初中数学的基本概念.docx
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初中数学的基本概念
初中数学的基本概念
数学
SHU XUE
第一章有理数
一．基本概念
１．大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数．
注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．
（２）不一定是负数．
（３）负数＜０＜正数．（要会比较两个数的大小）
２有理数＂或有理数
注：
了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整数＂、＂非负整数＂．
３．数轴的三要素：
原点、正方向和单位长度．（判断是不是数轴的依据）
４．（１）相反数：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（２）倒数：
乘积为１的两个数叫做互为倒数．
（３）绝对值：
数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．
注：
①互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之积为１．
②０的相反数是０；０的绝对值是０；０没有倒数．
③出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题目，一般有两个答案．
例如：
平方为９的数有±３；绝对值为３的数有±３；距离原点３个单位长度的点表示的数是±３．
注：
要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反数、倒数（０除外）和绝对值．
相反数
绝对值
倒数
正数
负数
正数
正数
负数
正数
正数
负数
０
０
０
不存在
５．科学记数法：
把一个大于10的数表示成的形式，就叫做科学记数法．
注：
是整数位只有一位的数，是正整数．
６（１）近似数：
它是相对于精确数来说的．
（２）有效数字：
从一个数的左边第一个非０数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
二．有理数的运算法则
１．加法法则：
（１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
（２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
（３）０加任何数都得任何数．
２．减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．即
注：
加上一个数等于减去这个数的相反数．例如．
３．乘法法则：
（１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（２）０乘任何数都得０．
４．除法法则：
法则１：
除以一个不等于０的数，等于乘以这个数的倒数．即
法则２：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．０除以任何一个不等于０的数，都得０．
５．乘方法则：
（１）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
（２）正数的任何次幂都是正数．
（３）０的任何次幂都是０．
☆任何一个数都可以看作是它本身的1次方．即
６．有理数的混合运算法则：
（１）先乘方，在乘除，最后加减；
（２）同级运算，从左到右进行；
（３）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
三．有理数的运算律
１．加法运算律
（１）加法交换律：
（２）加法结合律：
２．乘法运算律
（１）乘法交换律：
（２）乘法结合律：
（３）乘法分配律：
☆ 负数一定要用括号括起来，如：
．
第二章一元一次方程
一．几个基本概念
1．等式：
用等号连接的式子叫做等式．
２．方程：
含有未知数的等式叫做方程．
３．一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．
注：
方程一定是等式，但等式不一定是方程．
☆“方程的解”和“解方程”
二．等式的基本性质
１．在等式的两边同时加上或减去一个数或式子，结果不变．即
２．在等式的两边同时乘以一个数，或者除以一个不为０的数，结果不变．即
三．解一元一次方程的步骤
１．去括号（把括号和括号前边的符号一同去掉，若括号前边是正号，则不变号；若括号前边是负号的，则变做相反的符号．）
２．去分母（在等式的两边同时乘以公分母．注意：
是等式两边的每一项都要乘以公分母．）
３．移项（通常把未知数移到等式的左边，常数项移到等式的右边．注意：
从等式的一边移到另一边要变作相反的符号．）
４．合并同类项（化简的作用．）
