江西省数学中考试题及详细解答.docx
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准考证号姓名
（在此卷上答题无效）
机密★2015年6月19日
江西省2015年中等学校招生考试
数学试题卷
说明：
1．本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．计算（－1）°的结果为（）
A．1 B．－1 C．0 D．无意义
2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300000用科学计数法表示为（）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的左视图为（）
4．下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）
A．只能是x＝－1
B．可能是y轴
C．在y轴右侧且在直线x＝2的左侧
D．在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．一个角的度数为20°，则它的补角的度数为．
8．不等式组的解集是．
9．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB．则图中有对全等三角形．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为．
11．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝．
12．两组数据：
3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为．
13．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据：
sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766．计算结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．先化简，再求值：
，其中，．
16．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标；
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC＝BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．
18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出m（m>1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：
事件A
必然事件
随机事件
m的值
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于，求m的值．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
19．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生的家长1份，每份问卷仅表明一种态度．将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如下两幅不完整的统计图．
学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图
根据以上信息回答下列问题：
（1）回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？
20．
（1）如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为（）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）如图2，在
（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．
①求证：
四边形AFF'D是菱形；
②求四边形AFF'D的两条对角线的长．
21．如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2）．求点P的坐标；
（2）若b＝y1＋1，点P的坐标为（6，0），且AB＝BP，求A，B两点的坐标；
（3）结合
（1），
（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．
22．甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在A，B两端同时出发，分别到另一端点掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/s和4m/s．
（1）在坐标系中，虚线表示乙离A端的距离s（单位：
m）与运动时间t（单位：
s）之间的函数图象（0≤t≤200），请在同一坐标系中用实线画出甲离A端的距离s与运动时间t之间的函数图象（0≤t≤200）；
（2）根据
（1）中所画图象，完成下列表格：
两人相遇次数
（单位：
次）
1
2
3
4
…
n
两人所跑路程之和（单位：
m）
100
300
…
（3）①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内，s与t的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
②求甲、乙第6此相遇时t的值．
五、（本大题共10分）
23．如图，已知二次函数L1：
y＝ax2－2ax＋a＋3（a>0）和二次函数L2：
y＝－a（x＋1）2＋1（a>0）图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
（1）函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a>0）的最小值为；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是；
（2）当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）；
（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程
－a（x＋1）2＋1＝0的解．
六、（本大题共12分）
24．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝，b＝；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；
归纳证明
（2）请你观察
（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．
2015年江西省中考数学解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1.解析：
选A.∵除0外，任何数的0次方等于1.∴选A.
2.解析：
选B.∵科学记数法是：
把一个数写成“,其中1≤＜10”.∴选B.
3.解析：
选D.∵.∴选D.
4.解析：
选C.∵根据光的正投影可知，几何体的左视图是图C.∴选C.
5.解析：
选C.∵向右扭动框架,矩形变为平行四边形,底长不变，高变小，所以面积变小.∴选C.
6.解析：
选D.∵抛物线过（-2,0），（2,3）两点，∴，解得，∴对称轴，又对称轴在（-2,2）之间，∴选D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7.解析：
∵两角互补，和为180°，∴它的补角=180°-20°=160°.
8.解析:
由≤0得x≤2,由-3x＜9得x＞-3，∴不等式组的解集是-3＜x≤2.
9.解析：
∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF（AAS）,
又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB（AAS）,∴PA=PB,∵PE=PF,
∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）.∴图中共有3对全的三角形.
10.解析：
∵∠A=50°,∴∠BOC=100°,∴∠BOD=80°,∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+80°=110°
11.解析：
由一元二次方程根与系数关系得m+n=4,mn=﹣3，又
∴原式=.
12.解析：
由题意得，解得，∴这组新数据是3,4,5,6,8,8,8,其中位数是6.
13.解析：
如右图，作BE⊥CD于点E.
∵BC=BD,BE⊥CD,∴∠CBE=∠DBE=20°,
在Rt△BCD中，∴，
∴BE≈15×0.940=14.1
14.解析：
如图，分三种情况讨论：
图
（1）中，∠APB=90°，
∵AO=BO,∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°,∴△APO是等边三角形，
∴AP=2；
图
（2）中，∠APB=90°，
∵AO=BO,∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°,∴∠BAP=30°,
在Rt△ABP中，AP=cos30°×4=.
