20．学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆.其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同.
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆.
21．如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD
（1）求证：
AF=DE
（2）若DE=2AD,求tan∠AFE．5
22．为了创建文明城市，增强学生的环保意识.随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A,B,C,D,E,F,G,H，其中“√”表示投放正确，“ⅹ”表示投放错误，统计情况如下表.
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果.
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．如图在△ABC中，AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接OD.
（1）求证：
OD∥BC；
（2）过点D作⊙O的切线,交BC于点E,若∠A=30º，求CD的值.BE
24．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合,直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合,其中∠ABC=30º.将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止.设平移的距离为m,平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3）,与s轴相交于点Q.
（1）试确定三角板ABC的面积；
（2）求平移前AB边所在直线的解析式；
（3）求s关于m的函数关系式,并写出Q点的坐标.
25．在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成.其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米.（π取3.14）.
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：
米）随跑道宽度（距最内圈的距离,单位：
米）的变化而变化.请完成下表：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
xR=36直道
26．如图，在△ABC中，∠A=90º，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N,连接NQ，设BQ为x.
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1.除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。
2.涉及计算的题，允许合理省略非关键步骤。
3.以下答案中右端所注的分数，表示考生正确做到这步应得的累积分。
一、选择题（3分×8=24分）
二、填空题（3分×8=24分）
9.2a（a-2）（a+2）；
10.-；
11.4；
12.k＞-4；
13.201；14.3√2；
15.2；
16.②.
三．解答题（每小题6分，共36分）
17．解：
解：
（1）正确画出中心对称图形△A1B1C1（2分）；……………………………………………6分
写出C1（-2，-1）………………………………………………3分
（2）正确画出旋转后的图形△A2B2C1………………………………………………6分
18.解：
方程两边乘以（x−1）（x+2），去分母得：
2（x−1）+（x−1）（x+2）=x（x+2）…………………………………………3分
解得：
x=4……………………………5分
经检验是x=4原方程的根……………………6分
19.解：
解不等式①得：
x≥4,…………………2分
BE（）=解不等式②得：
x>−7,…………………………4分
所以，不等式组的解集为x≥4……………………………………………6分
20．解：
（1）设每位男生和女生的化妆费分别为x元和y元，根据题意，得：
5x+3y=190、3x=2y………………………………………………2分
x=20解得：
、y=30
答：
设每位男生和女生的化妆费分别为20元和30元元.………………………………………3分
（2）设男生化妆的人数为a，根据题意，得：
20a+30×42≤2000解得，a≤37
答：
男生最多有37人化妆.
………………………………………6分21．
（1）证明：
在矩形ABCD中
∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEC=90°
∴∠AFE=∠DEC
∠AFE=∠DEC
在△AEF和△DCE中∠A=∠D=90°
AE=CD
∴△AEF≌△DCE
……………………………………………2分∴AF=DE
……………………………………………3分
（2）解：
设DE=2x，则AE=3x，AF=2xAE在Rt△AEF中，tan∠AFE=AF=3x=32x2
………………………………………………6分22．解：
（1）由表可知，随机抽取的8名学生至少有三类垃圾投放正确的频数为5.∴P至少有三类垃圾投放正确58………………………………………………3分
（2）由表可知，随机抽取的8名学生中有害垃圾投放错误的学生分别为A、C、F、G.
所有可能的结果为AC，AF，AG，CF，CG，FG.……………………………………………6分
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23．解：
（1）在△ABC中，AB=BC∴∠A=∠C
又∵OA=OD∴∠A=∠ODA
∴∠C=∠ODA∴OD∥BC
…………………………………………3分
（2）连接BD
∵AB是⊙O的直径∠ADB＝∠BDC=90°
∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°
又∵OD∥BC∴∠DEC=∠ODE=90°………………4分
∴∠BDE+∠EDC=90°,∴∠C+∠EDC=90°
∴∠BDE=∠C=∠A=30°………………………………5分方法一：
C
在Rt△BDE中，设BE=x，由DE=√3x在Rt△BDE中，DC=2√3x，∴DC=2√3x=2√3…………………………………………8分BEx
方法二：
由△BED∽△BDC，得BE=BD即：
BE=
BD
BDBCBC由△BED∽△DEC，得
BE=
BD
即：
DC=BD∙DE
DE
DC
BE
∴DC=BD∙DE∙BCDEBC
∙=2√3…………………………………………………8分
BEBEBD2BEBD
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
24.解：
（1）由
P（√3，0）可知，当m=√3时，s=0，即：
BC=√3在
Rt△ABC中AC=BC∙tan30°=1∴S△ABC=1AC∙BC=2
1
×1×√3=2√32
…………………………………………………2分
（2）由
（1）可知A（1，0），B（0，√3）
设AB边所在直线解析式为，则y=kx+b（其中k≠0）
k+b=0
、b=√3解得，、k=−√3b=√3∴AB边所在直线解析式为y=−√3x+√3…………………………………5分
（3）如图所示BO=√3−m，DO=
√3
BO=√3
（√3−m）
3
3
2
………………7分
∴S=1
AO∙OD=1
×√3
（√3−m）（√3−m）=√3
m−√3）
22
36
当m=0时S=√3
，∴Q（0,√3
）……………………………………………………8分
22
25.解：
（1）两端半圆弧的总长：
2π×36=72π
两条直道总长：
400−72π
一段直道的长：
400-72π
≈86.96米…………………………………………………2分
分若设x表示跑道宽度，y表示该跑道周长，由题意得：
y=400−72π+2π（36+x）=400+2πx=400+6.28x………………………7分
（3）由题意可得y≤446即400+6.28x≤446解得x≤
7.327.32÷1.2≈6.1
所以，该区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条………………………………10分
26.解：
（1）∵MQ⊥BC，∴∠BQM=90°在Rt△BQM和Rt△BAC中，∠B=∠B,∠BQM=∠A=90°∴△QBM∽△ABC……………………………………………1分
由
（1）△QBM∽△ABC得
BQ=BM=QM
ABBCAC
即x=BM=QM,BM=5x,MQ=4x…………………2分
由△QBM∽△MAN得:
BM=BQ即MN=5−25x…………………………………………3分
2方法一：
当MN=BQ时，即5−25
x=x
解得，x=45…………………4分
此时，BM=5
x=5×45=75<3
因此，存在一点Q使得四边形BMNQ为平行四边形.………………………………………………6分
方法二：
若AB∥QN时，则△CNQ∽△CAB，得：
NQ=
CQ即NQ=3（5−x）AB
当BM=QN时，即3
（5−x）=5x
解得，x=45…………………………………4分
此时，BM=5x=5×45=75<3
因此，存在一点Q使得四边形BMNQ为平行四边形.………………………………………………6分
（3）方法一：
s四边形BMNQ=S△BMQ+S△QMN=2BQ∙MQ+2MN∙MQ=2MQ（BQ+MN）
=1×4
x（x+5−25x=−32
（x−45+75………………………8分
又∵当x=45时，BM=5x=5×45=75<3……………………………9分
∴x=45时，四边形BMNQ面积最大，最大值为75………………10分
方法二：
过点N作ND⊥BC垂足为D
由
（2）AM=3−5
x，AN=4−20
，则ND=4x
S四边形BMNQ=S△ABC−S△AMN−S△NQC=6−1AM∙AN−1QC∙ND=−32x2+10x=−32（x−45+75…………………8分
又∵当x=45时，BM=5
x=5×45=75<3……………………9分
∴x=45时，四边形BMNQ面积最大，最大值为75……………………10分
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