全国研究生数学建模竞赛一等奖论文.docx

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全国研究生数学建模竞赛一等奖论文

参赛密码

（由组委会填写）

全

第十二届“中关村青联杯”全国研究生

数学建模竞赛

学校

西安理工大学

参赛队号

队员姓名

1.余蓉

2.程帅

3.明波

参赛密码

（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生

数学建模竞赛

题目面向节能的单/多列车优化决策问题研究

摘要：

铁路运输消耗的总能量巨大，研究列车节能操作运行具有重要的理论意义和实际应用价值。

针对问题一：

分析了单列车运行过程中的能量转换机制。

得到列车的牵引力做功与制动力、阻力做功之间的关系。

据此，建立了牵引力做功最小的耗能最低优化模型。

考虑到模型约束条件的复杂性，提出了基于模拟-优化思想的模型求解方法：

首先，通过模拟方法找到列车的可行运行工况；其次，采用布谷鸟优化算法优化了列车运行工况时间切换点；最后，确定了列车最优运行速度距离曲线。

所求结果显示，列车从A6-A7站以及A6-A8站的最低能耗分别为3.4×107J和6.7×107J。

针对问题二：

分析了多列车节能优化控制中列车运行时间以及列车制动牵引重叠时间对能耗的影响。

首先，基于“列车运行时间与耗能成反比”的基本规律，提出了缩短列车停站时间以及采用单站最优速度距离曲线的基本节能控制策略；其次，通过控制列车发车时间间隔实现了列车牵引制动重叠时间的最大化；最后，建立了多列车能量交换重叠时间最大优化模型，并采用动态搜索方法结合布谷鸟优化算法对该模型进行了求解，分别求得100列和240列列车总耗能最低的发车间隔，进而得到对应的发车时刻图（如图11和图12所示）、列车速度距离曲线图（如图10和图13~14所示）。

针对问题三：

首先，通过分析列车延误后优化控制问题中尽快恢复正点以及恢复期间耗能最低两个基本目标，建立了列车延误时间最小以及能耗最低的多目标优化控制模型；其次，以单列车从A2到A3站的运行过程为研究对象，以延误10s为模型输入，基于模拟优化方法求解了列车延误后尽快恢复正点运行的最优速度距离曲线（如图15所示）；最后，对于延误时间为随机变量问题，建立了一个随机模拟模型，生成了大量样本数据，以样本数学期望7.5s作为模型输入，重新拟定列车的最优速度距离曲线（如图16所示），并与延误之前的控制方案进行了对比。

关键词：

列车节能优化；模拟优化；布谷鸟优化算法；动态搜索；多目标优化

1问题重述-1-

2问题假设-2-

3符号说明-2-

4问题分析-4-

5模型的建立与求解-5-

5.1单列车能耗最低优化模型-5-

5.1.1模型建立-5-

5.1.3结果分析-10-

5.2多列车节能优化模型-11-

5.2.1模型建立-11-

5.2.2模型求解-15-

5.2.3结果分析-16-

5.3列车延误优化控制模型-21-

5.3.1模型建立-21-

5.3.2模型求解-23-

5.3.3结果分析-23-

6.1模型的优点-24-

6.2模型的缺点-25-

6.3模型的推广-25-

参考文献-25-

附录-27-

附录2问题一

（2）结果数据-30-

附录3求解过程中主要程序-35-

附录3-2第二题主要程序-46-

附录3-3第三题主要程序-49-

1问题重述

轨道交通系统的能耗是指列车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产生的能耗。

根据统计数据，列车牵引能耗占轨道交通系统总能耗40%以上。

在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。

请从数学建模的角度进行探索，研究以下问题：

1．单列车节能运行优化控制问题

（1）请建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

（2）请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在A7车站停站45秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间），列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

注：

请将本问

（1）和

（2）得到的曲线数据按每秒钟一行填写到文件“数据格式.xlsx”中红色表头那几列，并将该文件和论文一并提交。

（请只填写和修改数据，一定不要修改文件“数据格式.xlsx”的格式。

其中计算公里标（m）是到起点的距离，计算距离（m）是到刚通过的一站的距离）

2．多列车节能运行优化控制问题

（1）当100列列车以间隔H={h1,h2,…,h99}从A1站出发，追踪运行，依次经过A2，A3，最终到达A14站，中间在各个车站停站最少Dmin秒，最多Dmax秒。

间隔H各分量的变化范围是Hmin秒至Hmax秒。

请建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。

要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为T0=63900秒，且从A1站到A14站的总运行时间不变，均为2086s（包括停站时间）。

