江西省南昌市中考数学试题(含答案).doc

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江西省2016年中等学校招生考试数学试卷

（江西毛庆云）

说明：

1．本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．

2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）

1．下列四个数中，最小的数是（）．

A．－ B．0 C．－2 D．2

2．某市６月份某周气温（单位：

℃）为23，25，28，25，28，31，28，这给数据的众数和中位数分别是（）．

A．25，25 B．28，28 C．25，28 D．28，31

3．下列运算正确的是是（）．

A．a2+a3=a5 B．（－2a2）3=－6a5 　C．（2a+1）（2a-1）=2a2-1 D．（2a3-a2）÷2a=2a-1

4．直线y=x+1与y=－2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（）．

A．-1 B．0 C．1 D．2

5．如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐奢压扁，剪去上面一截后，正好合适。

以下裁剪示意图中，正确的是（）．

6．已知反比例函数的图像如右图所示，则二次函数的图像大致为（）．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

7．计算：

_______

8．据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务。

5.78万可用科学记数法表示为________。

9．不等式组的解集是________

10．若是方程的两个实数根，则_______。

11．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为______。

12．如图，△ABC内接于⊙O，AO=2，，则∠BAC的度数_______

13．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

若，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.

14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为_______.

三、（本大题共四小题，每小题6分，共24分）

15．计算÷.

16．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2和盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元。

求每支中性笔和每盒笔芯的价格。

17．已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图。

（1）在图1中画一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；

（2）在图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形。

18．有六张完全相同的卡片，分A、B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√、×、√”，B组的卡片上分别画上“√、×、×”，如图1所示。

（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再发布从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是√的概率（请用树形图法或列表法求解）

（2）若把A、B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记。

①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是√的概率是多少

②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是√后，猜想它的反面也是√，求猜对的概率。

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5，点D在反比例函数（k>0）的图象上，，点P在y轴负半轴上，OP=7.

（1）求点B的坐标和线段PB的长；

（2）当时，求反比例函数的解析式。

20．某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某部分初中学生进行了调查。

依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求样本容量及表格中a、b、c的值，并补全统计图；

（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读教科书”的初中生人数

（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；

②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？

21．图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示。

在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60度。

（1）连接CD、EB，猜想它们的位置关系并加以证明；

（2）求A、B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）

（参考数据：

）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22．如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP。

（1）求△OPC的最大面积；

（2）求∠OCP的最大度数；

（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：

CP是圆O的切线.

23．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）。

第一次操作：

将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：

将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为____，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。

①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______。

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。

24．如图1，抛物线的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。

（1）抛物线对应的碟宽为____；抛物线对应的碟宽为_____；抛物线（a>0）对应的碟宽为____；抛物线对应的碟宽____；

（2）若抛物线对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；

（3）将抛物线的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。

若Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将

（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.

①求抛物线y2的表达式

②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn。

则hn=_______,Fn的碟宽右端点横坐标为_______；F1，F2，….Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？

若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。

江西省2016年中等学校招生考试数学试卷答案

1、C2、B3、D4、D5、A6、D7、38、5.78×1049、x＞10、x＞11、12

12、【答案】60°.

【解答】

解：

∵连接OB、OC，过点O作OD⊥BC，交BC于点D。

∴OA＝2，

∵OB＝OC＝2。

∴OD⊥BC，BC＝2，

∴BD＝CD＝BC＝×=。

在Rt△BDC中，∵sin∠BOD==，

∴∠BOD=60°。

∵△BOC是等腰三角形，

∴∠BOC=2∠BOD＝2×60°＝120°，

∴∠BAC=×∠BOC＝×120°=60°

故∠BAC的度数是60°。

13、【答案】12－4.

【解答】

解：

连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。

∵因为四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB＝AD＝2。

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝2，

∴∠BAE＝∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1，

在Rt△ABE中，AE＝，

∴AC＝2。

∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，

∴∠AOC＝×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO

在Rt△AOC中，AO=CO=。

∵S△AOC=AO·CO=××=3，S△ADC=AC·DE＝×2×1＝,

∴S阴影＝S△AOC－S△ADC=4×（3－）＝12－4

所以图中阴影部分的面积为12－4。

14、【答案】4，2，6.

