概率分布和抽样分布.docx
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概率分布和抽样分布
Stata软件基本操作和数据分析入门
第三讲概率分布和抽样分布
赵耐青
概率分布累积函数
1.标准正态分布累积函数norm（X）
2.t分布右侧累积函数ttail（df，X），其中df是自由度
3.2分布累积函数chi2（df，X），其中df是自由度
4.2分布右侧累积函数chi2tail（df，X），其中df是自由度
5.F分布累积函数F（df1，df2，X），df1为分子自由度，df2为分母自由度
6.F分布右侧累积函数F（df1，df2，X），df1为分子自由度，df2为分母自由度
累积函数的计算使用
正态分布计算
X服从N（0,1），计算概率P（X<1.96）
.displaynorm（1.96）
.9750021即概率P（X<1.96）＝0.9750021
display可简写为di，如：
dinorm（1.96），同样可以得到上述结果。
X服从N（0,1），计算概率P（X>1.96），则
.di1-norm（1.96）
.0249979即概率P（X>1.96）＝0.0249979
X服从N（,2），则
，因此对其他正态分布只要在函数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：
X服从N（100,62），计算概率P（X<111.76），则操作如下
.dinorm（（111.76-100）/6）
.9750021即：
概率P（X<111.76）=0.9750021
又如X服从N（100,62），计算概率P（X>90），操作如下
.di1-norm（（90-100）/6）
.95220965
2分布累积概率计算
设X服从自由度为1的2分布，计算概率P（X>3.84），则操作如下
.di1-chi2（1,3.84）
.05004353概率P（X>3.84）=0.05004353
设X服从自由度为3的2分布，计算概率P（X<5），则操作如下
.dichi2（3,5）
.82820288概率P（X<5）=0.82820288
2分布右侧累积概率计算
设X服从自由度为1的2分布，计算概率P（X>3.84），则操作如下
.dichi2tail（1,3.84）
.05004353概率P（X>3.84）=0.05004353
设X服从自由度为3的2分布，计算概率P（X<5），则操作如下
.dichi2（3,5）
.82820288概率P（X<5）=0.82820288
t分布右侧累积概率计算
设t服从自由度为10的t分布，计算概率P（t>2.2），操作如下
.dittail（10,2.2）
.02622053概率P（t>2.2）=0.02622053（注意：
这是右累积函数）
设t服从自由度为10的t分布，计算概率P（t<－2），操作如下
.di1-ttail（10,-2）
.03669402概率P（t<－2）=0.03669402
F分布累积概率计算
设F服从F（3,27），计算概率P（F<1），操作如下：
.diF（3,27,1）注意这里的函数是大写F，stata软件中是区分大小写的
.59208514概率P（F<1）=0.59208514
设F服从F（4,40），计算概率P（F>3），操作如下：
.di1-F（4,40,3）
.02954694概率P（F>3）=0.02954694
F分布右侧累积概率计算
设F服从F（3,27），计算概率P（F<1），操作如下：
.di1-Ftail（3,27,1）注意这里的函数是大写F，stata软件中是区分大小写的
.59208514概率P（F<1）=0.59208514
设F服从F（4,40），计算概率P（F>3），操作如下：
.diFtail（4,40,3）
.02954694概率P（F>3）=0.02954694
概率分布的临界值计算
正态分布的临界值计算函数invnorm（P）
例如：
双侧U0.05（即：
左侧累积概率为0.975），操作如下
.diinvnorm（0.975）
1.959964即U0.05＝1.959964
t分布的临界值计算函数invchi2tail（df,P）
例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，，操作如下
.diinvttail（28,0.025）
2.0484071临界值t28，=2.0484071
2分布的临界值计算函数invchi2（df,P）或invchi2tail（df,P）
例如：
计算自由度为1的2右侧累积概率为0.05的临界值20.05，操作如下：
.diinvchi2（1,0.95）
3.8414591临界值20.05=3.8414591
或者操作如下：
.diinvchi2tail（1,0.05）
3.8414591临界值20.05=3.8414591
F分布的临界值计算函数invF（df1,df2,P）或invF（df1,df2,P）
例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：
.diinvF（3,27,0.95）
2.9603513临界值F0.05（3,27）=2.9603513
或者操作为：
.diinvFtail（3,27,0.05）
2.9603513临界值F0.05（3,27）=2.9603513
产生随机数
计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数（seed），因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
设置种子数的命令为setseed数。
每次设置同一种子数，则产生的随机序列是相同的。
产生（0,1）区间上的均匀分布的随机数uniform（）
例如产生种子数为100的20个在（0,1）区间上的均匀分布的随机数，则操作如下：
clear清除内存
