ2﹣4ρcosθ﹣12=0的两根
∴，
所以：
[选修4-5：
不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．
（1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：
+≥1．
【解答】解：
（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，
若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，
则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．
∴M=4．
（2）由
（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即[（a+b）+（b+c）]=1
∴+=[（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，
当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．
∴+≥1成立．
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水秀中华
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