５．化系数为１．
四．利润问题、工程问题
１．利润＝售价－进价＝进价利润率（盈利率）
售价＝进价＋利润＝原价折扣数
利润率＝利润进价
２．工作总量＝工作效律工作时间
注意：
做题时，往往把工作总量看作１．
顺流（风）速度＝静水（风）速度＋水（风）流速度
逆流（风）速度＝静水（风）速度－水（风）流速度★补充教材★
（一）字母表示数
如：
若、分别表示两个数，则加法的交换律可以表示为，乘法交换律可以表示为等．还有解方程中的、圆面积中的等都表示数字．
☆字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或简单记作“”，数字与字母相乘，一定要把数字写在字母的前面，并把数字叫做该项的系数．
（二）代数式
像、、、等这样的式子都是代数式．
（三）代数式求值
1．填写下表1
2
3
4
511
26
4
25
2．人体血液的质量约占人体体重的6％～7.5％，
如果某人体重是千克，那么他的血液质量大约在什么范围内？
（四）去括号（比较与添括号）
去括号的法则：
（１）括号前边是＂＂，把括号和它前面的＂＂一同去掉，原括号里各项的符号都不改变．
（２）括号前边是＂＂，把括号和它前面的＂＂一同去掉，原括号里各项的符号改变为相反的符号．（即正变负，负变正）
第三章 图形认识初步
注：
平面几何要求熟记面积公式和周长公式，立体几何要求会作图，知道它们的顶点、棱、面的个数．
２.直线、射线、线段．
端点
长短
粗细
表示
直线
无
无
无
直线AB
射线
1
无
无
射线AB
线段
2
有
无
线段AB
（1）两点之间线段最段．
两点确定一条直线．
（2）点和直线的位置关系：
①点在直线上（直线经过点）
②点在直线外（直线不经过点）
（3）点动成线，线动成面，面动成体．
即：
无数个点构成线，无数条线构成面，无数个面构成体．
3．角的两种概念：
（1）有公共端点的两条射线构成的图形叫做角．
（2）一条射线绕着它的端点旋转后得到的图形叫做角．
４．角的度量
１度＝分＝秒．（要求：
熟悉单位之间的换算）
例如：
（１）23度15分＝＿＿＿度． （２）75.5度=____度___分．
５．余角和补角．（会求任意角的余角和补角）
（１）若两角之和为度，则称这两个角互为余角．
（２）若两角之和为度，则称这两个角互为补角．
☆同（等）角的余角相等；
☆同（等）角的补角相等．
第四章 数据的收据与整理
☆ 调查
☆ 调查的方式有：
问卷调查、访问调查、查阅文献资料和实验等．
１．收据数据（制作调查问卷）２．整理数据（制作表格）
３．描述数据（条形统计图、扇形统计图、折线统计图）
４．分析数据（得出结论、给出建议）
☆ 本章：
要求会作统计图、会看统计图、会分析统计图，最后得出结论．
第五章相交线与平行线
一．基本概念
１．两直线的位置关系
（１）相交（有一个交点）
（２）平行（无交点）
☆ 垂直是相交中的一种特例．
☆三条直线相交有1个或3个交点．
2．邻补角（互补）3．对顶角（相等）
4．垂直（90o）5．垂足（交点）
６．点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做，叫做点到直线的距离．
☆ 所有的距离都是指垂直距离．
７．两条平行线间的距离：
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
８．命题：
判断一件事情的语句叫做命题．包括条件和结论．一般写成＂如果……那么……＂的形式．可分为真命题和假命题． 你能找出左图中的邻补角、对顶角吗？
二．基本性质
１．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（点可以在直线上，也可以在直线外）
２．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直．
３．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．（简单说成：
垂线段最短．）
４．（平行的传递性）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．
即：
如果a∥b，b∥c，那么a∥c．
（平行的传递性）
☆等式的传递性：
若Ａ＝Ｂ，Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ．
☆全等（相似）三角形的传递性
６．两直线平行的条件（判定）：
（１）同位角相等，两直线平行．
（２）内错角相等，两直线平行．
（３）同旁内角互补，两直线平行．
７．平行线的性质：
（１）两直线平行，同位角相等．
（２）两直线平行，内错角相等．
（３）两直线平行，同旁内角互补．你能找出左图中的同位角、内错角、同旁内角吗？
８．（１）平移不改变图形的大小和形状．
（２）连接各组对应点的线段平行且相等．
第六章平面直角坐标系
一．平面直角坐标系（直角坐标系）及其相关概念（坐标原点）纵坐标横坐标
