高中数学知识点考点题型汇总教案.docx
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高中数学知识点考点题型汇总教案
集合与函数知识点讲解
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：
集合Ax|ylgx，By|ylgx，C（x,y）|ylgx，A、B、C
中元素各表示什么？
2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：
集合Ax|x22x30，Bx|ax1
若BA，则实数a的值构成的集合为
3.注意下列性质：
（1）集合a1，a2，，an的所有子集的个数是2n；
3.你会用补集思想解决问题吗？
（排除法、间接法）
如：
已知关于x的不等式ax
5
0的解集为M，若3
M且5
M，求实数a
x2
a
的取值范围。
（∵3
M，∴a·3
5
0
32
a
a1，5
9，25
）
M，∴a·5
5
3
∵5
0
52
a
补充：
数轴标根法解不等式
5.对映射的概念了解吗？
映射f：
A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
6.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
7.求函数的定义域有哪些常见类型？
例：
函数y
x4
x
2的定义域是
lgx3
（答：
0，2
2，3
3，4）
8.如何求复合函数的定义域？
如：
函数f（x）的定义域是a，b，ba0，则函数F（x）f（x）f（x）的定
义域是_____________。
（答：
a，a）
9.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
如：
f
x
1
ex
x，求f（x）.
令t
x
1，则t
0
∴x
t2
1
∴f（t）
et21
t2
1
∴f（x）
ex21
x2
1x0
10.反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
1
x
x
0
如：
求函数f（x）
2
x
的反函数
x
0
x1
x
1
（答：
f1（x）
x
）
x
0
11.反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线
y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设yf（x）的定义域为A，值域为C，a
A，b
C，则f（a）=bf1（b）a
f1f（a）f1（b）a，ff1（b）f（a）b
12.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（yf（u），u（x），则yf（x）
（外层）（内层）
当内、外层函数单调性相同时f（x）为增函数，否则f（x）为减函数。
）
如：
求y
log1
x2
2x的单调区间
2
（设u
x2
2x，由u
0则0x2
且log1u
，u
x
1
2
1，如图：
2
u
O12x
当x
（0，1]时，u
，又log1
u
，∴y
2
当x
[1，2）时，u
，又log1
u
，∴y
2
∴）
13.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
若f（x）
f（x）总成立
f（x）为奇函数
函数图象关于原点对称
若f（x）
f（x）总成立
f（x）为偶函数
函数图象关于
y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则
f（0）0。
如：
若f（x）
a·2x
a2为奇函数，则实数
a
2x
1
（∵f（x）为奇函数，x
R，又0
R，∴f（0）
0
即a·20
a2
0，∴a
1）
20
1
又如：
f（x）为定义在（
1，1）上的奇函数，当
x
（0，
2x
，
1）时，f（x）
4x
1
求f（x）在
1，1
上的解析式。
（令x
1，0，则x
0，1，f（x）
2
x
x
1
4
又f（x）为奇函数，∴f（x）
2x
2x
4x
114x
2x
x
（1，0）
又f（0）
4x
1
x
0
）
0，∴f（x）
2x
x
0，1
4x
1
14.你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf（x），则f（x）为周期
函数，T是一个周期。
）
如：
若fxaf（x），则
（答：
f（x）是周期函数，T2a为f（x）的一个周期）
又如：
若f（x）图象有两条对称轴xa，xb
即f（ax）f（ax），f（bx）f（bx）
则f（x）是周期函数，2ab为一个周期
如：
15.常用的图象变换:
（此类问题一定要搞清）
f（x）与f（x）的图象关于y轴对称
f（x）与f（x）的图象关于x轴对称
f（x）与f（x）的图象关于原点对称
f（x）与f1（x）的图象关于直线yx对称
f（x）与f（2ax）的图象关于直线xa对称
f（x）与f（2ax）的图象关于点（a，0）对称
将yf（x）图象
左移a（a0）
个单位
y
f（x
a）
右移a（a0）
个单位
y
f（x
a）
上移b（b
0）
个单位
y
f（x
a）
b
下移b（b
0）
个单位
y
f（x
a）
b
注意如下“翻折”变换：
f（x）
f（x）
f（x）
f（|x|）
如：
f（x）
log2
x
1
作出y
log2
x
1
及y
log2x
1的图象
y
y=log2x
O1x
16.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（k<0）y（k>0）
y=b
O’（a,b）
Ox
x=a
（1）一次函数：
ykxbk0
（2）反比例函数：
y
k
k
0推广为yb
k
k
0是中心O'（a，b）
x
x
a
的双曲线。
2
b2
（3）二次函数yax2
bx
ca0ax
b
4ac
图象为抛物线
2a
4a
顶点坐标为
b，4ac
b2
，对称轴x
b
2a
4a
2a
开口方向：
a
0，向上，函数
4acb2
ymin
4a
a
0，向下，ymax
4acb2
4a
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2
bxc
0，
0时，两根x1、x2为二次函数y
ax2
bxc的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0（0）解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
0
如：
二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk
2a
f（k）0
y
（a>0）
Okx1x2x
一根大于k，一根小于kf（k）0
（4）指数函数：
yaxa0，a1
（5）对数函数y
logaxa0，a
1
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
y
y=ax（a>1）
（0y=logax（a>1）
1
O
1
x
（0
（6）“对勾函数”yx
k
0
k
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
17.基本运算上需注意的问题:
指数运算：
a0
1（a
0），ap
1
（a
0）
ap
m
m
1
an
nam（a
0），an
（a0）
nam
对数运算：
logaM·N
logaM
logaN
M
0，N
0
loga
M
logaM
logaN，logan
M
1logaM
N
n
对数恒等式：
alogax
x
对数换底公式：
logab
logc
b
logamb
n
n
b
logca
loga
m
18.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：
（1）x
R，f（x）满足f（x
y）
f（x）f（y），证明f（x）为奇函数。
（先令x
y
0
f（0）
0再令y
x，）
（2）x
R，f（x）满足f（xy）
f（x）
f（y），证明f（x）是偶函数。
（先令x
y
tf
（
t）（
t）
f（t·t）
∴f（t）
f（t）
f（t）
f（t）
∴f（
t）
f（t））
（3）证明单调性：
f（x2）
f
x2
x1
x2
19..掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性
法，导数法等。
）
如求下列函数的最值：
（1）y2x3134x
（2）y
2x
4（先√X=?