图（3）中，∠ABP=90°,∵BO=AO=2,∠BOP=∠AOC=60°,
∴PB=,∴AP=
∴AP的长为2，或
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15.解析：
原式
把代入得，原式=
16.解析：
（1）∵正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，
∴A,A1是对应点，∴AA1的中点是对称中心，
∵A（0,4），D（2,0），∴AD=2,∴A1D1=AD=2,
又∵D1（0,3），∴A1（0,1），
∴对称中心的坐标为（0,2.5）；
（2）∵正方形的边长为2，点A,D1,D,A1在y轴上，
∴B（-2,4）,C（-2,2）,B1（2,1），C1（2,3）.
17.解析：
如右图所示.
图1，∵AC=BC,∴,
∴点C是的中点，连接CO，
交AB于点E，由垂径定理知，
点E是AB的中点，
延长CE交⊙O于点D，
则CD为所求作的弦；
图2，∵l切⊙O于点P,作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l,∵l∥BC,∴PO⊥BC,由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于F，则AF为所求作的弦.
18.解析：
（1）若事件A为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m=4,若事件A为随机事件，则袋中有红球，
∵m>1，∴m=2或3.
事件A
必然事件
随机事件
m的值
4
2、3
（2），∴m=2.
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
19.解析：
（1）30÷25%=12010÷120×360°=30°∴回收的问卷数为120份，圆心角的度数为30°
（2）如下图：
（3）（30+80）÷120×1500=1375∴对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人.
20.解析：
（1）由平移知：
AEDE′,∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC,∴∠AEE′=90°,
∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.
（2）①∵AFDF′,∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3,EF=4,∠E=90°,∴AF=5,
∵S□ABCD=AD·AE=15,∴AD=5,∴AD=AF,∴四边形AFF′D是菱形.
②如下图，连接AF′,DF，
在Rt△AEF′中，AE=3,EF′=9,∴AF′=
在Rt△DFE′中，FE′=1,DE′=AE=3,∴DF=
∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是和.
21.解析：
（1）把A（1,3）代入得：
，把B代入得：
，∴B（3,1）.
把A（1,3）,B（3,1）分别代入得：
，解得：
，
∴，令，得，∴
（2）∵,∴是的中点，由中点坐标公式知：
，
∵两点都在双曲线上，∴，解得，∴.
作AD⊥于点D（如右图）,则△∽△，
∴，即，又，
∴，∴.
∴
（3）结论：
.
理由如下：
∵A（）,B（），∴，∴
令，得，∵，∴
=，即
22.解析：
（1）如下图：
（2）填表如下：
两人相遇次数
（单位：
次）
1
2
3
4
…
n
两人所跑路程之和
（单位：
m）
100
300
500
700
…
100（2n-1）
（3）①（0≤t≤20）,（0≤t≤25）.
②,∴,∴第六次相遇t的值是.
五、（本大题共10分）
23.解析：
（1）∵，∴；
∵，∴当时，L1的值随着的增大而减小，当时，L2的值随着的增大而减小，∴的取值范围是
（2）∵，∴，
∵，∴，
∴，
如图，∵，∴，
∴，∴
∵，∴
∴，∴
∴四边形是平行四边形，
已知，
∴四边形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
（3）∵，，
∴
①当时，有，∴，等式不成立；
②当时，有∴；
③当时，有，∴
∴或，∵的对称轴为，
∴左交点坐标分别是（-4,0）或（，0），
∴方程的解为.
六、（本大题共12分）
24.解析：
（1）如图1，连接EF,则EF是△ABC的中位线，
∴EF==,
∵∠ABE=45°,AE⊥EF∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2，EP=FP=1,∴AE=BF=,
∴.
如图2，连接EF,则EF是△ABC的中位线.
∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4,
∴AP=2,BP=,
∵EF,∴PE=,PF=1,
∴AE=,BF=
∴,.
（2）
如图3，连接EF，设AP=m,BP=n.,则
∵EF,∴PE=BP=n,PF=AP=m,
∴,,
∴,
∴
（3）
如上图，延长EG,BC交于点Q,延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB，PQ于点M,N,连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC,ABCD,
∵E,G是分别是AD,CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM,∴CQ=DE=,DG=AM=1.5，∴BM=4.5.
∵，∴，∴BP=9,∴M是BP的中点；
∵ADFQ,∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ,
∵E,F分别是AD，BC的中点，∴AEBF,∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF,
由AF∥PQ得：
∴,∴PN=QN,∴N是PQ的中点；
∴△BQP是“中垂三角形”，∴,
∴,∴
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