空间向量知识点归纳总结.docx
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空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结
知识要点。
1.空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：
（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表
2.空间向量的运算。
定义：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图〕。
运算律：
⑴加法交换律：
a+b=b+a
⑵加法结合律:
（a+h）+^=a+（b+^）
⑶数乘分配律：
A（a+b）=>M+Ab
3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，N平行于5,记作allbo
当我们说向量办5共线（或ab）时，表示办5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：
空间任意两个向量旅b^^6）,ab存在实数A,使a=Aho
4.共面向量
（1）定义：
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面
向量。
说明：
空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：
如果两个向量讣不共线，p与向量恥
共面的条件是存在实数x,y使”=灯+ybo
5.空间向量根本定理：
如果三个向量乳氏0不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组，使p=xci+yb+z,c。
假设三向量打f不共面，我们把｛a^c｝叫做空间的一个基底,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设O.A.B.C是不共面的四点，那么对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数兀,中，使OP=xOA^yOB+zOCo
6.空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O-小屮，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组（“⑵，使5X岚+昴+齐，有序实数组g⑵叫作向量A在空间直角坐标系O-W中的坐标，记作*,y,z）,x叫横坐标，y叫纵坐标，乙叫竖坐标。
（2）假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
1假设0=（®,“2,。
3）'5=（勺厶厶）,那么a+b=（aA+勺,“2+〃2，。
3+〃3）'
U—b=@\_%“2_妇“3_仇）9加=（创，加2“°3）（2已尺）、
a・b=qb]+a2^2+5仇，
allboa、=Ab^a2=Ab^ciy=Ab^（AeR）、
a丄b<=>afy+a2b2+a3b3=0o
2假设A（X]，x，zJ,B（x2,y2yz2），那么人8=（兀2_片，『2_必忆2_石）o一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向
线段的终点的坐标减去起点的坐标。
⑷模长公式:
假设方=（44，®），方=（勺上2厶）,
另0么Id1=yja-a=Ja：
二,Ib1=\jb-b=Jb：
+bj+/?
f
（5）夹角公工弋：
cos@•巧=b-="A+纟亿，
'/\a\-\b\尿皿+錯賦恋+磧⑹两点间的距离公式:
假设A（xltylyZi）98（勺,比，。
），那么I瓦§1=\）AB2=^（x2-x,）2+（>'2-y,）2+（z2-^）2,
或d,\.B=J（’2一州）2+（）‘2一）'1）2+（?
2一Z］）2
7.空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：
两非零向量乳厂在空间任取一点0,作OA=a.OB=b,那么ZAOB叫做向量N与5的夹角，记作:
且规定0<=:
假设<^>=-,那么称Q与5互相垂直，记作：
山。
2
（2〕向量的模：
设刃"，那么有向线段页的长度叫做向量厅的长度或模，记作:
iaio
⑶向量的数量积：
向量乳卩，那么INI・l/；l・cos<7/；>叫做N5的数量积，记作N•方，=Ifll-IMcoso
（4）空间向量数量积的性质：
①&・0=l〃lcos<〃,0>°②〃丄bo7b=0°（§）\a\2=a-ao
（5）空间向量数量积运算律：
亠
=A（a-h）=a-（Ab）o
（2）ab=ba（父换律〕。
③a-（b+c）=a-b+ac（分配律）。
（6）:
空间向量的坐标运算：
1.向量的直角坐标运算
设a=（a^a21a3）f5=（耳厶厶）那么
（1）a+b=；
（2）a—b=
（«1一^，色一^，他一〃3）；
（3）Xd=（的，加2，也）（入GR）；（4）a•b=
砧+a2h2+a3b3;
2.设A（Xi，yi，zJ,B（x2,y2,z2）,另R么AB=OB-Q4二（吃一州，力一儿。
一勺）•3^设a=（xi,yl.zl）,b=（x2.y2,Z2）'那么
a\\b<=>«=Ab（b6）;a丄乙U>g•乙=0u>x{x2+y\y2+z}z2=0.
4•夹角公式设万=a®®）
b=（b」上）,那么
cos=
afy+a2b2+a3b3
禹+远+居賦+员+员
5.异面直线所成角
cos&=lcos〈d,5）l-丨"4
空』2+2』匕^忆2I
\a\-\b\后++器.血2+用+f
6.平面外一点p到平面°的距离
AB为平面。
的一条斜线，方为平面&的
一个法
向量，A到平面&的距离为:
\AB^\
\n\
【典型例题】
例1.平行六面体一ABCD,化简以下向量表达式，标出化简结果的向量。
Wab+bc:
（2）而+丽+刁刁；
⑶ab+ad+Lcc;⑷*（亦丽+应）o
例2.对空间任一点0和不共线的三点A.B.C,问满足向量式：
OP=xOA+yOB+zOC（其屮x+y+z=l）的四点P,A,5C是否共面？
例3.空间四边形OA8C,其对角线OB.AC,M.N分别是对劝
点G在线段MV上,
OA.BC的中点,OA.OB.OC表示向量而。
例4.如图，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,8C=5,
ZOAC=45」,ZOAB=60,求04与BC的夹角的余弦值。
说明：
由图形知向量的夹角易出错，女口<冠疋>=135」易错写成=45S切记！
例5.长方体ABCD-A^C.D,中，AB=BC=4,E为A,C,与BQ的交点，F为BC,与的交点，又AT丄BE,求长方
空间向量与立体几何练习丿
A.（1,2,-1）Bj_i,2,_i）
一、选择题
1.如图，棱长为2的正方体ABCD-AbCQ在空间
直角坐标
系中，假设EF分别是BC,"冲点，那么丽的坐标为（）
C.（-1,-2,1）D.（1,—2,—1）
2-如图'一恥皿是正方体，BKF十那么I与I所成角的余弦值是（）
B.-
2
17
C.
