第一章集合与函数概念.docx
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第一章集合与函数概念
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性；
（2）元素的互异性；（3）元素的无序性
说明：
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：
{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：
列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：
把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：
例：
不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}
（3）图示法（文氏图）：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：
a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a
A
6、集合的分类：
1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A
B
注意：
有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
B或B
A
集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.
2．“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：
A=B
①任何一个集合是它本身的子集。
A
A
②真子集:
如果A
B,且A
B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
B（或B
A）
③如果A
B,B
C,那么A
C
④如果A
B同时B
A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作：
A∪B（读作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：
A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
（2）补集：
设S是一个集合，A是S的一个子集（即A
S），由S中
所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。
记作：
CSA，即CSA={x|x
S且x
A}
（3）性质：
⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）∩A=Φ⑶（CUA）∪A=U
（4）（CUA）∩（CUB）=CU（A∪B）（5）（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）
二、函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
注意：
1、如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
（注意：
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
）
2、构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
注意：
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：
①定义域一致；②表达式相同（两点必须同时具备）
值域补充
（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2）、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．
C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线）,也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
（2）画法：
A、描点法：
根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将y=f（x）在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f（x）∣的图象如：
书上P21例5
（2）y=f（x）和y=f（-x）的图象关于y轴对称。
如
（3）y=f（x）和y=-f（x）的图象关于x轴对称。
如
Ⅱ、平移变换:
由f（x）得到f（x
a）左加右减；由f（x）得到f（x）
a上加下减
（3）作用：
A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。
4．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．映射
定义：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A
B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：
A
B”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明:
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：
A→B来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：
作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
2解析法：
必须注明函数的定义域；
3图象法：
描点法作图要注意：
确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：
解析法：
便于算出函数值。
列表法：
便于查出函数值。
图象法：
便于量出函数值
补充一：
分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：
复合函数
如果y=f（u）,（u∈M）,u=g（x）,（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f是g的复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1区间D称为y=f（x）的单调增区间；
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1注意：
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法：
1任取x1，x2∈D，且x1（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性：
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：
u=g（x）
y=f（u）
y=f[g（x）]
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性：
口诀：
同增异减
注意：
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,
不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
（4）判断函数的单调性常用的结论
①函数与的单调性相反；
②当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；
③函数与函数（C为常数）的单调性相同；
④当C>0（C为常数）时，与的单调性相同；
当C<0（C为常数）时，与的单调性相反；
⑤函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；
⑥若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；
若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；
⑦设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数.
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
注意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f（－x）与f（x）的关系；3作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
注意：
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）有时判定f（-x）=±f（x）比较困难，可考虑根据是否有f（-x）±f（x）=0或f（x）/f（-x）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
函数奇偶性的性质
1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
轴对称.
③若
为偶函数，则
.
④若奇函数
定义域中含有0，则必有
.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数
与一个偶函数
的和（或差）”.如设
是定义域为R的任一函数，则
，
.
⑥复合函数的奇偶性特点是：
“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（
，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）
10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2）利用图象求函数的最大（小）值；
（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
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