setseed100设置种子数为100
setobs20设置样本量为20
genr=uniform（）产生20个在（0，1）区间上均匀分布的随机数。
list显示这些随机数
结果如下
r
1..7185296
2..1646728
3..9258041
4..1833736
5..0067327
6..7413361
7..3599943
8..1634543
9..445553
10..6489049
11..3799431
12..5964895
13..0251346
14..2164402
15..6848479
16..1270018
17..6466258
18..1869288
19..4522384
20..067132
利用均匀分布随机数进行随机分组：
例：
某实验要把20只大鼠随机分为2组，每组10只，请制定随机分组方案和措施。
第一步、把20只大鼠编号，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。
并且标明。
第二步、用Stata软件制定随机分组方案，操作如下：
clear
清除内存
setseed200
设置种子数为200
setobs20
设置样本量为20
rangeno120
建立编号1至20
genr=uniform（）
产生在（0,1）均匀分布的随机数
gengroup=1
设置分组变量group的初始值为1
sortr
对随机数从小到大排序
replacegroup=2in11/20
设置最大的10个随机数所对应的记录为第2组，即：
最小的10个随机数所对应的记录为第1组
sortno
按照编号排序
list
显示随机分组的结果
结果如下：
norgroup
1.1.95120072
2.2.52498762
3.3.51299861
4.4.1264391
5.5.58661612
6.6.70592092
7.7.26332861
8.8.56446882
9.9.11710331
10.10.9540652
11.11.48228631
12.12.33477361
13.13.56789022
14.14.79944312
15.15.11805031
16.16.98342992
17.17.28078741
18.18.0952451
19.19.94460512
20.20.34675241
随机分组整理如下
第一组
编号
3
4
7
9
11
12
15
17
18
20
第二组
编号
1
2
5
6
8
10
13
14
16
19
产生服从正态分布N（，2）的随机数invnorm（uniform（））*+。
例如产生10个服从正态分布N（100，62）的随机数，操作如下:
clear
清除内存
setseed200
设置种子数为200
setobs10
设置样本量为10
genx=invnorm（uniform（））*6+100
产生服从N（100，62）的随机数
list
显示随机数
结果如下：
x
1.109.9397
2.100.3761
3.100.1955
4.93.13968
5.101.3131
6.103.249
7.96.2013
8.100.9739
9.92.86244
10.110.1137
教学应用：
考察样本均数的分布。
由于个体变异的原因，样本均数
的抽样误差（其定义为样本均数与总体均数的差值）是不可避免的，并且样本均数的抽样误差是呈随机变化的。
对于一次抽样而言，无法考察样本均数的抽样误差的规律性，但当大量地重复抽样，计算每次抽样的样本均数
，考察样本均数
的随机分布规律性和统计特征。
举例如下：
利用计算机模拟产生100000个服从正态分布N（100,62）的样本，样本量分别为n=4，n=9，n=16，n=36，每个样本计算样本均数。
这里关键处是要清楚什么是样本量（每次抽样所观察的对象个数，也就是每个样本的个体数n）、什么是样本个数（指抽样的次数），现以n=4为例，一条记录存放一个样本，样本量n=4，也就是每个样本的第1个数据放在第1列，第2个数据放在第2列，第3个数据放在第3列，第4个数据放在第4列，因此第1行是第一个样本，第2行是第2个样本，第100000行是第100000个样本，计算样本均数放在第5列，因此共有100000个样本均数。
具体操作如下：
clear
清除内存
setmemory60m
扩大虚拟内存为60M
setobs100000
设置记录数为100000
setseed200
设置种子数为200
genx1=invnorm（uniform（））*6+100
产生第1个随机数据
genx2=invnorm（uniform（））*6+100
产生第2个随机数据
genx3=invnorm（uniform（））*6+100
产生第3个随机数据
genx4=invnorm（uniform（））*6+100
产生第4个随机数据
genmean=（x1+x2+x3+x4）/4
计算平均数，并且存放在变量名为mean
sumean
以样本均数为数据，计算其平均值和标准差
结果
Variable|ObsMeanStd.Dev.MinMax
-------------+-----------------------------------------------------
mean|10000099.983883.00222587.97424112.0461
现共有100000个样本，每个样本计算一个样本均数，因此有100000个样本均数，现在把一个样本均数
视为一个数据，把100000个样本均数视为一个样本量为100000的新样本（这个样本里有100000个
），计算这100000个
的平均值和标准差：
得到：
这100000个
的平均值＝99.98388非常接近总体均数=100
这100000个
的标准差＝3.002225
（理论上可以证明样本均数的总体均数与样本所在的总体的总体均数相同，样本均数的标准差=
）
再考察这100000个
的频数图
graphmean,bin（50）xlabelylabelnorm