8
D.旦
17
2
3.
图
在四棱锥P-初CD屮，底面4BCD是正方形，E为
4.
~PB=b,PC=c,男B么Bg=（
B.—a-—b—丄c
-222
n1」1N3」
U・—u——b+—c
222
二、填空题
5.假设点4（123）,3（-3,2,7）,且AC+BC=Of那么点C的坐标为.
6.在正方体ABCD-\B,Cp｝中，直线AD与平面ABC】夹角的余弦值为.
三、解答题
1、在正四棱柱BCD中，|与底面所成的角为兰,
4
⑴求证昭丄面AB&⑵求二面角BX-AC-B的正切值
2.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=3
AP=4,PA丄面ABC,ZBAC=90°,D是必中点，点E在BC上，且BE=2CE,
（1）求证：
AC丄8£>;
（2）求直线DE与PC夹角&的余弦值；⑶求点A到平面加E的距离d的值.
3.在四棱锥—中，底面是一直角梯形，Z90°,〃，，2a,且丄底面，与底面成30°角.
（1）假设丄，£为垂足，求证：
丄；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
4、棱长为1的正方体】，E、F分别是EG、GD的中点•
（1）求
证：
E、F、D、〃共面；（2〕求点凡到平面的的距离;詁3）求直线AD与平面所成的角.J_Fc.
5、正方体一ABCD的棱长为2,点E为棱的屮点，求：
（I）〃/与平面4所成角的大小；（II）二面角D--C的大小;
【模拟试题】
1.空间四边形ABCD,连结AC、BD,设M,G分别是BC,CD的屮点，化简以下各表达式，并标出化简结果向量：
⑴AB+BC+CD;
（2）AB+-（BD+BC）;
2
（3）AG--（AB+AC）o
2.平行四边形，从平面AC外一点0引向量。
OE=kOA,OF=kOB.OG=kOC.OH=kODo（1〕求证：
四点E,F,G、H共面；
（2）平面AC//平面EG。
3.
如图正方体ABCD-A/GD中,求BE与DF｛所成角的余弦。
4.空间三点A（0,2,3）,B（-2,1,6）,C（1,-1,5）。
⑴求以向量丽,疋为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵假设向量N分别与向量丽疋垂直，且a=y/3,求向量N的坐标。
5.平行六面体ABCD-AECD中
AB=4,AD=3,AAf=5,ABAD=90’，
XBAAf=Z.DAA!
=60,求ACf的长。
1.解：
如图,
［参考答案］
（1）
⑵
AB+BC+CD=AC+CD=AD;
AB+丄（3万+3©=人直+丄3芒+丄3万。
222
=AB+BM+MG=AG;
⑶AG-評3+AC）=AG-AM=MG。
2.解：
（1）证明：
I四边形仙CD是平行四边形，・・・AC=AB+AD,・.9EG=OG-OE,
=k・OC-k•丙=£（况—丽）=£走=£（丽+而）
=k（OB—OA+OD—OA）=OF—OE+OH—OE
=EF+EH
:
.E.FGH共面;
/.EF//AB.EG//ACo
所以，平面AC//平面EG。
3.
解：
不妨设正方体棱点为1,建立空间直角坐标系0-厂2,那么3（1丄0）,鸟（1上,1）,£＞（0,0,0）,斥（0丄,1）,
44
・・BQ=（0,-才,1）,Df；=（0,-,l）,
——•——-1115
BE.・DF、=0x0+（-—x—）+1x1=—o
114416
15
a（號丽卜咼r护
~4—4-
4.刁〉析：
（l）vA§=（-2,-l,3）,AC=（l,-3,2）,/.cosABAC=兰•竺=-\AB\\AC\2
/.Z=60°,.\S=IABII^Clsin60=7>/3
（2）设〃=（X,y,Z）,另E么〃丄AB=>-2x—y+3?
=0,
&丄ACx-3y+2z=0,1«1=>/3x2+y2+z2=3
解得x=y=z=l或X=y=z=—1,・\a=（1,1,1）或刁=（—1,—1,—1）O
5.解：
l疋F=（砸+而+X?
）2
=1丽卩+IADI2+1A47l2+2而而+2砸兀f+2而兀？
=42+3’+52+2x4x3xcos90+2x4x5xcos60+2x3x5xcos60
=16+9+25+0+20+15=85
所以，IAC71=785o
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