10套利定价理论及应用.doc
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10套利定价理论及其应用
CAPM刻画了均衡状态下资产的预期收益率和相对市场风险之间的关系。
然而CAPM需要很多假设。
20世纪70年代Ross发展的套利定价理论比CAPM要简单。
其主要假设有
（1）资本市场处于均衡状态；
（2）投资者喜爱更多的财富而不是更少；（3）资产模型可用指数模型表示。
10.1套利资产组合
根据“一个价格”的规律，同一种资产不可能在一个或n个市场中以两种不同的价格出售。
不然会出现套利机会。
套利是利用相同的资产的不同价格赚取无风险利润。
它是一种广泛应用的投资策略，就是以资产相对高的价格出售，同时以相对低的价格购买同一种资产。
低价购买驱使资产价格上涨，高价出售驱使价格下跌，最后价格趋于相等，使获利机会消失。
套利定价理论假设资产收益率可以用指数模型（因子模型）来解释。
首先假设它是单因子模型：
10-1
其中：
是资产i的收益率；
是资产i的预期收益率；
是资产i的公共因子，并且其期望值为0；
是因子F的载荷（资产i对公共因子的灵敏度）；
是随机误差项且，且与F不相关。
现在考虑由3种股票组合的套利资产组合。
i
E（Ri）%
bi
股票1
20
4
股票2
15
2.5
股票3
10
3
套利资产组合是预期收益率增加而风险没有增加。
首先，投资者不需要增加任何投资。
如果表示在套利资产组合中资产i的权重变化，那么要求
其次，套利资产组合的因子F的载荷为0，就是它不受因子风险影响。
它是资产载荷的加权平均和：
由上例可得：
假设股票1的资金比例增加，那么。
它们是这个套利资产组合的权重。
最后，如果这个资产组合是套利资产组合，那么资产组合的预期收益率就必须是正数，即：
（10-2）
假定投资者持有这三种股票的市值为100万元，那么套利资产组合的市值为300万元。
为了套利他可以出售股票3
万元
购买股票1
万元
购买股票2
万元
其和为
万元
因此投资者可以在没有任何风险的情况下获得较高收益。
它是非投资获利，没有因子风险且有正的预期收益。
如果式（10-2）是负的，只要改变权重的符号，套利资产组合仍可得到正的预期收益。
当式（10-2）等于0时，投资者没有套利机会。
10.2单因子套利定价线
一般地，一个套利组合由n个资产组合，权重为。
投资者没有使用其财富进行套利，因此套利资产组合要求无净投资：
同时还要求套利资产组合充分多样化。
从10-1：
可得
10-3
当n很大，充分多样化的资产组合可以忽略非因子风险的影响。
如果还要求套利资产组合不受因子风险的影响，那么
10-4
将它代入10-3可得
因此如果资产组合没有套利机会，就在均衡状态必须有：
=0
投资者套利的目标是使套利组合的预期收益率最大化，即寻求以下优化问题的解：
采用Lagrange乘数法，建立拉格朗日函数
要求L的最大值，应将其对及求偏导数并令其等于零，得如下方程组
（10-13）
从（10-13）可以求出使套利组合收益率最大的与的关系
（10-14）
其中，上常数。
它表示在均衡状态下预期收益率和因子载荷的线性关系。
这条直线叫做套利定价线，或叫APT资产定价线。
是资产没有因子载荷（）的收益率，它是无风险收益率，记做，那么（10-14）可记为
（10-15）
至于，可以考虑因子载荷为1的资产组合P，就是
其中=1，所以
是因子载荷为1的一个资产组合的超收益率——超过无风险利率的那部分，叫做因子风险报酬或风险溢价。
令，那么
（10-16）
代入（10-15）
U
A
O
B
Lamda1
图1
图1是套利定价线。
根据套利定价理论，任何具有一个因子的载荷和预期收益率的资产不在套利定价线上，那么投资者就有构造套利资产组合的机会。
图中资产U预期回报比资产A高。
投资者可以购买资产U出售资产A构成一个套利资产组合。
同样，可以出售资产O购买资产B构成一个套利组合。
因为套利不增加风险，投资者没有使用任何新的资金。
同时，资产U和A以及资产O和B都有相同的因子载荷，这就使得构成的套利资产组合的因子载荷为0，而且套利资产组合都有正的预期回报。
由于买压使得资产U价格下跌，卖压使得资产O价格上升，最后达到A和B，套利机会消失。
在前面的3种股票的构成的套利资产组合的例子中，假设，因此，定价方程为