☆有序数对：
有顺序的两个数ａ与ｂ组成的数对，叫做有序数对．记作（ａ，ｂ）．
☆一般情况下：
（ａ，ｂ）≠（ｂ，ａ）
☆点的坐标就是一个有序数对．
☆原点Ｏ的坐标是（0,0）,x轴上的坐标是（ｘ，０），ｙ轴上的坐标为（０，ｙ）．
二．用坐标表示平移
１．左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加．
２．上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减．
第七章 三角形
一．基本概念
１．三角形 ２．多边形（凸、凹）
３．正多边形（各个角相等，各条边相等）
４．内角（简称为角，三角形、多边形的内角）
５．外角（三角形、多边形的外角）
６．对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
７．三角形的高（垂直，即90o）、中线（线段相等）、角平分线（角相等）
二．基本性质
１．三角形的任意两边之和大于第三边．（判断任意三条线段能否组成三角形的依据）
２．三角形具有稳定性．
３．ｎ边形的内角和为（ｎ－２）·180o；三角形的内角和为180o，四边形的内角和为360o．
４．多边形的外角和为360o．
５．（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
（２）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
第八章 二元一次方程组
一．基本概念
１．二元一次方程：
含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的方程叫二元一次方程．
２．二元一次方程组：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就叫做二元一次方程组．
３．二元一次方程的解：
使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫二元一次方程的解．
４．二元一次方程组的解：
二元一次方程组的两个方程的公共解叫二元一次方程组的解．
二．解二元一次方程组的两种方法
1．代入消元法（代入法）：
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．
２．加减消元法（加减法）：
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．
☆ 如何消元更简单？
如果有一个未知数的系数是１，那么通常
情况下采用代入消元法；如果两个二元一次方
程中同一未知数的系 数相反或相等时，那么
通常情况下采用加减消元法．
第九章不等式与不等式组
学习方法：
学习本章要结合前面的等式、方程、方程组进行对比学习，注意知识之间的融会贯通，找出它们之间的联系和区别．
一．基本概念
１．不等式：
用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）连接的式子叫做不等式．
２．不等式的解：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
３．解的集合（解集）：
不等式的所有解组成的结合叫做解的集合（解集）．
４．一元一次不等式：
含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式．
５．一元一次不等式组：
把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．
６．不等式组的解集：
几个不等式解集的公共部分，叫做它们组成的不等式组的解集．
二．不等式的基本性质
１．不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不改变．
如果a＞b，那么a±c＞b±c．
2．不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的
方向不改变.
如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc（或）
３．不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的
方向要改变.
如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc（或）
三．解不等式的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并→化
系数为１（系数是负数时，不等号的方向要改变）．
四．用不等式（组）解决实际问题的一般步骤
解设→找出不等量关系，列出不等式（组）
→求解不等式（组）→考虑问题的实际意义
→作答．
☆ 到底是选择方程（组）还是选择不等式（组）解题，主要是看是否有以下关键词：