假设所有列车处于同一供电区段，各个车站间线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

补充说明：

列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车（后车）速度不能超过限制速

度

，以免后车无法及时制动停车，发生追尾事故。

其计算方式可简化如下：

其中，

是列车当前位置的线路限速（km/h），L是当前时刻前后车之间的距离（m），

是列车制动的最大减速度（m/s2）。

（2）接上问，如果高峰时间（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。

请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。

三．列车延误后运行优化控制问题

接上问，若列车i在车站Aj延误

（10秒）发车，请建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。

假设

为随机变量，普通延误（0<

<10s）概率为20%，严重延误（

>10s）概率为10%（超过120s，接近下一班，不考虑调整），无延误（

＝0）概率为70%。

若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，如何对第二问的控制方案进行调整。

2问题假设

假设1：

列车运行过程中，无意外事故发生，不会出现非人为停车事故；

假设2：

列车运行过程中，忽略重力做功；

假设3：

将列车当作质点，不考虑列车的自身长度；

假设4：

单列车节能优化控制问题，不考虑再生能源利用，与其他列车无能量交换；

假设5：

多列车节能运行优化控制问题，各列车在同一站点区间内采用相同的运行策略；

3符号说明

符号

符号含义

牵引力所做功

总阻力所做功

制动力所做功

列车站间间距

列车i+1制动的时间与列车i加速时间的重叠时间

列车i+1的制动时间

列车从

站点到

站的运行时间

列车在第

站点停站时间

列车在第

站的牵引终止时刻

列车在第

站的制动起始时刻

列车i+1与列车i的间距车站数

站点编号

第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间差

从A1站到A14站的总运行时间

列车i在车站Aj的延误时间

未延误时第m辆列车在第Ak站点的时刻

延误后第m辆列车在第Ak站点的时刻

列车未延误时从第Ai站到Aj站的牵引力函数

列车延误调整时从第Ai站到Aj站的牵引力函数

列车未延误时从第Ai站到Aj站的速度函数

列车延误调整时从第Ai站到Aj站的速度函数

注：

其他符号见正文具体说明。

4问题分析

列车在运行过程中的时间与路程固定，根据相关研究成果，列车节能操作需遵循如下四个基本原则[1-4]：

第一：

在列车牵引阶段，使用最大牵引力牵引，有利于快速使列车获得较大的动能，为列车的惰行提供足够的能量；

第二：

列车在站间运行时尽量减少惰行的次数，一是惰行和牵引的频繁转换会降低乘客的舒适性，二是惰行次数越多证明牵引次数越多，而站间距离是固定的，牵引的时间越长能量的消耗越大；

第三：

在列车制动停车前的站间运行不釆取制动措施，因为不必要的制动会带来巨大的能量损失。

若没有突发情况，在一般线路上经过合理的操纵设计完全可以避免站间釆取不必要的制动；

第四：

列车到达终点停车时根据列车运行站点时刻表采取合适的制动力。

对于问题一

（1），要求建立单列车节能优化数学模型，求解列车的速度距离曲线，使得列车从A6站出发到达A7站的能耗最低。

列车行驶过程中，牵引力做正功，制动力和阻力做负功。

基于能量守恒定律，列车的耗能最低可转化为牵引力做功最小。

从节能角度出发，当车站间距离较短时，列车一般采用“牵引-惰行-制动”的策略运行。

当站间距离较长时，则会采用牵引到接近限制速度后，交替使用惰行、巡航、牵引三种工况，直至接近下一车站采用制动进站停车，具体运行工况由路况以及列车自身特性决定。

因此，该问题可抽象为如下优化问题：

在满足列车运行速度、时刻、站点间距等约束条件下，首先根据路况条件初步判定列车的运行工况，在此基础上优选运行工况；其次确定各工况之间的最佳切换时间，使得列车运行期间牵引力做功最小。