3种股票的预期收益率为
在图8中分别用A，B，C表示。
股票1、股票2、股票3的预期收益率原来都不在套利定价线上，因而可以构成套利资产组合，但由于买压和卖压得影响，最终趋于均衡。
2
B
A
1
C
3
图8
由于，即，根据可得。
它表示公共因子的载荷为1的资产组合的预期收益率为7%。
10.3套利定价的多因子模型
假定每个资产的收益率满足多因子模型
其中：
是资产i的收益率；
是资产i的预期收益率；
是资产i的第j公共因子，并且；
是资产i的第j公共因子的载荷；
是随机误差项且，且与不相关，。
和单因子类似，因为是无风险套利，且不使用新的投资。
假设是套利资产组合资产i的权重，那么要求
构成的资产组合
如果这个资产组合充分多样化，非因子影响可以忽略
10-3
因为套利资产组合没有因子风险，因此
这k个等式成立。
只有在=0时，套利资产组合处于均衡状态，这时
和单因子类似，是公共因子载荷=0（）时的无风险利率，记作，是第j个公共因子的风险报酬。
令
其中是所有其他公共因子的载荷为0，因子j的载荷为1的一个资产组合上的期望收益率。
因此可写为
因此
资产i的预期收益率=无风险利率+
10.4APT与CAPM的一致性
根据APT的资产的预期收益率等于无风险利率加上k个因子报酬分别乘以这个资产的k个因子的载荷之和。
在只有一个因子时，
其中是因子载荷为1的一个资产组合的预期回报。
在CAPM中没有要求预期回报满足因子模型：
其中是市场资产组合的预期回报。
比较上两式取，同时代表，那么APT与CAPM一致。
然而，一般地，如果上两式还成立，和有什么关系呢？
由，资产i和市场资产组合M的协方差
很小，可以忽略。
在根据可得
把上式代入得
和比较，可得
在中没有给出因子风险报酬的大小，但是如果CAPM还成立，那么必满足上式。
从可以看出，如果因子F和市场组合的回报正相关，风险溢价和方差是正的，所以是正的，因此越大，资产i的预期回报越大。
相反，如果因子F和市场组合的回报负相关，那么是负的，绝对值越大，资产i的预期回报越小。
现在考虑，假定它的因子是一个市场指数，比如S&P500，这个指数与市场资产组合完全相关，并且市场指数与市场资产组合的回报和方差相等，那么，那么，，因此因子S&P500的载荷为1的资产组合的预期回报等于市场资产组合的预期回报。
所以，如果能找到一个市场指数与市场资产组合完全相关，并且方差相等，那么就可以用这个指数代替市场资产组合。
然而市场资产组合是不可观测的，所以就不可能找到这样的替代变量。
如果CAPM模型成立，同时APT多因子模型成立。
类似地，由可以得到
因为右边最后一项很小可省略，再由可得：
=
代入得到：
与比较得到：
，j=1,2,…,k
同样，与符号相同。
如果因子j和市场证券组合的回报正相关，那么为正数；如果负相关，那么为负数。
10.5APT和CAPM的联系与区别
在单因子APT模型讨论中，已经看出在形式上，当取因子为投资组合时，APT与CAPM有相同结果，即APT的定价模型恰好是CAPM中的证券市场线，二者是一致的，但这并不意味着CAPM模型是多因子APT模型的特殊（单因子）情形，实际上Merton于1975年和Breeden于1979年都讨论过CAPM的多因素模型。
在APT单因子模型中，如果选择的因子I并非市场投资组合而得到单因子APT模型
而CAPM得到的单因子模型（证券市场线）为
这两个模型并不一致，但如果因子I与市场投资组合的收益率完全相关且同方差，则可以得出，这时可以以I因子替代市场投资组合，例如某一市场指数与市场投资组合收益率完全相关且同方差，则可以用该指数代替市场投资组合。
以上讨论的是APT模型与CAPM模型的联系，下面讨论两者之间的区别。
两者最大区别在于虽然模型的线性形式相同，但建模思想不同，CAPM模型是建立在市场均衡的基础上，以存在市场投资组合为前提。
假定投资者对市场中证券的收益率有相同的认识，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的风险偏好不同，从而可以建立起最小方差集合、有效集合，每个投资者都建立有效的投资组合以分散非系统风险，并根据自己对风险的偏好在存在无风险利率时，建立无风险资产与市场投资组合的投资组合，导出每个证券的收益率与其风险系数具有线性关系；而APT模型是建立在无套利均衡分析基础上的，它的出发点是通过少数投资者构造大额无风险套利头寸，迫使市场重建均衡，以消除市场无风险套利机会，导出单个证券收益率与其影响因子的影响程度之间的线性关系。
