含参数导数问题点.docx

资源描述

含参数导数问题点.docx

《含参数导数问题点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《含参数导数问题点.docx（5页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

含参数导数问题点.docx

含参数导数问题点

　　　　　　一、求导后，考虑导函数为零是否有实根，从而引起讨论。

1,x?

F（x）?

f（x）?

kx,x?

R，试讨论函数F（x）的单调性。

例1设k?

R，函数f（x）?

1,x?

二、求导后，导函数为零有实根，但不知导函数为零的实根是否落在　　定义域内，从而引起讨论。

例2已知a是实数，函数求函数设gf?

的单调区间；　　?

为f?

在区间?

0,2?

上的最小值。

　　求a的取值范围，使得?

2。

的表达式；　　写出g三、求导后，导函数为零有实根,导函数为零的实根也落在定义域内，　　但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

　　2ax?

a2?

1例3已知函数f?

，其中a?

R。

2x?

1当a?

1时，求曲线y?

当a?

0时，求函数例4设函数例5已知函数　　f?

在点?

2,f?

处的切线方程；　　　　f?

的单调区间与极值。

x2?

bln?

，其中b?

0，求函数f?

的极值点。

　　f（x）?

（a?

1）lnx?

ax2?

1　　f（x）的单调性；　　f（x1）?

f（x2）?

4|x1?

x2|，求a的取值范围。

　　讨论函数　　设a?

1.如果对任意x1,x2?

（0,?

），|例6已知函数　　xf（x）=In（1+x）-x+x2（k≥0）。

　　2（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=例7设　　f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间。

　　f（x）是定义在区间（1,?

）上的函数，其导函数为f’（x）。

如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任　　意的x?

（1,?

）都有h（x）>0，使得

（1）设函数　　f’（x）?

h（x）（x2?

ax?

1），则称函数f（x）具有性质P（a）。

　　f（x）?

lnx?

2（x?

1），其中b为实数。

1（i）求证：

函数

（2）已知函数　　f（x）具有性质P（b）；（ii）求函数f（x）的单调区间。

　　g（x）具有性质P

（2）。

给定x1,x2?

（1,?

）,x1?

x2设,m为实数，?

mx1?

（1?

m）x2，　　?

（1?

m）x1?

mx2，且?

1,?

1，若|g（?

）?

g（?

）|　　　　?

2,x?

12?

kx,x?

1,?

例1解：

F（x）?

f（x）?

kx?

x。

F’（x）?

kx,x?

2kx?

2x?

考虑导函数F’（x）?

0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

若x?

1，则F’（x）?

2。

于当k?

0时，F’（x）?

0无实根，而当k?

0时，F’（x）?

0有实根，　　因此，对参数k分k?

0和k?

0两种情况讨论。

　　当k?

0时，F’（x）?

0在（?

1）上恒成立，所以函数F（x）在（?

1）上为增函数；　　?

kx?

。

当k?

0时，F’（x）?

22?

F’（x）?

0，得x1?

，因为k?

0，所以x1?

x2。

F’（x）?

0，得1?

11?

1；F’（x）?

0，得x?

。

kk11）上为减函数，在（1?

1）上为增函数。

kk因此，当k?

0时，函数F（x）在（?

若x?

1，则F（‘x）?

2kx?

1。

于当k?

0时，F’（x）?

0无实根，而当k?

0时，F’（x）?

02x?

1有实根，因此，对参数k分k?

0和k?

0两种情况讨论。

当k?

0时，F’（x）?

0在　　?

1,?

上恒成立，所以函数F（x）在?

1,?

上为减函数；　　1?

2kx?

12k?

。

当k?

0时，F’（x）?

2x?

1x?

1F’（x）?

0，得x?

111?

；，得。

F’（x）?

04k24k2因此，当k?

0时，函数F（x）在?

1,1?

上为增函数。

　　上为减函数，在1?

4k2?

4k?

a3x?

，f’（x）?

0’例2解：

函数的定义域为?

0,?

，f?

2x2x2x　　得x?

aa。

考虑是否落在导函数f’（x）的定义域?

