高中三角函数常见题型与解法.docx

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高中三角函数常见题型与解法

高中三角函数常见题型与解法

三角函数的题型和方法

一、思想方法

1、三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如

1=cos20+sin20=tanx•cotx二tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x;配凑角：

a-（a+p）—p,

（3二—等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin0+bcos0=sin（0+），这里辅助角所在象限由a、b

的符号确定，角的值由tan二确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。

2、证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：

利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化

xx。

为同一形式。

2）证明方法：

综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学

3、证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数

的单调性，利用正、xx函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4、解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”

（2）寻找联系：

运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：

选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项

对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，

变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：

1、三角函数式化简的目标：

项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽

可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求

出值的求出值。

2、三角变换的一般思维与常用方法。

注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如．也要注意题目中所给的各角之间的关系。

注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，

常数代换等。

熟悉常数“1”的各种三角代换：

等。

注意万能公式的利弊：

它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。

熟悉公式的各种变形及公式的范围，如

sina-tana•COSa,,等。

利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。

3、几个重要的三角变换：

sinaCOsa可凑倍角公式；1±COsa可用升次公式；

1±sina可化为，再用升次公式；

（其中）这一公式应用广泛，熟练掌握。

4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y=sinx、y=COsx、y=tanx、y=COtx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．

5、三角函数的图像的掌握体现在：

把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。

6、三角函数的奇偶性结论：

1函数y二sin（x+©）是奇函数。

2函数y二sin（x+©）是偶函数。

3函数y二cos（x+©）是奇函数。

4函数y二cos（x+©）是偶函数。

7、三角函数的单调性

三、典型例题与方法

题型一三角函数的概念及同角关系式

.解此类题注意

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。

1、三角函数的六边形法则。

2、几个常用关系式：

（1），三式知一求二。

（2）。

（3）当时，有。

3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。

4、

5、熟记关系式；。

【例1】记,那么（）

AB、-C、D-

解：

。

故选B

评注：

本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。

同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。

【例2】（）

A、B、-C、D、

解：

评注：

本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。

练习：

1、sin585°的值为（）

A、B、C、D、

2、下列关系式中正确的是（）

AB、

CD、

3、若，则.

4、“”是“”的（）

A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件

C充分必要条件D既不充分也不必要条件

5、

AB、2CD

题型二化简求值

这类题主要考查三角函数的变换。

解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。

【例3】已知为第三象限的角，，则。

解：

为第三象限的角<<

<2<（）

又<0,,

评注：

本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。

是一道综合性较强的题目。

【例4】已知，求

（1）；

（2）的值。

解：

（1）；

（2）

2

sin二sinr2

二cos2cost_2_22_4-.2

sin20一2+13

21cos2二

评注：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

练习：

1、已知，贝y

A、B、C、D

2、函数最小值是（）

A-1B、C、D1

A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件

C充要条件D既不充分也不必要条件

题型三函数的图像及其性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A、的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。

【例5】为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）

A、向左平移个xx单位B、向右平移个xx单位

C向左平移个xx单位D向右平移个xx单位

解：

=，

一>

将的图像向右平移个xx单位得到的图像，

故选B.

评注：

本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图像变化的影响是历年考生的xx点，也是考试的重点。

【例6】设>0,函数y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）

A、B、C、D、3

解：

将y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后为

=2k,即

又,k>1

故》，所以选C

评注：

本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。

【例7】函数的最小正周期为（）

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】由可得最小正周期为,

【例8】函数的最小值是。

【答案】

【解析】，所以最小值为：

【例9】若函数，，则的最大值为（）

A、1B、C、D、

【答案】B

解析】因为==当是，函数取得最大值为2。

故选B。

练习：

1、将函数的图像向左平移0V2的单位后，得到函数的图像，贝S等于（）

A、B、C、D、、

2、若将函数的图像向右平移个单位xx后，与函数的图像重合，则的最小值为

（）

A、B、C、D、

3、将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是（）

A、B、C、D、

4、已知函数的最小正周期为，的图像向左平移个单位xx，所得图像关于y轴对称，贝的一个值是（）

A、B、C、D、

5、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（）

A、向左平移个单位xxB、向右平移个单位xx

C向左平移个单位xxD、向右平移个单位xx

6、已知是实数，贝函数的图像不可能是（）

9、已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图像如图所示，则二

10、已知函数的图像如图所示，则

11、已知函数的图像如图所示，贝y=

12、已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，贝卩的单调递增

区间是（）

AB、

CD

13、如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）

AB、C、

14、已知函数，下面结论错误的是（）

A、函数的最小正周期为

B、函数在区间上是增函数

C函数的图像关于直线=0对称

函数是奇函数

15、若，则函数的最大值为

16、已知函数

（1）求函数的最小正周期。

（2）求函数的最大值及取最大值时x的集合。

17、已知函数，其图像过点。

（I）求的值；

（H）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函

数的图像，求函数在上的最大值和最小值。

18、设函数。

（1）求函数的最大值和最小正周期。

（2）。

19、设函数。

（I）求的最小正周期。

（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值。

20、设函数的最小正周期为。

（1）求的最小正周期。

（2）若函数的图像是由的图像向右平移个单位xx得到，求的单调增区间

21、已知函数的定义域为，值域为［—5,1］，求常数a、b的值。

22、已知函数y=cos2x+sinx•cosx+1（x€R）。

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x€R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得

到？

题型四三角函数与解三角形

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

【例10】在厶ABCxx内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（）

A、B、C、D、

解：

由正弦定理得

所以cosA==,所以A=300

评注：

解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。

【例11】在锐角三角形ABCAB、C的对边分别为a、b、c,,则二。

解：

2ab2

cosBsinAsinBcosAsinCsin（AB）

=

sinAsinBcosCsinAsinB

评注：

三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。

这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

练习：

1、在锐角中，则的值等于，的取值范围为。

2、在xx,。

（I）求AB的值。

（H）求的值。

3、在xx，角所对的边分别为，且满足，。

（I）求的面积；（II）若，求的值.

4、在xx，角的对边分别为，。

（I）求的值；（H）求的面积.

5、在xx，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；（II）若，求的值。

6、设函数在处取最小值

（1）求的值；

（2）在ABCxx分别是角A,B,C的对边，已知，求角G

7、设厶ABC的内角ABC的对边长分别为，，，求B。

题型五三角函数与平面向量

【例13】平面直角坐标系有点。

（1）求向量和的夹角的xx用表示的函数;

（2）求的最值。

解：

（1），

2

COSXCOSX=（1cosx）cos）

cosx

COST

1cosx

即

（2），又,

说明：

三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意

【例14】已知向量m=（sinA,cosA）,n=,m-n=1,且A为锐角。

（I）求角A的大小;

（H）求函数的值域。

解：

（I）由题意得

由A为锐角得

（H）由（I）知

所以

因为x€R,所以，因此，当时，f（x）有最大值

当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是。

练习：

1、设向量。

（1）若与垂直，求的值;

（2）求的最大值;

（3）若，求证：

//。

2、已知向量

（I）若，求的值；（H）若求的值。

3、已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量，，

（1）若/，求证：

AABC为等腰三角形；

（2）若丄，边长c=2，角C二，求△ABC勺面积