对于问题一

（2），要求重新建立单列车节能优化数学模型，求解列车的速度距离曲线，使得列车从A6站出发到达A8站的能耗最低。

将运行总时间根据路况分配至每个站点区间，该问题优化目标不变，优化规模相对扩大，约束条件略有改变，求解策略与问题一

（1）基本相同。

对于问题二

（1），多列车的节能运行优化控制，应从两个方面进行考虑：

其一，应满足单列车站间运行期间的能耗最小；其二，应使相邻列车间产生的可再生能量利用的最大化。

基于问题一的分析结论以及列车节能操作的基本原则可知，列车在站间运行时间越长，越有利于降低能耗。

由于多列车总运行时间固定，应使得列车停站时间尽量短，以确保多列车的运行时间相对较长。

其次，通过调控列车的发车时间，使得相邻列车制动和牵引重叠的时间尽量最大。

最后，根据列车总发车时间及相邻列车之间的间距，确定限制速度，重新调整列车的速度距离曲线。

对于问题二

（2），在问题二

（1）的基础上，考虑特定时段的发车间隔时间限制，同时增多发车数量，需重新制定多列车的运行图以及相应的速度距离曲线。

相比于问题二

（1），问题二

（2）中对于特定时段的发车时间约束改变，同时由于发车数量增多，将导致相邻列车间距变小，列车的限制速度发生改变，需要据此重新计算列车的速度距离曲线。

对于问题三

（1），在问题二的基础上，当列车发生延误时，须建立控制模型，找出安全运行前提下，列车尽快恢复正点运行，同时恢复期间的能耗最低，属于多列车延误追踪的多目标优化控制问题。

延误发生之后，恢复正点运行即通过改变列车的运行策略，使得延误后的各列车在各站点的到达时间与正点时间的差值最小、能耗最低，即求解保证各列车安全运行时的最优速度距离曲线。

对于问题三

（2），在问题三

（1）的基础上，当列车延误时间为随机变量时，根据随机样本，重新建立模型计算，对第二问的控制方案进行调整，同时允许列车在各站到、发时间与正点时间相比不超过10s。

考虑到随机变量样本数据较多，且计算机运算能力有限，单次优化耗时较长。

以随机变量的数学期望作为代表，分析随机样本对控制方案的影响是一种有效的途径。

因此，首先可建立随机模拟模型生成大量样本，并计算统计样本的数学期望。

其次以该数学期望作为多列车延误追踪能耗最低数学模型的输入，重新对第二问的控制方案进行调整。

5模型的建立与求解

5.1单列车能耗最低优化模型

5.1.1模型建立

问题一

（1）中要求寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，列车从启动到停止的整个过程遵循能量守恒定律：

（1）

由上式可知列车总能耗为：

（2）

分析

（2）式可知，能耗与牵引力做功以及重力势能的改变有关，当不考虑重力势能的该变量时，列车能耗与牵引力做功大小相等。

最节能即可转为为求牵引力在整个过程中做功最小。

牵引力做功大小与牵引力大小以及沿牵引力方向的位移有关。

为此，需要对列车作受力分析，如图1所示。

图1单质点列车受力分析示意

根据牛顿第二定律，可得到：

（3）

列车在牵引阶段作变加速运动，所受阻力与运行速度有关。

根据已知条件，列车总阻力由两部分构成，其一为基本阻力：

（4）

其二为附加阻力：

（5）

总阻力为：

（6）

列车t时刻的瞬时速度为:

（7）

t时刻对应的路程为：

（8）

综上所述，建立了单列车能耗最低优化模型，记为模型

。

如下所示：

模型

（9）

在问题一

（2）中，列车从A6行驶至A8的总路程以及总时间固定，经过A7时速度降为0，要求总能耗最小。

该问题优化的实质与问题一

（1）相同，但约束条件相对增多，求解规模相对扩大。

为了降低优化难度，须将两站联合优化问题化为两个单站优化问题。

首先，根据各站间的路段距离、坡度、曲率，合理分配各个站间区间列车运行时间[5-6]。

进而在前问的基础上建立单列车两站能耗最低优化模型，记为模型

。

模型

（10）

5.1.2模型求解

（1）模拟优化算法

本文采用模拟-优化方法对问题

（一）对其进行求解。

通常，当求解问题约束条件较多、求解规模较大时，直接采用优化算法寻优，往往难以找到最优解，有时甚至出现算法不收敛的情况。

因此，结合模拟手段，在优化之前先寻找到可行解，然后再进行优化成为求解复杂问题的一种有效的途径。

模拟优化算法的基本步骤如下：

步骤1：

根据节能的基本原则，采用最大牵引力牵引，有利于使列车获得较大的动能，为列车的惰行提供足够的能量。

步骤2：

根据站点路况，确定列车运行工况组合。

从节能角度出发，当车站间距离较短时，即采用“牵引-惰行-制动”工况；当站间距离较长时，则先采用牵引到接近限制速度后，然后交替使用惰行、巡航、牵引三种运行工况，直至接近下一站点采用制动进站停车。

