届数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座：随机变量的数字特征及正态分布.doc
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【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：
考点49随机变量的数字特征及正态分布（解析版）
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
掌握随机变量的期望、方差和正态分布的概念.
二.知识梳理
1平均数的计算方法
（1）如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么=（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平均数，读作“x拔”
（2）当一组数据x1，x2，…，xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，=+a
（3）加权平均数：
如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么=
2方差的计算方法
（1）对于一组数据x1，x2，…，xn，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］
叫做这组数据的方差，而s叫做标准差
（2）方差公式:
s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］
（3）当一组数据x1，x2，…，xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a则s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］
3数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称……为ξ的数学期望，简称期望
4数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
5平均数、均值:
在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
6期望的一个性质:
7方差:
＝＋＋…＋＋…．
衡量数据波动大小的量方差越大数据波动越大
8标准差:
的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作
9方差的性质：
；
10二项分布的期望：
二项分布:
ξ～B（n，p），并记＝b（k；n，p）．
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
Eξ=np,np（1-p）
11正态分布密度函数：
，（σ＞0，-∞＜x＜∞）
其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为
12正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
13正态曲线的性质：
正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量～N（μ，σ2），根据定义有：
μ=E，σ=D
正态曲线具有以下性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点.
（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学
14．标准正态曲线:
当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）
其相应的曲线称为标准正态曲线
标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
15标准正态总体的概率问题:
[来源:
学科网]
对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，
其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:
当时，；而当时，Φ（0）=0.5
16标准正态分布表
标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即
，．若，则．
利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．
17小概率事件的含义：
发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生
假设检验方法的基本思想:
首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析
假设检验方法的操作程序，即“三步曲”：
一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入（μ-3σ，μ+3σ）；三是作出判断
三．考点逐个突破
1.均值与方差的求法
例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
（1）求ξ的分布列、期望和方差；
（2）若η＝aξ＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值．
[解]
（1）ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D（ξ）＝（0－1.5）2×＋（1－1.5）2×＋（2－1.5）2×＋（3－1.5）2×＋（4－1.5）2×＝2.75.
（2）由D（η）＝a2D（ξ），得a2×2.75＝11
即a＝±2.又E（η）＝aE（ξ）＋b，[来源:
Z|xx|k.Com]
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
2.均值与方差的实际应用
例2某投资公司在2012年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：
新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：
通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
（参考数据：
lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
[思路点拨] 首先分别求出按项目一、项目二投资时，获利的期望和方差．
[解]
（1）若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，则ξ1的分布列为
ξ1
300
－150
P
∴E（ξ1）＝300×＋（－150）×＝200（万元）．
若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，[来源:
学+科+网]
则ξ2的分布列为：
ξ2
500
－300
0
P
∴E（ξ2）＝500×＋（－300）×＋0×＝200（万元）．
D（ξ1）＝（300－200）2×＋（－150－200）2×＝35000，
D（ξ2）＝（500－200）2×＋（－300－200）2×＋（0－200）2×＝140000，
所以E（ξ1）＝E（ξ2），D（ξ1）这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意：
1000×（1＋）n＝2000，
即1.2n＝2，两边取对数得：
n＝＝≈3.8053.
所以大约4年后，即在2015年年底总资产可以翻一番．
3.正态分布及应用
例3在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100,100），已知满分为150分．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（80,120]内的概率；
（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．
[解]
（1）由ξ～N（100,100）知μ＝100，σ＝10.
∴P（80<ξ≤120）＝P（100－20<ξ≤100＋20）＝0.9544
即考试成绩位于区间（80,120]内的概率为0.9544.
（2）P（90<ξ≤110）＝P（100－10<ξ≤100＋10）＝0.6826，
∴P（ξ>110）＝（1－0.6826）＝0.1587，
∴P（ξ≥90）＝0.6826＋0.1587＝0.8413.
∴及格人数为2000×0.8413≈1683.
4.均值与统计的综合应用
例4如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：
吨）的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值；
（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
[思路点拨]
（1）第
（1）小题可根据概率之和为1求解．
（2）第
（2）小题可根据X服从二项分布求解．
[解]
（1）依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，
解得x＝0.12.
（2）由题意知，X～B（3,0.1）．
因此P（X＝0）＝C×0.93＝0.729，P（X＝1）＝C×0.1×0.92＝0.243，
P（X＝2）＝C×0.12×0.9＝0.027，P（X＝3）＝C×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P[来源:
学科网]
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为E（X）＝3×0.1＝0.3.
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