不能完成任务，提前完成任务；超过，不超过．
第十章 实数
一．基本概念
1．平方根：
若ｘ２＝ａ，则称ｘ是ａ的平方根，记
作：
ｘ＝±；其中ｘ＝叫做ａ算术平方
根，ｘ＝－，叫做ａ的负的平方根．
＂＂读做二次根号ａ，ａ叫做被开方数．
２．开平方：
求一个数ａ的平方根的运算叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．
３．立方根：
若ｘ３＝ａ，则称ｘ是ａ的立方根做：
ｘ＝；＂＂读做三次根号ａ，ａ叫做被开方数．3叫做根指数．
4．开立方：
求一个数立方根的运算叫做开立方．立方与开立方互为逆运算．
算术平方根（１个）
平方根
（２个）
立方根
（１个）
正数
正数
互为相反数
正数
０
０
０
０
负数
不存在
不存在
负数
５．无理数：
无限不循环小数叫做无理数．它包括
正无理数和负无理数．
６．实数：
有理数和无理数统称为实数．
（１）实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
（２）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数；在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
二．实数的两种分类无限不循环小数有限小数和无限循环小数１．２．
第十一章一次函数
一．基本概念
1．常量：
数值不发生变化的量．
2．变量：
数值发生变化的量．
3．自变量（x）；函数（y）；函数值；函数图象．
二．两种重要的函数
1．正比例函数y=kx（k≠0）
它的图象是一条经过原点的直线．
⑴当k＞0时，图象过一、三象限；上升；y随x的增大而增大．
⑵当k＜0时，图象过二、四象限；下降；y随x的增大而减小．
2．一次函数y=kx+b（k≠0）
⑴当k＞0时，；上升；y随x的增大而增大．
⑵当k＜0时，；下降；y随x的增大而减小．
☆当b=0时，一次函数就是正比例函数．
三．函数图象的平移
直线y=kx+b是由直线y=kx平移︱b︱个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．
四．用函数观点看方程（组）与不等式
即用函数图象解方程（组）与不等式
１．解一元一次方程
把一元一次方程化为ax＋b=0（a≠0）的形式，把左边看成一个一次函数ｙ=kx+b，函数图象与ｘ轴的交点的横坐标就是方程的解．
２．解二元一次方程组
一个二元一次方程对应一条直线，一个二元一次方程组就对应两条直线．两条直线的交点就是方程组的解（横坐标是ｘ的解，纵坐标是ｙ的解）．
３．解不等式
把不等式化为ax+b>0或ax+b<0的形式,解不等式可以看作:
函数值大（小）于0时,求自变量相应的取值范围.关键还是看函数图象与x轴交点的横坐标的值.
五.常见题型和做题方法
1.常见题型
①怎样判断一个点是否在函数图象上？
②怎样判断一个图象是不是函数图象？
③正比例函数、一次函数的概念？
2.做题方法
①待定系数法求正比例函数、一次函数的解析式．
②题目中说：
某个点在函数图象上（函数图象经过某个点），通常情况下需要把这个点的坐标代入函数的解析式．
第十二章数据的描述
一．基本概念
１．频数：
（城市）个数．
２．频率＝频数÷总数．（总数＝频率×总数）
３．组数．
４．组距：
前后两个端点的差叫做组距．
５．组中值：
各个小组两个端点的平均数叫做组中值．
二．几种常见的统计图
要求：
会作图、会看图（分析图）．
１．条形图
特点：
能够显示每组中的具体数据．
作图和看图时：
需注意横轴、纵轴分别表示什么，条形图中应该有几＂条＂．
２．扇形图
特点：
能够显示部分在总体中所占的百分比．
作图和看图时：
需要有图例，注意扇形图中有几个扇形，能求出各个扇形所对的弧长、圆心角的度数、扇形面积．
Ｌ弧长＝圆周长×百分比
Ｓ扇形＝圆面积×百分比
圆心角＝360°×百分比
３．折线图
特点：
能够显示数据的变化趋势．
作图看图时:
需要注意横坐标、纵坐标分别表示什么．坡度越陡，变化趋势就越大．
４．直方图
特点：
能够显示数据的分布情况．
作图看图时：
需先找出数据中的最大数据和最小数据，确定组距（≥３）、分出组数（５至12组），确定横轴、纵轴分别表示什么．
第十三章 全等三角形
一．基本概念
１．全等形：
形状、大小完全相同的图形（能够完全重合的图形）叫做全等形．
２．全等三角形：
形状、大小完全相同三角形（能够完全重合的三角形）叫做全等三角形．
①对应点：
重合的点叫做对应点．
②对应边：
重合的边叫做对应边．
③对应角：
重合的角叫做对应角．
３．公共边、公共角
二．性质
１．全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等．
②全等三角形的对应角相等．
由此可知:
要证明分别属于两个三角形的
线段相等或者角相等的问题,通常通过证明这
两个三角形全等来解决.