【解答】

解：

分四种情况讨论：

①如图1：

当∠C=60°时，

当∠C=60°时，∠ABC=30°，P点在线段AC上，∠ABP不可能等于30°，只能是P点与C点重合，与条件相矛盾。

②如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，P点在线段CA的延长上。

∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C=30°，

∴AC＝BC＝×6＝3.

在△ABC和△ABP中，

∵∠ABP=∠ABC＝30°，AB＝AB，∠CAB=∠PAB＝90°

∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3，

∴CP＝AC＋AP＝3＋3＝6.

③如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，P点在线段AC上。

∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C=30°，

∴AB＝BC＝×6＝3.　

∵∠ABP＝30°，

∴AP＝BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝60°－30°=30°＝∠C，

∴PC=PB，

∵在Rt△ABP中，，

∴，解得PB=2

∴PC＝PB＝2.

④如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，P点在线段CA的延长线上。

∵∠ABP=30°，∠ABC=60°，

∴△PBC是直角三形.

∵∠C=30°，

∴PB＝PC.

在Rt△PBC中，PC2－PB2＝BC2,

∵BC＝6，PB=PC,

∴PC2－（PC）2＝62，解得PC＝4。

综上所述，CP的长为2、4和6。

15、【答案】x－1.

16、【答案】中性笔2元/支，笔芯8元/盒。

【【解答】

解：

设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，由题意，得

解得，

答：

每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．

17、【答案】

18、【答案】

（1）；

（2）①，②.

【解答】

（1）解法一：

根据题意，可画出如下树形图：

从树形图可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性都相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种。

∴P（两张都是“√”）＝.

解法二：

根据题意，可列表如下：

从上表中可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性都相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种。

（2）

①∵根据题意，三张卡片正面的标记有三种可能，分别为“√”、“×”、“√”，

∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为.

②∵正面标记为为“√”的卡片，它的反面标记只有两种情况，分别为“√”和“×”，

∴猜对反面也是“√”的概率为P＝.

19、【答案】　B（0，3），PB＝10；反比例函数的解析式是.

【解答】

解：

（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，

∴由勾股定理得：

OB=3，即点B的坐标是（0，3）.

∵OP=7，

∴线段PB＝OB＋OP＝3＋7=10.

（2）过点D作DM⊥y轴于M，

∵∠PDB＝90°，

∴∠BDP＝∠DMB＝∠DMP＝90°

∴∠DBM＋∠BDM＝90°，∠BDM＋∠MDP＝90°

∴∠DBM＝∠MDP

∴△DBM∽△PDM

∴

∵OA＝4，DM⊥y轴，设D点的坐标为（4，y）（y＞0）,

∴,

解得，即点D的坐标为（4，1）

把点D的坐标代入，得k=4，即反比例函数的解析式是.

20、【解答】

解：

（1）由题意可得出：

样本容量为：

57÷0.38=150（人），

∴a=150×0.3=45，

b=150-57-45-9=39，

c=39÷150=0.26.

如图所示：

（2）若该校共有初中生2300名，该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：

2300×0.26=598（人）.

（3）①根据以上所求可得出：

只有30%的学生重视阅读数学教科书，有32%的学生不重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，同学们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识．

②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行抽样，进而分析．

21、【解答】

解：

（1）CD∥EB．连接DE．

∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°，

∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，

∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，

∴∠CDE=∠BED，

∴CD∥EB．

（2）连接AD、BD.

∵∠ACD=90°，AC=DC，

∴∠DAC=∠ADC=45°。

同理可证，∠BDE=∠EBD=45°，∠CDE=90°，

∴∠ADB=∠ADB+∠BDE+∠CDE=180°，

即点A、D、B在同一直线上。

∵BE＝2OE＝2×10×cos30°＝10cm，

∴DE＝BE＝10cm，

在Rt△BED中，cm，

同理可得，AD=10cm，

∴AB=BD+AD=20=20×2.45≈49cm．即A、B两点之间的距离大约为49cm．

22、【解答】

解：

（1）∵△OPC的边长OC是定值。

∴当OP⊥OC时，OC边长的高为最大值，此时△OPC的面积最大。

此时PC即为⊙O的切线，

∵AB=4，BC=2

∴OP=OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，

∴，

即△OPC的最大面积为4.