0,?

内，需对参数a的取值分a?

0及a?

0两种情33况进行讨论。

当a?

0时，则当a?

0时，　　f’（x）?

0在?

0,?

上恒成立，所以f?

的单调递增区间为?

0,?

。

aaf’（x）?

0，得x?

；f’（x）?

0，得0?

。

　　33因此，当a?

0时，　　a?

。

　　，的单调递增区间为f?

的单调递减区间为?

fx0,,?

第问的结论可知：

　　当　　a?

0时，f?

在?

0,?

上单调递增，从而f?

在?

0,2?

上单调递增，所以　　g?

0。

　　当a?

0时，　　a?

上单调递增，所以：

　　上单调递减，在f?

在?

0,,?

①当　　aa?

上单调递增，　　?

0,2?

，即0?

6时，f?

在?

上单调递减，在0,,2?

333?

所以g②当　　a?

2a?

32a3aa。

93a?

2,?

，即a?

6时，f?

在?

0,2?

上单调递减，所以g?

。

3例3解：

当a?

1时，曲线y?

在点?

2,f?

处的切线方程为6x?

25y?

32?

0。

　　22?

2ax?

2a?

2x?

2ax?

。

‘于a?

0，所以f?

22?

x2?

1f’?

0，得x1?

x2?

a。

这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参　　a数a的取值分a?

0和a?

0两种情况进行讨论。

　　当a?

0时，则x1?

x2。

易得　　1?

为增函，内为减函数，在区间f?

在区间?

a,?

数。

故函数　　11?

在x1?

处取得极小值f?

a2；函数f?

在x2?

a处取得极大值f?

1。

11f?

在区间（?

a），（?

）内为增函数，在区间（a,?

）为减函　　aa当a?

0时，则x1?

x2。

易得数。

故函数　　11?

在x1?

处取得极小值f?

a2；函数f?

在x2?

a处取得极大值f?

1。

　　b2x2?

2x?

例4解：

题意可得f?

的定义域为?

1,?

，f?

2x?

，f’?

的分母x?

1在定x?

1x?

1’义域　　?

1,?

　　2上恒为正，方程2x当　　?

2x?

0是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。

　　11时，方程2x2?

2x?

0无实根或只有唯一根x?

，所以22?

8b?

0，即b?

2g?

2x?

0在　　?

1,?

上恒成立，则f’?

0在?

1,?

上恒成立，所以函数f?

在?

1,?

上单调递增，从而函数　　1’2时，方程2x?

2x?

0，即f?

0有两个不相等的实根：

2f?

在?

1,?

上无极值点。

　　当?

8b?

0，即b?

x1?

这两个根是否都在定义域　　?

2b?

2b。

x2?

22?

1,?

内呢？

又需要对参数b的取值分情况作如下讨论：

　　当　　b?

0时，　　x1?

2b?

1,x2?

1，所以　　22xf’?

1,x2?

x1?

1,?

x2?

1,?

。

　　此时，　　f?

与f?

随x的变化情况如下表：

　　’?

x20极小值?

x2,?

递减递增此表可知：

当　　b?

0时，f?

有唯一极小值点　　x2?

　　当　　x0?

12时　　，　　?

1,x1?

x1?

x1,x2?

x2?

x2,?

f’?

2b?

2bx1?

1,x2?

1f?

22，所以x1?

此时，　　?

递增极大值递减极小值递增?

1,?

x2?

1,?

。

　　f’?

与f?

随x的变化情况如下表：

2b?

2b时，f?

有一个极大值点x1?

和一个极小值点x2?

。

222此表可知：

当0?

12ax2?

2ax?

例5解：

f（x）的定义域为.f’（x）?

.xx当a?

0时，　　f’（x）＞0，故f（x）在单调增加；f’（x）＜0，故f（x）在单调减少；　　f’（x）=0，解得x?

1.2a当a?

1时，　　当-1＜a＜0时，令　　则当x?

（0,?

1a?

1）时，f’（x）＞0；x?

（?

）时，f’（x）＜0.2a2a故　　f（x）在（0,?

1a?

