北京市西城区届高三下学期4月统一测试(一模)数学(理)试题Word版含答案Word格式.docx
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的中心．若，其中，，则
（A）
（D）6．设函数（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件7．函数（A）0对（C）2对
．则“有两个不同的零点”是“（B）必要而不充分条件，使”的
（D）既不充分也不必要条件则的图象上关于原点对称的点共有
（B）1对（D）3对
8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：
s）依次为，，，其中．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的
时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A）UVW（B）VWU（C）WUV（D）UWV
第Ⅱ卷（非选择题
共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数的实部与虚部相等，则实数____．
10．设等差数列
的前项和为
．若，，则
____；
____．
11．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则
双曲线的渐近线方程是____．
12．设，若函数
的最小正周期为，则
13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体点则在侧面上．若点到直线
中，和，的距离相等，，的最小值是____．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△（Ⅰ）求（Ⅱ）若中，已知的大小；
，，求△的面积．．
16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中
A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例
ABCDE总计
26940177443533
1671257262264
62%30%32%59%67%50%
40202184383467
246259222169
60%31%32%58%67%36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求和数学期望；
的分布列（Ⅲ）表中
A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）如图1，在△．将△（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求直线沿；
和平面所成角的正弦值；
中，，分别为折起到△，的中点，为的中点，平面，如图2．，的位置，使得平面
（Ⅲ）线段
上是否存在点，使得直线
和
所成角的余弦值为？
若存在，求出
的值；
若不存在，说明理由．
图1
图2
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中
．
（Ⅰ）若曲线（Ⅱ）当
在
处的切线与直线存在极小值．
垂直，求的值；
19．（本小题满分14分）已知圆和椭圆的坐标；
不重合），是过点的圆的位置关系，并证，是椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和点
（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（的切线．圆明你的结论．的圆心为点，半径长为
．试判断直线与圆
20．（本小题满分13分）数列定：
，，，，，的数列，满足：
，，求集合；
；
．记．的前项和为，并规
．定义集合：
（Ⅰ）对数列（Ⅱ）若集合，证明：
，求集合的元素个数的最小值．
（Ⅲ）给定正整数．对所有满足西城区高三统一测试
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D5．B2．C6．C3．B7．C4．D8．A
本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．12．10．，13．11．14．，注：
第10，11题第一空3分，第二空2分.
本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：
（Ⅰ）因为所以分]在△分]中，由正弦定理得．[3，．[1所以分]因为分]，．
[4
[5
所以分]（Ⅱ）在△
[6
中，由余弦定理得，所以分]整理得分]解得分]，或，均适合题意．，，[8
[9
[11
当分]
时，△
的面积为
[12
[13
16．（本小题满分13分）解：
（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为被该企业录用的人数为，，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为分]
．[3（Ⅱ）X可能的取值为分]
因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，分]
所以；
．分]
[8
所以X的分布列为：
XP
0
1
[2
[10
（Ⅲ）这四种岗位是：
B、C、D、E．分]
17．（本小题满分14分）解：
（Ⅰ）因为在△所以所以所以中，，，又．为，分别为．的中点，[1，的中点，分]因为平面所以分]所以分]（Ⅱ）取的中点，连接，．，所以．[5．．[4平面，平面，且平面，[3
由（Ⅰ）得
如图建立空间直角坐标系分]由题意得，所以设平面，，的法向量为，，，，．．
则令设直线，则
即，，所以所成的角为，．[7分]
和平面
则
所以直线分]（Ⅲ）线段设分]
所成角的正弦值为
上存在点
适合题意．．[10，其中设所以所以，则有，从而，又，，，所以分]
令整理得分]．，[13
解得，舍去
所以线段分]
适合题意，且
[14
解：
（Ⅰ）
的导函数为
．分]依题意，有分]解得分]．，[2
（Ⅱ）由
及
知，与
同号．令[6分]，则
．分]所以对任意分]因为故存在分]与在区间上的情况如下：
，所以，使得．，，，有，故在单调递增．
↘
极小值
↗
所以所以分]
在区间存在极小值
上单调递减，在区间．
上单调递增．[13
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为所以因此，，，从而．
．[1分]．故椭圆的离心率椭圆的左焦点（Ⅱ）直线与圆分]设分]依题意可设分]，则，其中的坐标为
．．
[3分][4分][5
相切．证明如下：
，则，[6
[7
直线的方程为整理为分]．，[9
所以圆分]因为分]所以即
的圆心
到直线的距离
[13，，相切．[14
所以直线与圆分]
20．（本小题满分13分）解：
（Ⅰ）因为分]所以．[3，，，，，，[2分]（Ⅱ）由集合所以分]又因为所以分]，[6的定义知.，且是使得成立的最小的k，[5
所以分]（Ⅲ）因为设集合则由（Ⅱ）可知同理所以
[8，所以
非空．，不妨设，，，且
．因为分]取常数数列：
，并令，，所以的元素个数．[11
则且综上，分]，适合题意，，其元素个数恰为的元素个数的最小值为．．[13
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