分段线性插值与三次样条插值法.docx
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分段线性插值与三次样条插值法
实验报告
实验项目
插值法
实验日期
2016/9/3
0
理论内容
分段线性插值与三次样条插值
授课日期
2016/9/0
实验室名称
文理管203
微机编号
E1
实验目的及要求：
1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；
2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；
3、熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
实验内容：
编写分段线性插值法及三次样条插值法通用子程序，依据数据表
Xi
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
1.41421
1.4491
1.48334
1.5165
1.5491
4
38
0
75
93
构造相应的插值多项式，并计算函数f（x）x在x2.15的近似值
实验步骤及程序：
1、分段线性插值法流程图
2、分段线性插值法源程序:
function[f]=fenduan（
x=[2.02.12.22.32.4];
y=[1.4142141.4491381.4833401.5165751.549193];
y_1=0.5*y.A（-0.5）;
x0=2.15;
f=0.0;
if（length（x）==length（y））
if（length（y）==length（y_1））
n=length（x）;
else
disp（'y和y的导数的维数不相等！
'）;
return;
end
else
disp（'x和y的维数不相等！
'）;
return;
end
fori=1:
n
if（x（i）<=xO）&&（x（i+1）>=xO）
index=i;
break;
end
end
h=x（index+1）-x（index）;
fl=y（index）*（1+2*（x0-x（index））/h）*（xO-x（index+1））A2/h/h+...
y（index+1）*（1-2*（x0-x（index+1））/h）*（x0-x（index））A2/h/h;
f=fl;
3、三次样条插值法流程图
4、三次样条插值法源程序
function[yy,b,c,d]=spline3（〜,〜，〜，〜，〜，〜）
%三次样条插值函数％（x,y）为插值节点，xx为插值点;
%flag表端点边界条件类型：
%flag=O:
自然样条（端点二阶导数为0）；
%flag=1:
第一类边界条件（端点一阶导数给定）；
%flag=2:
第二类边界条件（端点二阶导数给定）；
%vl,vr表左右端点处的在边界条件值。
%样条函数为：
Si（x）=yi+bi*（x-xi）+ci*（x-xi）A2+di*（x-xi）A3
%b,c,d分别为各子区间上的系数值
%yy表插值点处的函数值.
x=[2.02.12.22.32.4];
y=[1.4142141.4491381.4833401.5165751.549193];
xx=2.15;
flag=0;
vl=2.0;
vr=2.4;
iflength（x）==length（y）
n=length（x）;
a=zeros（n-1,1）;
b=a;
d=a;
dx=a;
dy=a;
A=zeros（n）;
B=zeros（n,1）;
end
fori=1:
n-1
a（i）=y（i）；
dx（i）=x（i+1）-x（i）;
dy（i）=y（i+i）-y（i）;
end
fori=2:
n-1
A（i,i-1）=dx（i-1）;
A（i,i）=2*（dx（i-1）+dx（i））;
A（i,i+1）=dx（i）;
B（i,1）=3*（dy（i）/dx（i）-dy（i-1）/dx（i-1））;
end
%自然样条端点条件（端点二阶导数为零）％
ifflag==O;
A（1,1）=1;
A（n,n）=1;
end
%%
%端点一阶导数条件%
ifflag==1
A（1,1）=2*dx
（1）;
A（1,2）=dx
（1）;
A（n,n-1）=dx（n-1）;
A（n,n）=2*dx（n-1）;
B（1,1）=3*（dy
（1）/dx
（1）-vl）;
B（n,1）=3*（vr-dy（n-1）/dx（n-1））;
end
%%
%端点二阶导数条件%
ifflag==2
A（1,1）=2;
A（n,n）=2;
B（1,1）=vl;
B（n,1）=vr;
end
%%
c=A\B;
fori=1:
n-1
d（i）=（c（i+1）-c（i））/（3*dx（i））;
b（i）=dy（i）/dx（i）-dx（i）*（2*c（i）+c（i+1））/3;end
[mm,nn]=size（xx）;
yy=zeros（mm,nn）;
fori=1:
mm*nn
forii=1:
n-1
ifxx（i）>=x（ii）&&xx（i）j=ii;
break;
elseifxx（i）==x（n）
j=n-1;
end
end
j）*（xx（i）-x（j））A3;
yy（i）=a（j）+b（j）*（xx（i）-x（j））+c（j）*（xx（i）-x（j））A2+d（
end
end
结果分析与讨论:
运用MATLAB分别对分段线性插值和三次样条插值进行编程的到数值均为
1.4664
说明实验结果准确无误，通过实验可以得出，在低阶方程的求解中，两种方法均能精确的得到近似解，但是在高阶方程的求解中三次样条插值方法更加精确，误差较小，由于运用追赶法求解，速度要比分段线性插值更加的快，这就说明在应对不同阶数的方程时，我们应该选用最优方法。
评分项目
满分
得分
评分项目
满分
得分
实验步骤及程序
10
运行结果
5
结果分析与讨论
5
合计
20
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