步骤3：

采用布谷鸟优化算法优化各各工况的切换点时间点，优化目标为牵引力做功最小，采用罚函数处理等式和不等式约束条件，不断迭代，当满足算法终止准则时，输出最优速度距离曲线。

模拟-优化算法的计算流程图如图2所示：

图2模拟优化算法求解流程图

（2）布谷鸟搜素算法

布谷鸟搜索（CuckooSearch,CS）算法是由英国学者Xin-SheYang和SuashDeb于2009年提出的一种新颖的启发式全局搜索算法[7]。

该算法通过模拟布谷鸟的寄生育雏行为以及莱维飞行（Lévyflight）特征以寻求优化问题的最优解。

由于CS参数少、鲁棒性强、搜索效率高，已被成功应用于各领域，成为既GA和PSO之后群智能算法的一个新亮点[8-9]。

CS通过两个组件不断生成新的个体：

Lévyflight随机游动以及偏好随机游动，二者平衡算法的全局搜索以及局部搜索。

采用Lévyflight随机游动更新个体的方式如下：

（11）

式中：

表示第t+1代中个体i；

为步长控制量，用于控制随机搜索的范围，默认值为0.01；

为点对点乘法；L（λ）为Lévy随机搜索步长，服从Lévy分布。

（12）

另外一种生成新个体的方式是通过一个固定的发现概率Pa：

用一个随机数

与发现概率Pa相比较以确定是否生成新个体。

新个体生成方式如下：

（13）

式中：

，二者均服从均匀分布；

分别表示第t代中的3个随机个

图3布谷鸟搜索算法流程图

体。

为赫维赛德函数，当

时，函数值为0；

，函数值为1；

时，函数值为0.5。

CS算法通过以上两种方式对个体不断更新，当满足终止准则时（一般采用最大迭代次数）停止迭代，并输出最优个体。

CS算法计算流程图如图3所示。

5.1.3结果分析

采用模拟-优化方法分别对问题一中模型

、

进行求解，得到列车在A6站至A7站以及A6站至A8站间列车处于各工况的运行时间以及牵引力做功大小，如表1所示。

从表1可知，从A6站至A7站，列车总运行时间约为110s，从A6站至A8站，列车运行时间约为220s，满足约束条件；此外，列车从A6站至A7站牵引力做功为3.4×107J，列车从A6站至A8站牵引力做功为6.7×107J，二者之比约为对应时间之比；值得指出的是，针对同一站点，列车运行时间越长，牵引力做功越小，即能耗越小，该结论与题目所给出的基本控制策略一致。

表1列车各阶段运行时间及牵引力做功表

情景

牵引时长（s）

惰行时长（s）

制动时长（s）

总时长（s）

做功（107J）

问题一

（1）A6-A7

21

75

14

110

3.4

问题一

（2）A6-A7

19

80

14

113

3.2

问题一

（2）A7-A8

21

73

13

107

3.5

图4A6站至A7站列车速度距离曲线

图4和图5所示为列车A6站至A7站、A6站至A8站的速度距离曲线。

从图中可知，列车在A6站至A7站、A7站至A8站点间运行均采用“牵引—惰行—制动”三种运行工况，且在达到站点末期，列车速度均降为0；图6所示为列车从A6站至A8站加速度随距离的变化曲线，从图中可以看出，列车在各点的加速度均在限制范围内。

