届数学4.7解三角形应用举例.doc

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河北饶阳中学2014届数学一轮复习试题

[来源:

中_教_网z_z_s_tep]

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于 （　　）

A. B. C. D.

答案　B

解析　因为tanα＝，所以cosα＝.

2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为（　　）

A．1 B．2sin10°

C．2cos10° D．cos20°

答案　C

解析　如图，∠ABC＝20°，

AB＝1，∠ADC＝10°，

∴∠ABD＝160°.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴AD＝AB·＝＝2cos10°.

3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 （　　）

A．50m B．100m C．120m D．150m

答案　A

解析　设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即（h－50）（h＋100）＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.[来源:

z#zs#]

4.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一

点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计

算出A、B两点的距离为 （　　）

A．50m B．50m

C．25m D.m

答案　A

解析　∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，

∴∠ABC＝180°－105°－45°＝30°.

在△ABC中，由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝50（m）．

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．

答案　20米、米

解析　如图，依题意有甲楼的高度为AB＝20·tan60°＝20（米），又CM＝DB＝20（米），∠CAM＝60°，所以AM＝CM·＝（米），故乙楼的高度为CD＝20－＝（米）．

6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.

答案　30

解析　如图所示，依题意有

AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，

在△AMB中，

由正弦定理得＝，解得BM＝30（km）．[来源:

z§zs§]

7.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA

＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．

答案　8

解析　在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．

在△BCD中，由正弦定理：

＝，

∴BC＝·sin30°＝8.

三、解答题（共22分）

8．（10分）如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面

内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在

点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.

解　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，

由正弦定理，得＝，

所以BC＝＝15（m）．

在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15tan60°

＝15（m）．所以塔高AB为15m.

9．（12分）如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD

＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解　在△ADC中，AD＝10，

AC＝14，DC＝6，

由余弦定理得cos∠ADC＝[来源:

中*国教*育出*版网]

＝＝－，

∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.

在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，

由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝＝5.

B组　专项能力提升

（时间：

25分钟，满分：

43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于 （　　）

A．30° B．60° C．120° D．30°或150°

答案　A

解析　利用正弦定理可得＝，

∴sinC＝，∴∠C＝30°或150°.

又∵∠A＝45°，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠C＝30°，故选A.

2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为 （　　）

A. B．2

C.或2 D．3[来源:

]

答案　C

解析　如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC

＝30°，

由余弦定理得（）2＝x2＋32－2x·3·cos30°，

整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 （　　）

A．10海里 B．10海里

C．20海里 D．20海里

答案　A

解析　如图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10（海里）．

二、填空题（每小题5分，共15分）

4．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60°方向，灯塔D在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时．

答案　10

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10（海里/小时）．

5．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．

答案　

解析　如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，

则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.

由正弦定理知，＝，[来源:

]

∴AO＝（米）．

6．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝_____.

答案　60°

解析　S△ADC＝×2×DC×＝3－，

解得DC＝2（－1），

∴BD＝－1，BC＝3（－1）．

在△ABD中，AB2＝4＋（－1）2－2×2×（－1）×cos120°＝6，∴AB＝.

在△ACD中，AC2＝4＋[2（－1）]2－2×2×2（－1）×cos60°＝24－12，

∴AC＝（－1），则cos∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°.

三、解答题

7．（13分）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D

为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰

角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC

＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，

然后求B、D的距离（计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449）．

解　在△ACD中，∠DAC＝30°，

∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.

又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.[来源:

中教网]

在△ABC中，＝，

所以AB＝＝，

即BD＝≈0.33（km）．

故B、D的距离约为0.33km.

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