（2）当PC与⊙O相切即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大.

在Rt△OPC，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，

∵，

∴∠OCP＝，即∠OCP的最大度数为30°.

（3）连接AP，BP，

∵∠AOP=∠DOB，

∴AP＝DB.

∵CP=DB，

∴AP=CP，

∴∠A=∠C，

∵∠A=∠D，

∴∠C=∠D，

在△PDB与△OCP中，

∵OC＝PD＝4，∠C=∠D，PC＝BD，

∴△PDB≌△OPC（SAS），

∴∠OPC=∠PBD，

∵PD是直径，

∴∠PBD=90°，

∴∠OPC＝90°，

∴OP⊥，PC，

又∵OP是圆⊙的半径，

∴PC是⊙O的切线．

23、【解答】

（1）等边三角.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.

∵ED=FD，

∴△ADE≌△CDF.（HL）

∴AE＝CF，BE＝BF.

∴BEF是等腰直角三角形。

设BE的长为x，则EF=x，AE=4-x.

∵在Ｒt△AED中，，DE=EF，

∴

解得，（不合题意，舍去）.

∴EF＝x＝（－）＝－4＋4

（2）①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.

②∵AE＝x，

∴BE=4-x.

∵在Ｒt△BED中，，AE=BF，

∴

∵点E不与点A、B重合，点F不与点B、C重合，

∴0＜x＜4.

∵

，

∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16，

∴y的取值范围是8＜y＜16.

24、【答案】

（1）4、、、；

（2）；（3）①；②、.

【解答】解：

（1）4、、、.

∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如图1，其必经过原点O.

记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．

∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，

∴OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC＝∠AOB＝×90°=45°，

即△AOC=△BOC亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．

∴，即A、B两点x轴和y轴坐标绝对值相同．

代入，得方程，解得.

∴由图像可知，A（－，），B（，），C（0，），

即AC=OC=BC＝，

∴AB=·2＝，

即的碟宽为AB＝.

∴①抛物线y=x2对应的，得碟宽=4；

②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽=；

③抛物线（a＞0）的碟宽为；

④抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，

∵平移不改变形状、大小、方向，

∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，

∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，

∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为.

（2）解法一：

∵y=ax2―4ax－＝a（x－2）2－（4a＋）

∴同

（1）得其碟宽为，

∵y=ax2―4ax－的碟宽为6，

∴=6，解得，a=.

∴y＝（x-2）2-3．

解法二：

∵可得，，

又已知碟宽在x轴上，

∴碟高＝＝=3，解得a＝±，

又∵a＞0，a＝－Error!

Referencesourcenotfound.不合题意舍去，∴a1＝.

（3）①解法一：

∵F1的碟宽︰F2的碟宽=2：

1，

∴

∵

∴

∵的碟宽AB在x轴上（A在B左边），

∴A（-1，0），B（5，0），

∴F2的碟顶坐标为（2，0），

∴

解法二：

∵，a＝，

∴，

即碟顶的坐标为（2，－3）.

∵的碟顶是的碟宽的中点，且的碟宽线段在x轴上，

∴的碟顶的坐标为（2,0），设，

∵与的相似比为，的碟宽为6，

∴的碟宽为6×＝3，即＝3，＝.

∴.

②∵的准碟形为等腰直角三角形，

∴的碟宽为2，

∵

∴.

∵=3，

∴·3.

∵∥，且都过的碟宽中点，

∴都在同一条直线上，

∵在直线x=2上，

∴都在直线x=2上，

∴的碟宽右端点横坐标为2+·3.

F1，F2，…，Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5．

理由：

考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2，

Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；

且C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，

连接右端点，BE，EH．

∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，

∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，

∴四边形GFEH、四边形DCBE都是平行四边形，

∴HE∥GF，EB∥DC，

∵∠GFI=•∠GFH=•∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，

∴HE∥EB，

∵HE，EB都过E点，

∴HE，EB在一条直线上，

∴的碟宽的右端点是在一条直线，

∴的碟宽的右端点是在一条直线．

根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知

准碟形右端点坐标为（5，0），

准碟形右端点坐标为，即（3.5，1.5）

∴待定系数可得过两点的直线为y=－x+5，

∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．

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