八年级数学下册一次函数 题型精选.docx
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八年级数学下册一次函数题型精选
函数的定义
1.下列各图给出了变量x与y之间的函数是：
（）
自变量的取值范围
1求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝3x－1；
（2）y＝2x2＋7；（3）
； （4）
．
2.求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝－2x－5x2；（3）y＝x（x＋3）；
（3）
；（4）
．
10．（2009黑龙江大兴安岭）函数
中，自变量
的取值范围是．
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
·
求值
求下列函数当x=2时的函数值：
（1）y=2x-5；
（2）y=－3x2；
（3）
； （4）
．
22．（12分）一次函数y=kx+b的图象如图所示：
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）当x=10时，y的值是多少？
（3）当y=12时，x的值是多少？
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：
s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
作图象
例1画出函数y＝x＋1的图象．
分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．解取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3…，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，（－3,－2），（－2,－1），（－1,0），（0,1），（1,2），（2,3），（3,4），…在直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图所示．
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示．
这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
例2画出函数
的图象．
分析用描点法画函数图象的步骤：
分为列表、描点、连线三步．
解列表：
描点：
用光滑曲线连线：
1.在所给的直角坐标系中画出函数
的图象（先填写下表，再描点、连线）．
利用图像解决实际问题
问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．
问图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？
问如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？
表示的实际意义是什么？
看上面问题的图，回答下列问题：
（1）小强让爷爷先上多少米？
（2）山顶离山脚的距离有多少米？
谁先爬上山顶？
三、实践应用
例1王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式
击球，球正好进洞．其中，y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离．
（1）试画出高尔夫球飞行的路线；
（2）从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？
球的起点与洞之间的距离是多少？
解
（1）列表如下：
在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．
（2）高尔夫球的最大飞行高度是3.2m，球的起点与洞之间的距离是8m．
例2小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．
解小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家．
2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（）．
正比例函数和待定系数法
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．一次函数y=kx+b（k≠0）
三、实践应用
例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
（1）面积为10cm2的三角形的底a（cm）与这边上的高h（cm）；
（2）长为8（cm）的平行四边形的周长L（cm）与宽b（cm）；
（3）食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
（4）汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
例2已知函数y＝（k－2）x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．
例3已知y+2与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）y与x之间是什么函数关系；
（3）求x＝2.5时，y的值．
22.（8分）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x-1成正比例，且x=3时y=4；x=1时y=2，求y与x之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象．
一次函数、正比例函数以及它们的关系：
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数（directproportionalfunction）．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．
正比例图象快速作图
直线的平移
请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2；
（2）y＝2x、y＝2x＋1与y＝2x-2．
例2直线
分别是由直线
经过怎样的移动得到的．
例3说出直线y＝3x＋2与
；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．
五、检测反馈
2.
（1）将直线y＝3x向下平移2个单位，得到直线；
（2）将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线；
（3）将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线．
3.函数y＝kx-4的图象平行于直线y＝-2x，求函数的表达式．
4.一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点（0,-2），且与直线
平行，求它的函数表达式．
1.一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，
.所以直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是（0,b）,与x轴的交点坐标是
；
3.已知函数y＝2x-4.
（1）作出它的图象；
（2）标出图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）由图象观察，当-2≤x≤4时，函数值y的变化范围.
4.一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.
图像位置与k,b的关系和单调性
2.在同一直角坐标系中，画出函数
和y＝3x-2的图象.
问在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.
当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.
下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：
k、b的符号
k＞0b＞0
k＞0b＜0
k＜0b＞0
k＜0b＜0
图像的大致位置
经过象限
第象限
第象限
第象限
第象限
性质
y随x的增大
而
y随x的增大而
y随x的增大而
y随x的增大而
三、实践应用
例1已知一次函数y＝（2m-1）x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？
例2已知一次函数y＝（1-2m）x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.
例3已知一次函数y＝（3m-8）x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.
（1）求m的值；
（2）当x取何值时，0＜y＜4？
1．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a=bC．a＜bD．以上都不对
6．已知正比例函数y=kx（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．y1+y2＞0B．y1+y2＜0C．y1﹣y2＞0D．y1﹣y2＜0
9.已知直线y=kx+b不经过第三象限则下列结论正确的是（）
A．k＞0,b＞0;B．k＜0,b＞0;C．k＜0,b＜0;D．k＜0,b≥0;
10.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是（）
（A）（B）（C）
A．B．C．D．
一次函数快速作图
待定系数法
问题1已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
问题2已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．
考虑这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？
问题3若一次函数y＝mx-（m-2）过点（0,3），求m的值
三、实践应用
例1已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（-1,1）和点（1，-5）,求当x＝5时，函数y的值．
例2已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．
求交点坐标
例3求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
例4已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
（1）在同一坐标系内作出它们的图象；
（2）求出它们的交点A坐标；
（3）求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
（4）k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
解
（1）
（2）
解得
所以两条直线的交点坐标A为
．
（3）当y1＝0时，x＝
所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B（
，0），当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C（5,0）．过点A作AE⊥x轴于点E，则
．
（4）两个解析式组成的方程组为
解这个关于x、y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即
解得
．
14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．
15．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．
1、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）
计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。
2.直线
