清风Get尺规作图与正多边形.docx

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清风Get尺规作图与正多边形

尺规作图与正多边形

《尺规作图与正多边形》教案设计

一.前期分析

1.内容分析

《尺规作图与正多边形》比较系统地研究了怎样的正多边形可以尺规作图做出来这个课题。

在课型上属于定理教学课，主要内容是处理如何在圆里面做出相应的多边形边长来，我们初中就已经学习过一些简单的尺规作图，在初高中也已经接触了很多圆内接正多边形。

启发学生联想所学知识，运用几何法，推导出定理6.12。

了解这个定理就可以很快知道一个正多边形能不能尺规作图做出来。

2.学情分析

（1）学生已经了解尺规作图的定义：

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图

（2）学生已经掌握五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

（3）学生已具备自学能力，能够独立建立直角坐标系来解决一些简单问题。

（4）学生或许建立模型的意识比较薄弱，所以要达到独立从特殊案例一般化推广到抽象数学问题的解决比较困难。

二．教学目标

1.知识目标：

通过对本节课的学习，掌握以下内容：

（1）能自己通过尺规作图作出正三，四，五边形

（2）解释为什么做不出正七边形，正九边形

（3）理解、掌握、应用公式n=

p1p2……pk

2.能力目标：

（1）培养学生动手操作的能力，以及数形结合的思想。

（2）培养学生从特殊到一般化的推广，学生观察、分析问题、应用所学知识解

觉问题的能力。

（3）通过在正多边形与费马素数之间建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力

3.情感目标：

（1）培养学生的探究意识，激发学生学习兴趣，活跃学习氛围。

（2）鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题

（3）通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思

三．教学重点与难点分析

1.教学重点是能自己通过尺规作图作出正三，四，五边形、解释为什么做不出正七边形，正九边形以及理解、掌握、应用公式n=

p1p2……pk

2.教学难点是启发学生联想所学知识，运用几何法，推导出

定理6.12n=

p1p2……pk

四．教学方法分析

以学生自学为主，教师引导为辅。

要求学生独立思考并且结合同学之间的讨论，将生生合作与师生合作相结合，实现教学目标。

在本节课引导学生发现，理解定理n=

p1p2……pk

五．教学过程

1．复习导入

首先我会问大家，同学们上几节课我们证明了三个尺规作图不能解决的问题即：

1.立方倍积即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。

2.化圆为方即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。

3.三等分角即分一个给定的任意角为三个相等的部分。

我想在生活中我们更关心那些图形可以尺规作图做出来比如我们最常见的圆内接多边形。

2.提出问题，进行探究

教学过程

设计意图

教师提问

仅用尺规你可以做出正三角形、正方形、正五边形、正六边形吗？

教师主动提问，营造主动积极的探究氛围，激发学习兴趣.

学生自主探讨

1.尺规作图做正三角形

先画个圆O。

半径为R

在圆上取任意一点P为圆心

半径为R做弧。

与圆O相交与A，B两点。

AB是正三角形的两个顶点

再以A为圆心，AB的长为半径做弧。

与圆P有两个交点

其中一个为B点

另一个为C

则三角形ABC为正三角形

2．尺规作图做正方形

先做两个圆，圆心分别是O,P

半径为R，交点为A,B

连接O,P

连接A,B

可见OP与AB垂直，且交于Q

以Q为圆心。

QP为半径作圆

与AB交于M,N两点

依次连接P,M,O,N

则PMON为正方形

3.尺规作图做正五边形

作一个圆，圆心为O

作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；

作OY的中点M；

以点M为圆心，MA为半径作圆，

交OX于点N；

以点A为圆心，AN为半径，

在圆上连续截取等弧，

使弦AB=BC=CD=DE=AN，

则五边形ABCDE即为正五边形。

4.尺规作图做正六边形

先画个圆O。

半径为R

在圆上取任意一点P为圆心

半径为R做弧。

与圆O相交与A，B两点

连接AP,延长交于圆P于点C

连接OP,延长交于圆P于点D

连接BP,延长交于圆P于点E

依次连接AOBCDE

则AOBCDE为一个正六边形

让学生回顾以前学过的知识，在原有知识和学习目标之间搭建平台.通过师生互动、生生互动的教学活动过程，体现教师的主导作用，形成学生的体验性认识.

教师提问

那么正七边形我们也有办法尺规作图吗？

正九边形哪？

？

？

正三，四，五，六边形研究后，研究正七边形符合人们的思维规律，同时也向着本节课的探究方向靠近.

3.观察特例提出猜想

教学过程

设计意图

师生共同观察特例

1.仅用尺规作图不能做出正七边形的边长

这个问题可以转化为：

能否做出一个

的角？

解：

设

7

=2π，因为3

=2π-4

，故：

cos3

=cos4

据：

三角恒等式，有：

8（

-4（

-8

+3

令x=2

（x-2）（

+

-2x-1）=0

当x=2时不符合题意，而方程

+

-2x-1=0没有有理解

回答：

仅用尺规作图不能做出正七边形的边长

2.仅用尺规作图不能做出正九边形的边长

教师给学生几分钟时间，让学生自己探索，然后教师可以请1-2名同学上黑板书写

从数学史的角度出发，模

拟对正七边形不能尺规作图做出的发现,使学生主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.从旧知识引出新知识，符合从特殊到一般的思维过程.