因此APT理论并不需要CAPM那么多关于市场的假设条件，也不需要CAPM关于证券收益率分布的假设，但APT模型中关于证券收益率的线性生成结构假设却是CAPM模型所没有要求的。
10.6关于模型的检验问题
APT对CAPM提出的直接挑战是CAPM无法进行检验，其根源在于CAPM中的市场投资组合包括的资产范围太广，以至于无法通过观测取得其收益率，在模型的应用中，常以某些市场综合指数近似代替市场投资组合，这样即使市场综合指数的收益率可以观测，其对模型的检验也很难对CAPM模型给出肯定或否定的结论。
而APT模型的检验取决于因子的选择，通常在APT模型中选取的因子可以分为三类：
第一类是宏观经济因子，如GDP、通货膨胀率、利率、工业生产指数等；
第二类是微观因子，如盈利增长率、股利增长率等；
第三类是市场因子，如一些市场指数或有关的因子等。
只要选择的因子收益率可以观测，在相应地可以建立APT的检验。
10.7套利定价模型在深圳股票市场的实证研究
本节从深圳股票市场各大板块中随机抽取若干只股票的数据为样本，利用因子分析和多元线性回归方法对套利定价模型（APT）在我国深圳证券市场的有效性进行了检验和分析。
实证结论表明：
套利定价模型基本适用于深圳股票市场，股票收益率与因子分析所得到的共同因子之间确实存在某种线性关系，但从我国深市目前的数据还不能说明更多个风险溢价因子的存在。
10.7.1APT模型介绍
在资产组合理论的基础上，Sharpe（1964）、Lintner（1965）和Mossin（1966）从单个投资者的最优资产组合转向对整个市场的研究，提出了著名的资本资产定价模型（CAPM）：
式中：
代表第i种风险资产的预期报酬率；代表无风险资产的报酬率；代表市场组合的预期报酬率；代表第i种证券的不可分散风险。
资本资产定价模型用回归分析方法证明了风险与收益的线性关系，高风险伴随着高收益。
但70年代，资本资产定价模型面临重大挑战，越来越多的学者认为投资组合理论和资本资产定价模型的假设不符合现实，如信息不能免费立即获得，交易成本是存在的。
1976年，Ross在《经济理论杂志》上发表经典论文“资本资产定价的套利理论”，放松了资本资产定价模型中的各种假设，只假设每个投资者都有在不增加风险的情况下能增加组合收益率的机会，认为风险性资产的回报率同多个共同因素之间存在线性关系，用数学表示为：
式中：
为i公司股票的收益率；是多因子收益率为零时股票i的期望收益率；是对被考虑的所有股票的收益有共同影响的第j种因子；是i公司股票的收益对第j个因子的灵敏度。
是收益率的特征构成，是一个干扰项，即非系统风险成分，它是对所有与其他资产不相关信息的反应，对每一种资产而言都是惟一的。
上式中隐含了一些基本的假设：
收益率的特征构成—非系统风险的均值为0，即；每一项资产的特征构成是独一无二的，即；各共同因子之间相互独立，即；共同因子与特征构成之间不存在任何关系，即。
一个大投资组合中只要干扰作用为0，那么0投资、0系统风险投资组合的收益率也为0。
该经济含义与线性代数理论相结合，就得到套利定价模型（APT）：
10.7.2APT模型的检验方法和研究现状
APT认为资产收益率由k个共同因子决定，但对于这些共同因子到底是什么、个数是多少、如何选取合适的共同因子这一系列实际应用中最关键的问题，APT本身似乎并未给予答复。
现实中，人们大都通过两种方法确定因子个数并求解具体因子。
第一种方法，人为设定一组宏观经济变量，用这些变量对证券收益率进行回归，并通过拟合程度的显著性检验确定最终的共同因子。
第二种方法，通过统计运算（因子分析或主成分分析）求解共同因子。
对于第一种方法，国外许多著名学者已进行了较为深入的研究，已经用于检验的变量包括：
（1）实际经济景气指标，如：
消费支出、工业产值、国民生产总值、货币供应量、最终消费或利润的增长率等；
（2）短期和长期利率变动；（3）通货膨胀率；（4）原油价格波动；（5）股票市场指数。
实证检验发现，只要将这些变量中的某几个恰当地组合在一起就可以支持APT模型，但究竟哪一种组合能够持续地、并且完全地解释期望报酬率的截面变异，理论界尚未达成一致。
