初中数学改斜归正真的好用.docx
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初中数学改斜归正真的好用
改斜归正”真的好用
第三步：
画岀所求直线的草图，如图1-3所示，这两条所求直线与已知直线II平行，且与直线II之间旳距离均为3;
若能求出这两条直线的解析式，最變所求b的值也就呼之欲出了！
那么如何求其解析式呢？
这量本题的难点，也是关健点！
第四步：
这两条直线都可以看成是已知直线II平移而来，但问题是，并非平移3个单位的距离那么简单，3仅仅是平行线之间的距离，这个距离昱一个"斜距离’,不是我们爵要的距离，我们需要的是如图「4所示的距离d,即目光聚焦在AB=AC=d±,这个"直"距离若是能求出来，直接利用平移口決"上加下减“即可轻松搞定解析式；
S1-4
第五步:
如图—5所示，要求AB的长.可以依托AB过点B作BF丄AE于点F,构造岀一个肓趣的Rt-ARF,宜边BF及边AR荊旦有很鎂的几何童义，邕中BF=h裘示丙条平行3sZ0J的距离，不妨称N为•斜”距海；而AB二d表示网条平行宜线沿y轴上下平移的距离r个妨称之为"直”距离•这个Rt-ABF不妨取名为"距离三角形”;
第六步：
如图1-5所示，注意到一对极其有趣的相似:
Rt-ABF-Rt-AEO,前者是刚命名的”距离三角形•；后吉是第一步中提及的确定的•坐标三角形”，具三辺之比为3:
4:
5:
从而Rt-ABF三边之比也为3:
4:
5.即BF:
AF:
AR二3:
4:
5,这三条边长是"一根绳上的蚂蚱”,已知"斜"距离BF=3,故目标"直’距离AB=5;
44
从而直线b的解析式为y=|x-4,注意封題中所求的吉线解析式为y=yX-b,两相比
较知b=-4;
友情提醒：
最后求b的值，千万不能掉以轻心，部分学生一不小心可能冒出b=4的错谋笞案.这也是本题的一个“梗"，需要同爭们细心、小心，坚持到最后才是肚利！
细节决定成败r细节决定命运！
望同学们做一个注重细节的人做一个坚持到館的人！
墨后一步：
再来一次同理求直线h的蟀析式，如园1・6所示，不再宴述，由相伙易求
毗时“直“距WAC=5,故直线b的解析式为y=ix-6,注意到题中所求的直线解析式为
4
y==x-b,两相比较知b=«;
综上所述：
b=・4或6，选D，GameOver!
解题后反思：
解决此题的关健是如何将"直"距离h转化为"斜"距离d,从而利用平移思煩匚算出所求直线的解析式，而这个转化王要是借助于一组极其有趣的相似，即所谓"距离三角形"与"坐标三角形”的招似，这组招■以在本人以前的作品中多次提及,是我很喜欢的一组相似，对于解决很多与直线相关的综合题中往往可以发挥奇效，望同学们重视.这里的转化是-种重要的”斜化壬坠盈鶴弟'嬲;脈滋法・
題2：
（来源：
2012年河南中考压轴題）
如图2,在平面直角坐标系中，言线y=lx+l与挞物线y=ar+dx-3交于a、b
两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）・过点P作轴的垂线交直线AB与点C,作PD丄AB于点D.
（1）求及sinzACP的值；
（2）设点P的横坐标为，
1用含的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
2连接PB,线段PC把-PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面枳之比为9:
10?
若存在.育接写出值:
若不存在.说明理由.
简析：
（1〉先将点B的纵坐标为3代入言线y=+l求出点3（4,3）,再求出直线
y=+1与x轴的交点.4（-2,0），然后将A、B两点代入挖物结y=d+bx-3可求出
N
而对于sinZACP的求法，再次识别到直线AB的“坐标轴三角形”AAOE,如图2・1所示，它是确定的，易知其三边之比OE:
OA:
AE=1:
2:
^,而PC与X轴垂直，易知ZACP=
ZAEO>从而sinZACP=sinZAEO=
图2・1
解題后反思：
注蕙此问的求解再次印证了我前面所说的这个“坐标轴三角形“-AOE的巨大效用，值得同学们关注,它对于解决与直线相关的综合题中可能有大用，而且当直线（不过原点）的解析式确走时，其"坐标轴三角形"一走是确定的，从而其三边之比确定，这个比值完全取决于直线的解忻式，这里存在看一个很有趣的因果对应关系，值潯你拥有！
<2）①设点P的横坐标为加，则“直线段”PC杲很容易表示出来，属于学生的基本功，而由第
（1）小问中的sinZACP=|>5,很容易将"斜线段”PD与之挂钩，从而顺刊将其表示出来，具体操作如下：
由题知P（m>—w*—w—3）9C（m，—w+1））则PC=—»=（三加+1）—
（_*•zw_3）=nT+加+4
22
2在RtAPCD中,由sinZACP=-
5
因为要求PD解析式及最大值，不妨一步到位将PD的解折式直接化成顶点式：
PD=故"EPD有最大值为竽.