分别交x轴、y轴于A、B两点，O是原点．
（1）求△AOB的面积；
（2）过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？
如能，可以画出几条？
写出这样的直线所对应的函数关系式．
2、
如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。
4.一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（3,3）和（1,-1）．求它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．
一次函数与方程、方程组和不等式
问题画出函数y＝
的图象，根据图象，指出：
（1）x取什么值时，函数值y等于零？
（2）x取什么值时，函数值y始终大于零？
例1画出函数y＝－x－2的图象，根据图象，指出：
（1）x取什么值时，函数值y等于零？
（2）x取什么值时，函数值y始终大于零？
解过（－2,0），（0,-2）作直线，如图．
例2.已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组
的解是________．
例3利用图象解不等式
（1）2x－5＞－x＋1，
（2）2x－5＜－x＋1．解设y1＝2x－5，y2＝－x＋1，
在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示．
两条直线的交点坐标是（2,－1），由图可知：
（1）2x－5＞－x＋1的解集是y1＞y2时x的取值范围，为x＞－2；
（2）2x－5＜－x＋1的解集是y1＜y2时x的取值范围，为x＜－2．
13．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 _________ ．
9．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是 _________ ．
12．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为 _________ ．
实际应用
23．（12分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？
问题学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：
若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．
根据图象回答：
（1）乙复印社的每月承包费是多少？
（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
实践应用
例1小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？
至少几个月后小王的存款能超过小张？
解设小张存x个月的存款是y1元，小王的存x个月的存款是y2元，
则y1＝50＋12x，y2＝18x，
当x＝6时，y1＝50＋12×6＝122（元），y2＝18×6＝108（元）．
所以半年后小王的存款不能超过小张．
由y2＞y1，即18x＞50＋12x，得x＞
，
所以9个月后，小王的存款能超过小张．
思考：
①求
的解．②观察两直线交点坐标与这个方程组的解有什么关系．
例3下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）．根据图象解答下列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
解
（1）设表示轮船行驶过程的函数解析式为y＝kx（k≠0）,
由图象知：
当x＝8时，y＝160．
代入上式，得8k＝160,
可解得k＝20．
所以轮船行驶过程的函数解析式为y＝20x．
设表示快艇行驶过程的函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）,
由图象知：
当x＝2时，y＝0；当x＝6时，y＝160．
代入上式，得
可解得
所以快艇行驶过程的函数解析式为y＝40x－80．
（2）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是
（千米/时），快艇的速度是
（千米/时）．
（3）设轮船出发x小时快艇赶上轮船，
20x＝40x-80
得x＝4,x－2＝2．
答快艇出发了2小时赶上轮船．
3.学校准备去白云山春游．甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示对学生优惠．甲旅行社表示：
全部8折收费；乙旅行社表示：
若人数不超过30人则按9折收费，超过30人按7折收费．
（1）设学生人数为x，甲、乙两旅行社实际收取总费用为y1、y2（元），试分别列出y1、y2与x的函数关系式（y2应分别就人数是否超过30两种情况列出）；
（2）讨论应选择哪家旅行社较优惠；
（3）试在同一直角坐标系内画出
（1）题两个函数的图象，并根据图象解释题
（2）题讨论的结果．
7．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（）
4.药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克／毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如下图．请你根据图象：
（1）说出服药后多少时间血液中药物浓度最高？
（2）分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x的函数关系式．
例5某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？
将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
（3）求运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用？
说明理由．
解
（1）由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，全部加给运输飞机需10分钟．
（2）设Q1＝kt＋b，把（0,40）和（10,69）代入，得
解得
所以Q1＝2.9t＋40（0≤t≤10）．
（3）根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨．
所以10小时耗油量为：
10×60×0.1＝60（吨）＜69（吨）,
所以油料够用．
一次函数与方案设计问题
一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用。
例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策。
近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。
1．生产方案的设计
例1某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?
请你设计出来；
（2）生产A、B两种产品获总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明
（1）中的哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
（98年河北）
解
（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件。
由题意得
解不等式组得30≤x≤32。
因为x是整数，所以x只取30、31、32，相应的（50-x）的值是20、19、18。
所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：
生产A种产品30件，B种产品20件；第二种生产方案：
生产A种产品31件，B种产品19件；第三种生产方案：
生产A种产品32件，B种产品18件。
（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。
由题意得
y=700x+1200（50-x）=-500x+6000。
（其中x只能取30，31，32。
）
因为-500<0,所以此一次函数y随x的增大而减小，
所以当x=30时，y的值最大。
因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：
-500·3+6000=4500（元）。
本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。
2.调运方案设计
例2北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。
如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。
求：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?
（2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?
（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?
解设上海厂运往汉口x台，那么上海运往重庆有（4-x）台，北京厂运往汉口（6-x）台，北京厂运往重庆（4+x）台，则总运费W关于x的一次函数关系式：
W=3x+4（6-x）+5（4-x）+8（4+x）=76+2x。
（1）当W=84（百元）时，则有76+2x=84,解得x=4。
若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台。
（2）当W≤82（元），则
解得0≤x≤3，因为x只能取整数，所以x只有四种可的能值：
0、1、2、3。
答：
若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案。
（3）因为一次函数W=76+2x随着x的增大而增大，又因为0≤x≤3，所以当x=0时，函数W=76+2x有最小值，最小值是W=76（百元），即最低总运费是7600元。
此时的调运方案是：
上海厂的4台全部运往重庆；北京厂运往汉口6台，运往重庆4台。
本题运用了函数思想得出了总运费W与变量x的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。
并求出了最低运费价。
3．营方案的设计
例11杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.
①买进每份0.2元，卖出每份0.3元；
②一个月（以30天计）内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份.
③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1元退回给报社.
（1）填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数
100
150
当月利润（单位：
元）
（2）设每天从报社买进这种晚报x份（120≤x≤200）时，月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值.
4．优惠方案的设计
例4某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。
甲旅行社说：
“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。
”乙旅行社说：
“包括校长在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠。
”若全票价为240元。
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y，乙旅行社收费为y，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；
（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
解（
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