）
x
3
（3）x
3，y
2x2
x3
（4）y
x
4
9
x2
设x
3cos，
0，
（5）y
4x
9，x
（0，1]
x
集合与函数巩固练习
1.
满足关系｛１，２｝
Ａ
｛１，２，３，４，５｝的集合的个数是（
）
A：
4B
：
6
C
：
8
D
：
9
2.
以实数x，
x，|x|，
x2
，
3
x3为元素所组成的集合最多含有（
）
A：
2个元素B：
3个元素C：
4个元素
D：
5个元素
3．已知集合M有3个真子集，集合N有7个真子集，那么M∪N的元素个数为（
）
（A）有5个元素
（B）至多有5个元素
（C）至少有5个元素
（D）元素个数不能确定
4.
已知A={（x,y）|y=x2-4x+3},B={（x,y）|y=-x
2-2x+2},求A∩B.
5.
某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有
30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的学
生有38人，求：
（1）语文、数学都优秀的学生人数；
（2）仅数学成绩优秀的学生人数.
6.已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x<-1或x>5}．
（1）若A∩B＝Φ，求a的取值范围；
（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．
7、不等式（1x2）（2x
3）
0的解集是（
）
A．3
B．xx
3
C．xx
3
2
2
2
D．xx
3
2
8、已知集合M
（x,y）x
y2,N
（x,y）x
y4，那么集合M
N为（
）
A．x3,y
1
B．（3,
1）
C．3,
1
D．（3,
1）
9.
二次函数y
ax2
bx
c中，若ac0
，则其图象与x轴交点个数是（
B
）
A．1个
B．2个
C．没有交点
D．无法确定
10.
下列四组函数中，表示同一函数的是（
）
A．yx1与y
（x1）2
B
．yx1与y
x1
x1
C．y4lgx与y2lgx2
D
．ylgx2与lg
x
2（x
100
11、函数f（x）
0）的反函数f
1（x）
（
）
x
A．x（x
0）B．2（x
0）
C
．
x（x
0）
D
．2x（x0）
2
x
2
12、函数f（x）
loga（x
2）
（0
a
1）的图象必不过（
）
A．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
13、若lga,lgb是方程2x2
4x
10的两个实根，则
ab的值等于（
）
．
B
．1
C
．
100
D
．
10
A2
2
14.函数y
f（x）的图象与y
log1（1
x）的图象关于直线y
x对称，则f（x）=（
）
2
A．12x
B
．12x
C
．12x
D
．12x
（提示:
根据原函数与反函数图象的性质
）
15、若f（x）
x
1
x的根是（
）
，则方程f（4x）
x
A．1
B
．
1
C
．2
D
．2
2
2
16、如果奇函数
f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是
5，那么f（x）在[
7,
3]上是（
）
A．增函数且最小值是
5
B
增函数且最大值是
5．
C．减函数且最小值是
5
D
．减函数且最大值是5
17.下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（
）
A．B．
．
CD．（提示:
根据图像判断）
18.若函数f（x）为奇函数，且当
x
0
f
（）
10x,
则f（
2）的值是（
）
时
x
A．100
B
．1
C
．100
D
．
1
100
100
19、奇函数f（x）定义域是（t,2t
3），则t
（
提示:
根据奇偶函数定义域特点
）
20.y（log1
a）x在R上为减函数，则
a
2
21.设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且
f
x
g
x
）
x2
x
，求f（x）。
（）
（
解:
f（x）为奇函数
f（
x）
f（x）
g（x）为偶函数
g（x）g（x）
f（x）g（x）
x2
x
f（x）g（x）
x2
x
从而f
（
x
）
gx
x2
xf
（
x
）
g
x
）
x2
x
（）
（
f（x）g（x）
x2
x
f（x）
x
f（x）g（x）
x2
x
g（x）
x2
22.
（1）已知f（2x+1）=x2+x，,
求f（x）
的表达式
（2）已知f（x）=x2+x，,求f（2x+1）的表达式
（3）已知f（2x+1）=x2+x，,求f（x2+x）的表达式
23.
（1）已知f（2x+1）定义域（0，6），求f（x）定义域
（2）已知f（x）定义域（0，6），求f（2x+1）定义域
（3）已知f（2x+1）定义域（0，6），求f（x2+x）定义域
24.已知f（x）为奇函数，x>0,f（x）=x2+x,求f（x）解析式
25.已知函数f（x）=mx2mx1的定义域是一切实数,则m的取值范围是
A.0
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