综合可知，采用模拟优化方法求解模型

、

合理、可行。

图5A6站至A8站列车速度距离曲线

图6A6至A8站加速度随距离变化示意变化图

5.2多列车节能优化模型

5.2.1模型建立

多列车的节能运行优化控制，应从两个方面进行考虑：

其一，应满足单列车站间运行期间的能耗最小；其二，应使相邻列车间产生的可再生能量利用的最大化。

根据已知条件可知，列车在站间运行时间与能耗基本存在反比关系，如图7所示，列车在站间运行时间越长，能耗最低。

图7站间运行时间与耗能关系

由于多列车总运行时间固定，要使得能耗最低，应使列车停站时间尽量短，运行时间尽量长。

在单列车最节能运行策略的基础之上，同时使得列车制动时产生的可再生能量利用的最大化，可再生能量利用示意图如图8所示。

图8再生能量利用示意图

相邻列车可再生能量数学表达式如下：

（14）

由上式可知，可再生能量与相邻列车的制动、加速重叠时间基本成正比关系。

因此，多列车耗能最低模型最终转化为相邻列车制动和牵引的重叠时间最长，即为：

（15）

为不失一般性，以列车i和列车i+1为研究对象，分析其速度随时间的变化规律，如图7所示为两车在行驶过程中的关键时间节点。

图9列车行驶关键时间节点示意图

由图9可知，列车i+1与列车i发车的时间间隔为

，当列车i+1处于制动的起始时刻

，此时列车i的运行时间为

，通过判断列车i此刻处于速度—距离（时间）曲线中的哪一阶段，对可能产生再生能量的过程进行分析。

具体来讲，可分为两种情景：

情景一：

当列车i处于牵引阶段，列车i+1处于制动阶段，二者产生能量交换。

即当

时，列车i的剩余牵引时间为

，列车i+1的制动时间为

，重叠时间取二者中的较小值，即为：

（16）

情景二：

当列车i处于将要发车阶段，列车i+1未完成制动时，二者产生能量交换。

记为

。

定义为距离发车时刻为：

（17）

当列车i的剩余牵引时间为

，列车i+1剩余制动时间为

，取二者较小值。

即有：

（18）

综上所述，建立多列车能量交换重叠时间最大数学模型（记为模型

），具体表达式如下：

模型

（19）

（20）

在问题二

（2）中要求在高峰时段（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔

不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。

该问题优化的实质与问题二

（1）相同，不同之处在于在特定时段内改变发车时间的约束条件，且运行的列车总数量增多。

为此，在问题二

（1）的基础上建立了如下数学模型，记为模型

，如下所示：

模型

（21）

（22）

5.2.2模型求解

本文采用动态搜索算法结合布谷鸟优化算法对问题二进行求解。

首先，为了使得多列车总能耗最低，将列车停站时间取最小值，即Dmin=30s，以此保证列车运行时间的最大化，同时，各列车均按照问题一中所提供的速度距离曲线运行，从而在整体上保证列车运行能耗相对较低。

其次，通过调整发车间隔，使得相邻两列车制动、牵引重叠时间的最大化，从而保证列车生成的再生能量的相对较大。

最后，判断在上述发车策略下，否有可能发生追尾事故，如果可能发生追尾事故，更新限制速度，同时调整速度距离曲线以及发车策略；如果不可能发生追尾事故，则直接输出最优发车策略。

以相邻两列车为研究对象，进行优化，具体计算步骤如下：

步骤1：

首先将总时间分配至各站点区间，基于模型

，计算单辆列车从A1-A14之间各站间的速度距离曲线；

步骤2：

将各列车停站时间取最小值Dmin=30s，以确定列车运行总时间；

步骤3：

以相邻两辆车为研究对象，对于不同的发车间隔分量hi，其限定的范围内，以一定的步长进行动态搜索，找出不同hi值时两列车的重叠时间，同时建立重叠时间与hi的函数关系；

步骤4：

以hi为优化变量，以列车重叠时间最大为目标，采用布谷鸟算法对其进行优化，并采用惩罚函数法处理等式约束条件（总时间为定值）。

步骤5：

输出最优发车间隔，根据速度限制公式并判断是否需要对限制速度进行更新，需要，返回步骤1；不需要，输出最优发车间隔。

模型

求解方法同上。

5.2.3结果分析

基于以上分析，由于列车总运行时间、停站时间均为定值，可以求得列车在站点间的运行时间；然后，将此时间根据各站点间的距离以及坡度情况合理分配到各站点区间；基于模型

以及模拟-优化算法逐一计算相邻两站点间的速度距离曲线。

表2为列车从A1站至A14站的牵引与制动时刻表，利用该表可计算相邻两列车制动牵引的重叠时间。

表2列车运行过程牵引与制动时刻表

站点名称

牵引

制动

起始时刻（S）

终止时刻（S）

起始时刻（S）

终止时刻（S）

A1-A2

0

28

93.2

111.5

A2-A3

141.5

163.2

228.35

240

A3-A4

270

295

334

363

397.85

417.35

A4-A5

447.35

476.51

630.67

635.57

A5-A6

665.57

689.57

852.47

860.47

A6-A7

890.47

917.47

968.57

986.27

A7-A8

1016.27

1042.27

1094.77

1110.57

A8-A9

1140.57

1166.57

1231.22

1245.97

A9-A10

1275.97

1298.97

1334.49

1352.27

A10-A11

1382.27

1407.27

1537.8

1548.11

A11-A12

1578.11

1606.61

1682.61

1719.61

1738.91

1748.56

A12-A13

1778.56

1806.56

1845.01

1862.51

A1