数学沪科版八年级上册第13章整合提升密码.docx
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数学沪科版八年级上册第13章整合提升密码
专训一：
三角形中的计数问题
名师点金：
在复杂的图形中数三角形个数的常见方法有：
按顺序计数法、按基本图形计数法、由特殊到一般计数法．计数的原则是做到不重复、不遗漏．
按顺序计数
1．如图，在△ABG中，D，E，F都是BG上的点，则图中共有________个三角形，它们分别是_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
（第1题）
（第2题）
2．如图，图中三角形的个数为（ ）
A．2 B．18 C．19 D．20
按基本图形计数
3．如图，在△ABC中，M，N，P，Q，E为BC边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE，数一数图中共有多少个三角形？
并说明你是怎样数的．
（第3题）
由特殊到一般计数
4．
（1）如图①，当△ABC内部有1条线段（AD）时，共有________个三角形；
（2）如图②，当△ABC内部有2条线段（AD，AE）时，共有________个三角形；
（第4题）
（3）如图③，当△ABC内部有3条线段（AD，AE，AF）时，共有________个三角形；
（4）当△ABC内部有4条这样的线段时，共有________个三角形；
（5）当△ABC内部有n条这样的线段时，共有________个三角形．
5．阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P，当P，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图），当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
（第5题）
完成下表：
△ABC内点的个数
1
2
3
…
1007
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
…
6.根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式．（用含n的式子表示）
三角形
层数
个数
1
1＝12
2
1＋3＝22
3
1＋3＋5＝32
4
…
…
…
n
专训二：
几种热门考点
名师点金：
本章在学习三角形的基础知识中主要涉及与三角形有关的线段，命题与证明，和三角形内角、外角相关的知识，一般考查的题型包括三角形的三边关系，三角形的中线、高线、角平分线，命题与证明，以及与三角形内角和外角性质相关的角度的计算等．
三角形的三边关系
1．现有长度分别为3cm，4cm，7cm，9cm的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12
C．9或12D．5
3．三角形的一边长是8，另一边长是1，第三边长如果是整数，则第三边长是________，这个三角形是________三角形．
4．已知等腰三角形的周长是10，且三边长都是整数，求三边长．
三角形的三种特殊线段
（第5题）
5．如图，AD是BC边上的中线，如果AB＝3厘米，AC＝4厘米，则△ACD与△ABD的周长差、面积差分别为（ ）
A．1厘米，0厘米2B．2厘米，1厘米2
C．3厘米，6厘米2D．无法确定
6．以下说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于三角形外部一点
7．如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF与CD交于点M，若∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠BMC的度数．
（第7题）
命题与证明
8．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．过一点作已知直线的垂线
B．两点确定一条直线
C．钝角大于90°
D．两个锐角的和是钝角
9．举反例说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题．反例：
________________________________________________________________________.
10．命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题．请你写出一种改法：
________________________________________________________________________.
三角形的内角和定理及推论的应用
11．△ABC三个内角之间的关系为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶8，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
12．（2015·资阳）如图，已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（第12题）
（第13题）
13．（2014·泰安）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＋∠6>180° B．∠2＋∠5<180°
C．∠3＋∠4<180°D．∠3＋∠7>180°
14．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADC＝150°，则∠B等于（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
（第14题）
（第15题）
15．（2015·南充）如图，点D在△ABC的边BC延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是________度．
16．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
（1）∠A＝30°，∠C＝∠B；
（2）三个内角的度数比为1∶2∶3.
17．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
（第17题）
18．如图，BC平分∠ABE，DC平分∠ADE.求证：
∠E＋∠A＝2∠C.