1）单调增加，在（?

）单调减少.2a2a不妨假设x1?

x2，而a＜-1，知在单调减少，从而　　?

x1,x2?

（0,?

），等价于?

x1,x2?

（0,?

），　　令g（x）?

f（x1）?

f（x2）?

4x1?

x2　　f（x2）?

4x2?

f（x1）?

4x1　　①　　a?

2ax?

4xa?

2ax?

0.①等价于g（x）在单调减少，即xf（x）?

4x，则g’（x）?

4x?

1（2x?

1）2?

4x2?

2（2x?

1）2?

2故a的取值范围为当k?

2时，　　于　　f（x）?

ln（1?

x）?

x2，f’（x）?

2x1?

x3f

（1）?

ln2，f’

（1）?

，所以曲线y?

f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为　　23　　y?

ln2?

（x?

1）　　即3x?

2y?

2ln2?

0　　2x（kx?

1）f’（x）?

，x?

（?

1,?

）.　　1?

xx　　当k?

0时，f’（x）?

.所以，在区间（?

1,0）上，f’（x）?

0；在区间（0,?

）上，f’（x）?

0.　　1?

x　　故　　f（x）得单调递增区间是（?

1,0），单调递减区间是（0,?

）.　　f’（x）?

x（kx?

1）1?

0，得x1?

0，x2?

0　　1?

xk1?

k1?

k,?

）上，f’（x）?

0；在区间（0,）上，f’（x）?

0　　所以，在区间（?

1,0）和（kk1?

k1?

k,?

），单调递减区间是（0,）.　　故f（x）得单调递增区间是（?

1,0）和（kk　　当0?

1时，　　

　　　　　　x2　　当k?

1时，f’（x）?

故f（x）得单调递增区间是（?

1,?

）.　　1?

xx（kx?

1）1?

0，得x1?

（?

1,0），x2?

0.　　1?

xk1?

k1?

k）和（0,?

）上，f’（x）?

0；在区间（,0）上，f’（x）?

0所以没在区间（?

1,kk1?

k1?

k）和（0,?

），单调递减区间是（,0）故f（x）得单调递增区间是（?

1,kk当k?

1时，　　f’（x）?

例7（i）f’（x）　　∵x?

1时，h（x）?

0恒成立，2x（x?

1）∴函数　　f（x）具有性质P（b）；　　2b2b2（ii）设?

（x）?

bx?

（x?

）?

，?

（x）与f’（x）的符号相同。

　　24b2当1?

0,?

2时，?

（x）?

0，f’（x）?

0，故此时f（x）在区间（1,?

）上递增；　　4当b?

2时，对于x?

1，有　　f’（x）?

0，所以此时f（x）在区间（1,?

）上递增；　　b?

1，而?

（0）?

1，2当b?

2时，?

（x）图像开口向上，对称轴x?

对于x?

1，总有?

（x）?

0，f’（x）?

0，故此时f（x）在区间（1,?

）上递增；　　当b?

2时，对于x?

1，?

（x）?

x2?

bx?

x2?

2x?

（x?

1）2?

0　　所以　　f’（x）?

0，故此时f（x）在区间（1,?

）上递增；　　bb?

b2?

4b?

b2?

4,当b?

2时，?

（x）图像开口向上，对称轴x?

1，方程?

（x）?

0的两根为：

，而　　222b?

b2?

4b?

b2?

42?

1,?

（0,1）　　222b?

4b?

b2?

4b?

b2?

4）时，?

（x）?

0，f’（x）?

0，故此时f（x）在区间（1,）　　上递减；当x?

（1,同理得：

22b?

b2?

4,?

）上递增。

f（x）在区间[2综上所述，当b?

2时，　　当b?

2时，　　f（x）在区间（1,?

）上递增；f（x）在（1,b?

b2?

4上递减；　　）222f（x）在[b?

4,?

）上递增。

（2）题意，得：

g’（x）?

h（x）（x?

2x?

1）?

h（x）（x?

1）2　　　　又h（x）对任意的x?

（1,?

）都有h（x）>0，　　所以对任意的x?