Chen、Roll和Ross（1986）所做的检验表明长短期利率差异、预期和非预期通货膨胀率、工业生产指数、优等债券和劣等债券之间的差异这些变量对收益率的影响是显著的，而市场指数、原油价格以及总消费被单独用于定价，则有欠妥当。
另外，从我国股市的实际情况出发，这种方法也是尚难实行的：
我国股票市场存续期较短，规范交易、理性投资的理念更是在最近几年才初步形成，因而可以用于分析和统计检验的历史时间序列数据相对有限，而且国内诸多宏观经济指标的测量多是以月度、甚至年度为单位进行的，这一“长”一“短”导致有效数据越发匮乏，无法满足统计检验的需要。
与第一种方法不同，因子分析或主成分分析法并不是主观地将某些宏观经济变量预先设定为候补共同因子，然后在此基础上进行筛选，而是客观地采用因子分析或主成分分析的统计方法求解真正相互独立的理想态的共同因子。
因子分析或主成分分析法也是被国内学者较长采用的方法，如张妍、苏萍等已采用该方法对APT进行了实证检验。
但大都是通过对所选取的较大数量的股票进行随机分组，然后再运用因子分析法提取公因子并进行检验。
这些做法优点是能保证样本空间的宽广性，但也存在不足之处，那就是数据处理工作量过大，且难以对求得的共同因子确切命名，经济含义不清等问题，从而失去了解释模型风险因子的初衷。
针对上述两种方法的利弊，本节将从各大板块随机抽取若干支较具代表性的股票，利用因子分析法对套利定价理论在深圳股市的有效性进行实证检验。
10.7.3APT模型在深圳股市的实证检验
1样本与数据来源
表10-1有关数据说明
数据来源：
中国深圳股票市场A股周收益率数据（）。
选择标准：
①个股数据是根据每周周一收盘价计算的周收益率，当某周周一交易日数据出现缺失（即当日停盘或由于意外原因收盘价缺失）时，当日和下一交易日的收益率均为缺失值，运算时予以剔除。
②个股数据截取时限为2003年1月3日——2006年9月4日。
③从各大板块随机选取若干较具代表性股票共50支，剔除含异常数据的股票，剩余31支。
数据单位：
每周收益率=，代表第t周的收盘价。
个股最大
样本容量：
191个周收益率。
2因子分析
表10-2
（1）对变量之间的相关性进行KMO测度和巴特利特球体检验，其检验结果如表2所示：
表中结果显示：
KMO值为0.864（大于0.7），巴特利特球体检验统计值的显著性概率是0.000（小于1%），均说明变量间具有相关性，宜做因子分析。
表10-3
（2）运用SPSS12.0对统计数据进行因子分析，得到如下运行结果：
表中数据是按特征根大于1的提取原则所得结果，选入了八个因子，其累计方差贡献率为62.262%，即已涵盖了全部的信息的62.262%，故取该八个因子为公共因子。
但由于公共因子在原始变量上的载荷值不好解释，故须进行因子旋转，经旋转后得载荷矩阵如表4所示：
表10-4
由旋转后的因子载荷矩阵可看出，深圳股市31只样本股的第一公共因子F1载荷均为正，可以说各只股票与该因子同升降，相比其他公共因子而言，具有大盘走势同向运动的趋势，且方差贡献率高达27.591%，因此我们可以认为是市场因子，经过提炼的第一种公共因子F1相应的股票共有10只，分别是天发石油、银基发展、泛海建设、世纪中天、燕化高新、西安民生、深保安、深振业、深赛格、兰光科技，从这十只股票的行业来看都属于高新技术产业，主要从事石油、房地产、科技等行业，因此我们可以定义F1为“市场因子”。
第二种因子F2的方差贡献率为8.652%，其所包含的六种股票主要为中金、云南铜业、锡业股份、张欲、铜都，除张欲为酿酒板块外，其余均属有色金属板块，因此我们可以定义F2为“金属板块因子”。
第三种因子F3包括江铃汽车、一汽轿车、长安汽车，均属汽车板块，所以我们可称之为“汽车板块因子”。
第四种因子F4包括鞍钢、太钢不锈、唐钢、格力电器，除格力电器外，均属钢铁板块。
第五种因子F5包括中环三科、煤气化、西煤，主要属于石化板块。
第六种因子F6包括五粮液、深机场，均属于基金重仓股板块。
第七种因子F7包括万科、中兴通讯。
第八种因子F8包括汇通水利、光电股份。
另外，由回归法估计各因子得分，以各因子的方差贡献率占总方差贡献率的比重作为权重进行加权汇总，计算出各股票综合得分F，即