（第18题）
数学思想方法的应用
a．方程思想
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．
（第19题）
b．分类讨论思想
20．已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9，求这个三角形的周长．
c．整体思想
21．如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系．
（第21题）
答案
专训一
1．10；△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△ADE，△ADF，△ADG，△AEF，△AEG，△AFG
点拨：
图中的三角形都有一个公共顶点A，只需在BG上找出所有的线段即可，BG上共有10条线段：
BD，BE，BF，BG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，运用这种有序化的思路来找，便可找出所有的三角形．
2．D
3．解：
图中共有21个三角形．我们可以按基本图形计数，以1个三角形为基本图形，则有6个三角形，分别为△ABM，△AMN，△ANP，△APQ，△AQE，△AEC；以2个三角形为基本图形，则有5个三角形，分别为△ABN，△AMP，△ANQ，△APE，△AQC；以3个三角形为基本图形，则有4个三角形，分别为△ABP，△AMQ，△ANE，△APC；以4个三角形为基本图形，则有3个三角形，分别为△ABQ，△AME，△ANC；以5个三角形为基本图形，则有2个三角形，分别为△ABE，△AMC；以6个三角形为基本图形，则有1个三角形，它是△ABC.所以图中共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）三角形．
4．
（1）3
（2）6 （3）10 （4）15 （5）
点拨：
本题利用了由特殊到一般的思想．当三角形内部有n条线段时，三角形的个数为（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1.设S＝（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1 ①，S＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n＋1） ②，①＋②，得2S＝（n＋2）＋（n＋2）＋…＋（n＋2）,\s\do4（（n＋1）个））．
所以S＝
.
5．解：
填表如下：
△ABC内
点的个数
1
2
3
…
1007
构成不重
叠的小三
角形的个数
3
5
7
…
2015
点拨：
当△ABC内有1个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是3＝1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是5＝2×2＋1；当△ABC内有3个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是7＝3×2＋1；参考上面数据可知，构成互不重叠的小三角形的个数与点的个数之间的关系是：
三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n＋1，故当△ABC内有1007个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是1007×2＋1＝2015.
6．16；n2 点拨：
1层：
1＝12；2层：
1＋3＝22；3层：
1＋3＋5＝32；4层：
1＋3＋5＋7＝42；….以此类推，可以得出当叠加的层数为n层时，内部不再含三角形的三角形个数为1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2.
专训二
1．B 2.B 3.8；等腰
4．解：
设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，由题意得
解得0＜b＜5.∵a，b均取整数，∴b只能取2或4.
当b＝2时，a＝4，当b＝4时，a＝3.
∴三角形的三边长为4，4，2或3，3，4.
5．A 6.A
7．解：
因为∠A＝60°，∠ABC＝50°，所以∠ACB＝70°.因为BF是△ABC的高，所以∠BFC＝90°，所以∠FBC＝180°－∠BFC－∠ACB＝180°－90°－70°＝20°.因为CD平分∠ACB，所以∠BCM＝
∠ACB＝35°，所以∠BMC＝180°－∠BCM－∠FBC＝180°－35°－20°＝125°.
点拨：
本题综合考查了三角形的角平分线、高的定义，利用三角形的内角和为180°解题．
8．A
9．这个角是100°，它的补角是80°
10．a＞b＞0 点拨：
答案不唯一．
11．D 12.C 13.D 14.C 15.60
16．解：
（1）因为∠A＝30°，∠C＝∠B，
所以∠B＝∠C＝
＝75°.
所以△ABC是锐角三角形．
（2）180°×
＝30°，180°×
＝60°，
180°×
＝90°，
所以此三角形为直角三角形．
17．解：
因为∠A＝35°，∠AFE＝90°，
所以∠AEF＝55°，所以∠CED＝55°.
又因为∠D＝42°，所以∠ACD＝180°－∠CED－∠D＝180°－55°－42°＝83°.
（第18题）
18．证明：
如图，∵∠1＋∠A＝∠3＋∠C①，∠2＋∠C＝∠4＋∠E②，
且∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴①②两式相加可得：
∠1＋∠A＋∠4＋∠E＝∠3＋∠C＋∠2＋∠C，∴∠E＋∠A＝2∠C.
19．解：
因为∠ABC＝∠C＝∠BDC，
所以∠A＝∠BDC－∠ABD＝∠BDC－
∠ABC＝∠BDC－
∠BDC＝
∠BDC＝
∠C＝
∠ABC.
设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.
20．解：
若腰长为5，底边长为9，
因为5＋5＞9，符合三角形三边关系，
所以此时能组成三角形，周长为5＋5＋9＝19.
若腰长为9，底边长为5，显然此时也能组成三角形，周长为9＋9＋5＝23.
所以这个三角形的周长为19或23.
21．解：
因为∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD.
所以∠ABC＝
∠DBC，∠ACB＝
∠DCB.
所以∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－
＝180°－
（∠DBC＋∠DCB）
＝180°－
（180°－∠D）
＝180°－270°＋
∠D
＝
∠D－90°.
即∠A＝
∠D－90°.
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