無懸后反思：
本题中"斜线段"PD与"直线段"PC的转化巧妙借助了三角函数值，其本质还是相似，即上题中提及的所溝“坐标轴三角形"与"距离三角形"的相似关系，如图2・2所示，这一有趣的相似再次发挥奇效，其实两道题目的解题策略与思想方法一槿一样，衮振了"思想"，就牵住了“牛舅子"，再怎么考也不進了！
这依然是转化策略中"改斜归正’大法的应用，本人作品《广猛说题系列之一道母题引发的若干子题》对于这个转化有看很详细的介绍与拓展，敬i靑査阅！
另外此题还有个有趣的做法，思路如下：
利用-ABP面积之"竞高公式"，将面积表示成m的代数式，如图2・3所示；
再利用-ABP面积之"底高公式”，由底边AB确定，结合面枳法，可以将高PD表示成m的代数式，如图2・4所示；
这里的所谓"竞高公式"详见本人作品《面枳问湮之"水平竟、铅锤高"模型的两种证明方法》与《面积问题之"水平竟、铅連高"模型的实战分析》；
所以PD的最大时，就是-ABP面积最大时，也就是其所渭"铠儘高”PC最大时，这是"-根绳上的蚂蚱・，而且有个更有趣的结论就是当动点P位于定线段AB中点的正下方时，即当点C是线段AB的中点时，上面所说的量均达到最大值，这个结论对于任意直线与拋物线都星音适的，可以设成最一般的一股式去推导，不再螯述，同学们不需賞握此睢导方法，因为会用到“韦达宦理"，扬州地区中老对此淡化了，但是我们可以记住这个结论，作为最后的检验结果正确与否之用，不亦乐乎！
（2）②最后一问是一个面积存在性可题，其间也会涉及到极其有趣的转化思想及分类思粗,Let'sgo!
分类策略：
由題如线段PC把APDB分成的两个三甬形面积之比为9：
10,这里有两
种可能性：
鼻二三或鱼竺二巴：
S』cs1°Sjc9
—转化策略：
这里的面积处理有两种选择去向：
方式一：
如图2・5所示，发规这两个三角形有一条公共的高PD,因而其面枳之比戟等
于相应的底之比"街妥咸马一学，这个活化原湮可称之为牛高原理”■在面
CB10CB9
枳处理中经常会使用；
虽然将面积之比顺利转化为了边之比，但转化后的线段CD与CB都属于"斜线段“•不宜裘示出来,或者还需进一步转化为"直线段”•这个方式可暂时放弃；
方式二：
如图2・6所示，发现这两个三角形还有一条公共的底边PC，因而其面积之比就等于相应的高之比，分别过点D、B作PC边上的高DF、BG,则—=2或空=-,BG10BG9
图2・6
这个转化就好多了•因为公共底边PC是一条竖直的线段.导致亘相应的高DF与BG都是水平的线段，这些线段都厲于"直线段",极其容易利用点坐标丢示出来，厲于学生基本功；
可见方式二优于方式一，本质上就是“直线段”优于^斜线段”，当然若执意采取方
式一转化成£2之比，然后再利用“8字型”相似转化为—,又变成了方式二，这样也CBBG
未尝不可，“条条大路通罗9”,只是稍微走了些蛮路，无伤大雅；
接下来就是用m的代数式去表示"直线段"DF与BG即可解决问题：
显然BG=4-m,至于DF的表示方法如同PD的表示方法如出一橄,这一点在本人作品《广猛说题系列之一道母題引发的若干子题》中也早已提及：
从而
如图2・6,在RtADFP中易知其三边之比为1:
2:
心，故
之得?
w=
综上所述：
存在満足条件的加值，且初=?
或上
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至此，此题得到了完奚的解答！
解题后反思：
这里面积处理中涉及的”共高原理"及"共边原理"，再加上"相似三角形的面积之比等于相似比的平方"面积问题中转化的有力三大工具，值得同学们将之形成知识串，寰握理解应用；
结合"斜克"恿想，权街之下，本问采取了"共边原理“.放弄了"共高原理"，这里的"改斜归正”竟路也是值得同学们认真推敲的重嬰解题思想方法；
另外此题中系列“距离三角形"与"坐标轴三角形”的相似关系用来转化"斜线段”的"转化链”也非常有趣，同学们可以将之串成"一根绳上的蚂非"，知一条线段，所有的线段将出现"连锁反应”，都能診自然而然的表示出来！
还有这里的分类意识，同学们也值得关注，不要漏解，考虑问题要全面，做一个严谨的"学音"！
分不分类，如何分类，都取决于题目中的部分条件可能指代不明，爲要同学们"咬文嚼字“式地“细聒慢咽"・用心分析的！
为了让同学们彻底固化上面两道例题均涉及的"斜化直一改斜归正"大法，即"斜线段"与”直线段"的相互迅速切换，下面再提供一道九年级上学期同学们就做过的一道所谓”难题"，而且这里的“斜线段"还比较隐蔽,需要有主动寻找的蕙识，才能有效识别！
固化训练：
（耒农：
高机韦赞化学校九年级上学期自主综习汶细〉
如图3所示，二次函数ysflx2-勿lc的图象交x轴于A0）,B（.2,0）,交y
轴于C（0,-2）,过C画直线•点M在二次国数图象上，以M为园心的圈与直线
局相切，切点为H.若0.W的半径为琴，求点M的坐标.