（1,?

）都有g?

（x）?

0，g（x）在（1,?

）上递增。

又?

当m?

x1?

x2,?

（2m?

1）（x1?

x2）。

　　1,m?

1时，?

，且?

x1?

（m?

1）x1?

（1?

m）x2,?

x2?

（1?

m）x1?

（m?

1）x2，2　　　　　　　　　　　　　　综合以上讨论，得：

所求m的取值范围是。

题设知，g（x）的导函数g’（x）?

h（x）（x成立。

所以，当x?

1时，g’（x）?

h（x）（x?

1）①当m?

（0,1）时，有?

mx1?

（1?

m）x222?

2x?

1），其中函数h（x）?

0对于任意的x?

（1,?

）都　　?

0，从而g（x）在区间（1,?

）上单调递增。

mx1?

（1?

m）x1?

x1，　　?

mx1?

（1?

m）x2?

mx2?

（1?

m）x2?

x2，得?

（x1,x2），同理可得?

（x1,x2），所以g（x）的单调性知　　g（?

）、g（?

）?

（g（x1）,g（x2）），从而有|g（?

）?

g（?

）|　　②当m?

0时，?

mx1?

（1?

m）x2?

mx2?

（1?

m）x2?

x2，　　，于是　　?

（1?

m）x1?

mx2?

（1?

m）x1?

mx1?

x1?

及　　g（x）的单调性知　　g（?

）?

g（x1）?

g（x2）?

g（?

），所以|g（?

）?

g（?

）|≥|g（x1）?

g（x2）|，与题设不符。

　　③当m?

1时，同理可得?

x1,?

x2，进而得|g（?

）?

g（?

）|≥|g（x1）?

g（x2）|，与题设不符。

　　因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是。

　　　　1.设　　2.　　f（x）?

ax3?

bx2?

cx?

d,a,b,c,d?

R,a?

0,又m,n?

R,m?

n，则下列正确的判断是　　A．若B．若C．若D．若　　f（m）f（n）?

0,则f（x）?

0在m,n之间只有一个实根f（m）f（n）?

0,则f（x）?

0在m,n之间至少有一个实根f（x）?

0在m,n之间至少有一个实根，则f（m）f（n）?

0　　f（m）f（n）?

0，则f（x）?

0在m,n之间也可能有实根　　f,g分别是定义在　　R　　上的奇函数和偶函数，当　　x　　时　　已知　　f/?

g/?

0,且f?

0,则不等式f?

0的解集为A?

2,0?

2,?

;B?

2,0?

0,2?

;C?

2,?

;D?

0,2?

3.若点P在曲线y?

则角?

的取值范围是A．[0,3x3?

3x2?

（3?

3）x?

上移动，经过点P的切线的倾斜角为?

，　　4B．[0,?

22lnnkn?

ln4.当n?

N时,不等恒成立，则常数k的取值范围是1?

n1?

n1A．[1,?

）B．[2,?

）C．（,?

）D．（e,?

）　　25.定义在R上的函数f（x）?

x3.设x1?

x2?

0,给出下列不等式：

　　　　①f（x1）f（?

x1）?

0;　　②f（x2）f（?

x2）?

0;　　）　　?

）?

[2?

）C．[,?

）33D．[0,?

）?

（,]223　　　　③f（x1）?

f（x2）?

f（?

x1）?

f（?

x2）;④f（x1）?

f（x2）?

f（?

x1）?

f（?

x2）.其中正确不等式的序号是　　A．①③B．②③C．①④　　　　D．②④　　　　　　6.设f（x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x?

0时，[f（x）g（x）]/?

0，且g

（2）=0，则不等式　　f（x）g（x）?

0的解集是　　　　　　　　A.（?

2,0）?

（0,2）　　　　B.（?

2,0）?

（2,?

）C.（?

2）?

（0,2）　　　　D.（?

2）?

（2,?

）7.如图是函数图象，则x1A．　　2f（x）?

x3?

bx2?

cx?

d的大致　　y2等于?

x224　　B．　　33812C．　　D．　　33　　0x11x22x

展开阅读全文