可以发现正态分布的样本均数仍呈正态分布，峰的位置在＝100。
再考察这100000个
的百分位数
--Binom.Interp.--
Variable|ObsPercentileCentile[95%Conf.Interval]
-------------+-------------------------------------------------------------
mean|1000002.594.1122494.0593494.15675
|595.0483195.0075895.08677
|5099.9767299.95568100.0002
|95104.9248104.8881104.9571
|97.5105.8656105.8161105.9181
比较理论上的百分位数
百分位数
Stata操作
理论百分位数
模拟百分位数
P2.5
di100+invnorm（0.025）*3
94.120108
94.11224
P5
di100+invnorm（0.05）*3
95.065439
95.04831
P50
di100+invnorm（0.5）*3
100
99.97672
P95
di100+invnorm（0.95）*3
104.93456
104.9248
P97.5
di100+invnorm（0.975）*3
105.87989
105.8656
可以发现理论上的百分位数与模拟数据的百分位数非常接近。
可以证明：
样本量越大，这种
的误差小的可能性越大。
由于在实际研究中，只有一个样本，因此只有一个样本均数，无法如模拟数据一样计算样本均数的标准差，但是一个样本的数据可以计算样本的标准差S近似，利用样本均数的标准差
关系，间接估计得到样本均数的标准差估计为
，为了区分样本的标准差和样本均数的标准差，故称
为标准误。
为了帮助大家方便地进行模拟实习，特地编制的相应的stata模拟程序:
模拟正态分布的样本均数分布的模拟程序simumean.ado复制到stata软件安装的目录下的子目录ado\base。
例如：
stata软件安装在D:
\stata，则simumean.ado复制到d:
\stata\ado\base
然后启动stata软件后，输入连接命令:
netsetadod:
\stata\ado\base
若stata安装在其他目录下，则相应改变上述路径便是（这是一次性操作，以后无需再重复进行）。
这是模拟抽10000个正态分布的样本，具体说明如下：
举例说明
simumean样本量均数标准差
例如模拟抽10000个正态分布的样本，样本量为4、总体均数是20、标准差为6，则操作如下：
simumean4206
得到下列结果（随机的）
Variable|ObsMeanStd.Dev.MinMax
-------------+-----------------------------------------------------
mean|1000019.993522.9906168.34450631.40937
ssd|100005.5114692.346368.25849615.51934
即10000个样本均数（视为一个新的样本数据）的平均值为19.99352总体均数20，10000个样本均数的标准差＝2.990616
。
变量
样本量
％
百分位数
--Binom.Interp.--
Variable|ObsPercentileCentile[95%Conf.Interval]
-------------+-------------------------------------------------------------
mean|100002.514.1962914.0139214.31436
|515.0889914.9628115.2017
|5019.9653719.8896320.03251
|9524.9111124.7826825.05202
|97.525.9274225.7509226.05995
理论上，样本均数
的95%范围是1.96
＝201.96×3=（14.12,25.88）
比较10000个样本均数的95％百分位数=（14.196,25.927）
模拟习题
1）运行正态分布的样本均数模拟程序simumean.ado，考察不同样本量情况下，
的标准差与
的差异，95％范围的比较。
样本量n
9
16
25
36
49
总体均数
100
100
100
100
100
总体标准差
6
6
6
6
6
的标准差
1.96
P2.5－P97.5
考察频数图的变化
graph变量名,xlabelbin（40）
考察原始资料：
graphx1,xlabelbin（40）
考察样本均数（变量名为mean）graphmean,xlabelbin（40）
考察：
原始资料和样本均数的峰的位置，离散程度。
考察非正态分布情况下，样本均数
可以运行下列程序
双峰分布的样本均数分布程序：
simubpeak.ado
自由度为1的2分布的样本均数模拟程序simuchi.ado
把上述程序复制到路径:
\stata\ado\base
连接：
netsetado路径:
\stata\ado\base
操作：
simubpeak.ado样本量
simuchi.ado样本量
考察原始资料的分布和样本均数的分布变化，
原始资料所在总体分布的频数图：
graphx1,bin（40）xlabel
样本均数的抽样分布的频数图：
graphmeanx,bin（40）xlabel
考察原始资料x1,x2的标准差和样本均数meanx的标准差
样本量n
9
16
25
36
100
考察不同样本量对样本均数分布的影响。
可以证明：
样本量较大时，样本均数的分布趋向于正态分布（称为中心极限定理），并且样本均数的总体均数（理论均数）仍与样本所在总体相同，样本均数的总体标准差（标准误）＝
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