简析：
首先易求得挞物线的解析武为y=（x+l）（x-2）,^y=x2-x-2f
接下来，用心分析题目中所涉及的OM,看看能得到什么更有效的信息；
数学题中，很多时候同一个条件，换一种衰述，可能就能迷惑很多的学生，也就是很多学生缺乏必要的分析意识与能力；
董本題来说，所谓条件“以M为圆心的圆与直线KC相切，切点为日，若OM的半径为琴”可以转化为“圆心M到直线AC的距离MH=琴”,其实这两种说法所能衰达的信息一模一样，只不过换了个“马甲”，可能很多学生都会陷入这个坊，而事实也确实如此，教学中笔者发现，能做出此冋的人凤毛菱角；
这样问题就披转化为“在挞物线上找一点\1,使点\【到直线AC的距离为琴”,
而这个问题与前文中的题1一模一祥；
依然可以借助“平移思想”解决此题，可叹将亶线AC沿与直线AC垂直的方向，向右上方或者左下方平移学个鱼位，所得直线与挞物线的交点即为所求点
满足条件的直线有两条.如凰41所示，只要将这两窠直线解析式求出来，再与抛物线联立解方程组，就可以求岀点M的坐标了；
如何求这两条平行直线的解析式呢？
依然是一个有趣的"斜化直一改斜归正"解题策略：
首先这两条直裟都昱确定的，它们与己知直线AC平行旦距同为定值，既然昱确定的，肯走是可解的；
情形一：
如图齐2所示，目光聚焦在"直’距离CD上来，只要求岀CD的长就可以利用平移口诀"上加下减"直接写出所求直线解析式；
依然是构谴"距离三角形"-CDG,抓住它与確定的“坐标筑三角形"・CAO相似，利用比例可以将"斜”距离DG转化到"直”距离CD上来；
由RiACDGsrScaO及OA：
OC：
AC=1:
2：
书知DG：
GC：
CD=1:
2：
&从而CD=^DG=4,故直线h的解析式为y=-2x-2+4,即y=-2x+2t
上述两个X的值即为所求点M的横坐标，要想求耳纵坐标，可代入抛物线，也可代入
直线h的解析式，相比之下，当然是代入直线h的解析式更简单，代入抛物线会烦死你，
逑也是一个计質笫略小细节.同学们零稍法注冒下；
易求得此时点N1的坐标为（土返,3+JI7）或（土返,3-^7）;
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情形二：
而至于直线1：
的解析式，同理计算即可，不再宴述，易求得旦解析式为
y=-2x-2-4f^y=-2x-6,将之与抛物线联系解方程组，会发现无实数根，即这
样的点M不存在；
值得一提的是，情形二如果能较准确的画图，其与抛物线无交点是显然易见的，但数学解题讲究规矩，不管显不显然，都需要用计算数据来说话，也就墨这个情形二的交代必不可少，同学们要注重这些细节！
至此，此题得到完美解答！
解题后反思：
通过本题的解答，同学们要意识到，数学题中有一些条件霓要经过自己的大脑加工，堇新整合"包装"，转化为另种方式，或许就能柳暗花明，如本题的圆M半径转化为点M到切线的距离；
当问题转化为另一种表述后，自然变成了我们本文的主旨“改斜归正"大法，利用所谓"距离三角形"与"坐标轴三角形"的相似比例，将“斜线KT转化为"直线段"的方法值得同学们用心体味！
结束语：
恩想决定高度，只有站得高，才能望得远！
当你离瞻远瞩，以一个高视角居高临下暨新审视一类问题时，很多看似不同的冋题本质都一样，其解题思想、方法、策略几乎如出一辙！
所以同学们一定要养成解题后反思的好习惯，去反思题中的思想、方法、策略，再艰以前自己做过的题类比，去发现异同，达到真正做一题通一类的效舉！
这样你会收益良多的，学习一定会更上一层楼的！
最后以我的好兄弟，陕西延安贺基旭老师（人送外号蕙哥）的经典语录结束本文：
平面直角坐标系中，有两个几何直观需要在学生脑海中主根发芽的，一是与坐标轴平行的线，这是常见辅助线；二是直线与坐标轴相交后形成的直角三角形，即我所渭的"坐标轴三角形"；三是用相似的眼光寻找解题突破口（这句是我外加的）！
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