师生共同探讨正十七边形尺规作图的方法

1.证明正十七边形可以尺规做出

先计算或作出cos（360°/17）

设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a

故sin16a=-sina，而

sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等于0，两边除之有:

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a（三角函数积化和差公式）等

注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a（诱导公式）等，有

2（cosa+cos2a+…+cos8a）=-1

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有:

x+y=-1/2

又xy=（cosa+cos2a+cos4a+cos8a）（cos3a+cos5a+cos6a+cos7a）

=1/2（cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cos14a+cos15a）

经计算知xy=-1

因而:

x=（-1+√17）/4,y=（-1-√17）/4

其次再设:

x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=（-1+√17）/4

y1+y2=（-1-√17）/4

最后，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=（y1）/2

可求cosa之表达式,

它是有理数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出

2.怎么在圆里画一个正十七边形

给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，

在OB上作C点使OC=1/4OB，

在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，

此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆

过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

3.简易做法

因为360°/17≈21°10′,利用sinA21°6′=0.3600可得近似角。

用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′，在不要求十分精确的情况下还是可行的。

作法如下:

（1）.先画一条直线，用圆规在上面截取5条相等线段，（尽量越短越好）,再截取之前四条线段的和，接续之前画的线段。

这样，如果每条小线段算作0.1的话，那么整条线段就是1.8。

（2）.用圆规截取之前5条小线段的长，画5次，这样这条线段就是5。

1.8/5=0.36。

准备工作完毕!

（3）.另作一条直线，作垂线，1.8的线段作为对边，5的线段作为斜边，那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。

以其顶点为圆心，重复作角直至闭合。

画一大圆，连接其与17条射线的交点，即可。

引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.

学生在合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人；提高分析能力.

提出猜想

（互动）师生共同猜测！

猜想：

一个具有素数条边的正多边形可以尺规作图的充要条件是其边数形如N=

+1的素数

4.证明猜想得出定理

教学过程

设计意图

师生总结

由上面的例子可知，正三、四、五、六和十七边形是可以用尺规作图的方法做出来的，在此基础上通过连续地二等分角，就可以用尺规作出具有

，3

，5*

，17*

边的正多边形。

正N边形可尺规作图的充要条件是：

N可分解为2的幂和不同的费马素数（即形如（

+1）的素数）的乘积，即N=

p1p2…pk

教师总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识.

交流研讨辨析

有了这个定理，关于仅用尺规作图等分圆周或作正多边形的可能性问题得到圆满的解决，比如：

圆周等分数在100以内的仅24个，即3,4,5,6,810,12,15,16,17,20,26,30,32,34,40,48,51,60,64,68,80,85,96.其76个均不能。

N≤300时，满足条件的有37个：

3,4,5,6,810,12,15,16,17,20,26,30,32,34,40,48,51,60,64,68,80,85,96,102,120,128,136,160,170,192,204,240,255,256,257,272

N≥300时，如何作出以及判断

+1型的数是素数，仍然很困难，并未能得到完全的解决

课外小知识

第30届国际数学奥林匹克（IMO）在高斯的故乡-----布伦瑞克举行,此次会议的会徽是一个围绕高斯肖像的正十七边形，因为对于“数学王子”高斯而言发现正十七边形的尺规作图是他一生成就的奠基石

空间由课堂延伸到课外。

课外数学名人故事可以激发学生的兴趣，活跃课堂气氛。

师生共同总结

我们早已知道如何具体作图做出正三边形、正五边形，还知道了它们为什么能用尺规作图，因为3和5都是费马素数，对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？

因为4＝22，因为6=2·3

解题后适时反思总结，加深理解和认识，可提高解题的水平

5.运用定理解决问题

教学过程

设计意图

定理明晰

正N边形可尺规作图的充要条件是：

N可分解为2的幂和不同的费马素数（即形如（

+1）的素数）的乘积，即N=

p1p2…pk

进一步让学生理解定理的形式及其表示。

解决情境中的实

例一

例一：

题目：

尺规作图作出正八边形

解：

先画出一条直径。

过圆点作直径的垂线与圆相交两点。

这样两条相互垂直的直径与圆有四个交点，把四个点两两相连。

得到一个正方形，再取正方形的四边依次过圆作垂线。

作好后，就有八个点与圆相交，连接这八个点，就是正八边形了

解决情境中的实例二

例二：

题目：

判断正257边形能否尺规做出？

解题：

我们都熟悉256=

，所以257=

+1

即257是个费马素数

有定理可知，257可以用尺规作图作出。

让学生用定理解题，感觉简便多了,使学生感受到这个定理存在的意义，也激励他们更加好学。

相比例一，例二会有点难度，但可以让同学更加理解和活用定理。

定理反思总结

我们刚才已经用定理解决问题：

我们发现要看一个正多边形能否尺规作图作出关键是看它的边数能否表示成N=

p1p2…pk形式

通过总结与思考，领悟思想方法，把握规律的本质，提高分析和解决问题的能力.

课堂反思小结

通过这节课的研讨，请大家谈谈自己的体会.

（1）在这节课中，学习了哪些知识？

①解释为什么做不出正七边形，正九边形（详细说明）

②理解、掌握、应用公式n=

p1p2……pk

（2）包含了哪些数学思想和数学方法？

①运用从特殊到一般，一般到特殊的转化思想

②运用代数-几何相结合的方法证明

③运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的方法

通过反思，深化学生知识理解、完善学生认知结构.也算是对本届主要内容的顺通。

课后作业

请同学们课下搜索资料1000以内数的质因子分解表

课外扩充

方便以后更深入研究

六．板书设计

课题

定理（最后总结写入）

证明正七边形不能尺规作图

尺规作图正五边形

例题讲解