股民选股时可通过计算各股票的综合得分和名次作为选股的参考因素，由于篇幅有限，本部分内容略。
由上述结果可以认为对因子的提取结果基本上比较理想。
我们可以得出结论：
（1）总的来说，深市股市符合套利定价理论的理论基础——因素模型，我们通过实例验证，成功的对各组提取了因子，并且能够针对荷载矩阵，对各因子的经济含义进行了一定程度上的估计。
（2）无论在理论上还是从我们的分析结果都没有根据表明各组提取的四个因子的含义都是互相对应的，但是我们可以看出，第一个公共因子占的方差百分比远远大于其余公共因子，所以，至少我们可以肯定各组提取的首因子是完全相同的。
（3）在所有因子中，首因子的作用非常重要。
由表10-3可以看出，首因子占所有提取因子解释能力达27.591%。
（4）我国证券市场影响收益率的因素和国外的不尽相同，但是股票本身的共性是不变的。
3对解得的因子模型进行检验
在求解因子个数时，我们已经对期望收益率Ei和因子载荷矩阵B进行了估计，现在就利用它们构造截面回归方程：
并对零假设：
进行检验。
在这里，我们遇到一个问题，即代表无风险利率的在实际数据中并没有明确的取值。
表面看起来这个问题非常容易解决，我们立刻可以联想到两种可供选择的解决办法：
（1）在截面回归方程中直接代入一个人为设定的值；
（2）用现有的数据求解。
但是认真思考之后就会发现，这两种方法都不是十分恰当。
采用人为设定值的方法，我们很难保证或者根本没有办法保证设定值与实际值之间是无偏的，过高或者过低地设定值，都会降低检验的有效性。
采用求解的方法，将因子载荷矩阵增加一列=[1：
B]，共同因子矩阵增加一个向量，根据解出，并进行显著性检验，虽然可以解决第一种方法所遇到的问题，却使得对的假设检验失去了统计独立性。
在许多领域中，k因子之间相互独立仅仅是一种美好的假设，因为F检验在相互关联时依然适用，但在APT模型检验时，该假设却起着非同寻常的作用，因为APT模型得以存在的前提就是共同因子之间是相互独立的。
经权衡，我们决定选用第一种方法，因为在样本期间，定期存款利率发生了很大的调整。
所以采用人为设定的办法是不恰当的。
我们利用样本平均周收益率数据作为因变量、因子分析所得到的因子载荷矩阵作为自变量进行多元线性回归，对APT模型进行检验，得结果见表10-5：
表10-5
由表10-5中数据可见，常数项通过T检验（<0.05），8个公共因子中，仅有一个（因子2）的T检验值符合要求，即其溢价明显区别于0。
说明存在一个风险溢价因子是显著的，这与Roll和Ross根据美国股市数据计算所得的结论:
从1962至1973年88.1%的组至少存在一个显著的风险溢价因子是一致的。
由此至少可以总结出三条经验:
（1）套利定价模型是普遍适用的。
通过前面的论证，我们不仅对因子个数进行了估计，而且检验了因子存在的可能性。
事实表明，在深圳股市中，现实中至少存在一个对证券收益率起作用的共同因子。
（2）之所以由实际检验得出的共同因子个数少于之前所估计的因子个数，可能是前面的估计结果中包含一部分伪因子。
（3）我国股市与美国股市就因子个数问题上的共性与异性说明，尽管地域、时期、股票不同，但股市本身所具有的某些共性几乎不变。
如Roll和Ross的文章中同样提到了第一个主因子的绝对指导意义，他们计算得出的至少包含一个或两个风险溢价因子的组数与由我国深圳股市样本数据得出的结论比较接近。
至于为什么从我国目前的数据还不能说明更多个风险溢价因子的存在，除了
（2）中所述原因外，也有可能一是因为我国股市发展时间尚短，制度尚不规范，许多本该对股价起制约作用的因素尚不能被全面、客观地反映出来;二是本节选取的样本数量还没有充分大。
总之，上述因子分析及回归检验结果表明，在深圳股市中，股票收益率与共同因子之间确实存在某种线性关系。
4结论
本节以深圳股票市场为研究对象，对套利定价模型的有效性进行了实证检验和分析。
首先通过因子分析抽取了八个公共因子（前几个公共因子的经济含义比较明显）。
随后利用因子载荷矩阵和多元线性回归法对模型进行了检验，结果表明套利定价模型基本适用于深圳股票市场，股票收益率与因子分析所得到的共同因子之间确实存在某种线性关系，但从我国深市目前的数据还不能说明更多个风险溢价因子的存在。
95
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