2.角平分线的性质:
①角平分线上的点到角两边的距离相等．
②到角两边的距离相等的点在角平分线上．
三．三角形全等的条件（如何判断两个三角形全等）
１．任意两个三角形全等的条件:
①三边对应相等的两个三角形全等（SSS）
②两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）
③两角及夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）
④两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
2.直角三角形（Rt△）全等的条件:
斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等（HL）
第十四章轴对称
一．基本概念
１．轴对称图形：
（１个图形）相关概念，对称点、对称边、对称角．
２．成轴对称图形：
（２个图形）
３．对称轴：
其实质是一条直线．
注意：
（成）轴对称图形一定是全等形，但全等形不一定是轴对称图形．
４．垂直平分线（中垂线）：
垂直、平分．
５．轴对称变换：
由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程（动作）叫轴对称变换．
注意：
对称轴方向和位置发生变换时，得到图形的方向和位置也会发生变换．
６．等腰三角形：
相关概念，等腰直角三角形（等腰三角形、直角三角形）、腰、底边、顶点、底角、顶角．
等边三角形是一种特殊的等腰三角形．
二．几条重要的性质
１．垂直平分线的性质（联系角平分线的性质记忆）
（１）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
（２）到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上．
２．轴对称图形的性质
（作某个图形关于某条直线的对称图形、作对
称轴的依据）．
（１）任意一对对称点的连线段的垂直平分线是对称轴．
（２）对称轴垂直平分任意一对对称点的连线段．
３．等腰三角形的性质
（１）等腰三角形的两个底角相等．（简记为＂等边对等角＂）
注意：
大边对大角，小边对小角．它们的逆定理同样成立，例如：
等角对等边．
（２）三线合一（三线是指：
底边的高、中线、顶角的角平分线）
注意区分中线、中位线、中垂线（垂直平分线）．
４．等边三角形的性质
（１）等边三角形的三个内角都等于60。
．
（２）有一个内角为60。
的等腰三角形是等边三角形．
５．等腰直角三角形的性质
顶角为90。
两个底角都为45。
．
６．30。
直角三角形的性质
30。
角所对直角边等于斜边的一半．
三．用坐标表示轴对称
１．点（ｘ，ｙ）关于ｘ轴的对称点的为（ｘ，-y）.
２．点（ｘ，ｙ）关于ｙ轴的对称点的为（-ｘ，y）.
３．点（ｘ，ｙ）关于原点的对称点的为（-ｘ，-y）.
四.记住几条重要的直线
五.两种重要的作图（根据轴对称的性质）
（1）求作对称轴.
（2）作某个图形关于某条直线的对称图形.
第十五章整式
一．基本概念
１．单项式：
数字与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数字或字母也是单项式．
（１）系数：
单项式中的数字因数叫做系数．
（２）次数：
所有字母的指（次）数的和叫次数．
２．多项式：
几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：
多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．
３
４．同类项：
含有相同的字母，并且相同字母的次数
相同．
５．合并同类项：
系数相加，字母和字母的次数不变．
６．公因式：
多项式中各项都含有的因式叫公因式．
７．分解因式：
也称做因式分解．把一个多项式化成几个整式的积的形式叫叫分解因式．
二．整式的运算
１．整式的加减
去括号，合并同类项．
２．整式的乘法
（１）单项式单项式
系数与系数相乘，相同的字母相乘，只在单项式里含有的字母，则连字母和字母的指数作为积的一个因式．
（２）单项式多项式
其实质是利用乘法的分配律．
（３）多项式多项式
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
３．整式的除法
因为乘法和除法互为逆运算，所以可以类比整式的乘法进行运算．
三．重要公式
１．；２．；
３．；４．；
５．；
６．；
７．（１）
（２）．
可以合并为一个公式：
☆ 上述公式中的底数、均不等于０和１，指数ｍ、ｎ为任意实数．
☆ 不仅要熟记公式，而且还要求会用文字表述．
四．因式分解的两种方法
１．提公因式法
２．公式法
（１）
（２）
（3）
第十六章分式
一。
基本概念
1．分式：
形如（A、B是两个整式，且B≠0），分母B中必须含有字母的式子叫做分式．
2．通分：
把两个分式化成相同分母的分式，而不改变分式值的过程叫做通分．通分的关键是把分式的分母进行因式分解，找出最简工分母．
３．约分：
约去分子和分母的公因式，而不改变分式值的过程叫做约分．约分的关键是把分式的分子、分母进行因式分解，找出分
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